Математические прогрессии в музыке, литературе и истории

Арифметическая и геометрическая прогрессия в литературе

Цель:

Исследовать возможность применения формул арифметической и геометрической прогрессий в других областях знаний

Термин «Прогрессия»

• Имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперёд») и был введён римским автором Боэцием (VI в.).
• Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении.

Прогрессии

Определение

Арифметическая

Геометрическая

Формула n первых членов прогрессии

Сумма n первых членов прогрессии

Свойства

a

b

Зная эти формулы, можно решить много интересных задач литературного, исторического и практического содержания.

Прогрессии в литературе

• Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из "Евгения Онегина".

... Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить...

Прогрессии в литературе

• Ямб - это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»

• Прогрессия: 2; 4; 6; 8...

Прогрессии в литературе, ямб

• Так бей, не знай отдохновенья,

Пусть жила жизни глубока:

Алмаз горит издалека —

Дроби, мой гневный ямб, каменья!

(А. Блок)

• … Я помню чудное мгновенье…

• … Унылая пора, очей очарованье…

(А.Пушкин)

Прогрессии в литературе

• Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7... С первым членом 1 и разностью прогрессии 2.

«Я пропАл, как звЕрь в загОне»

• Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...

Б. Л. Пастернак

Прогрессии в литературе, хорей

Листья падают в саду…

В этот старый сад, бывало,

Ранним утром я уйду

И блуждаю, где попало.

… Яблони и сизые дорожки,

Изумрудно-яркая трава

На берёзах — серые серёжки

И ветвей плакучих кружева.

(И.Бунин)

Прогрессии в истории

• Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях.
• На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э)

Прогрессии в древнейшей истории

• Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.

Древний Египет

• Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:

Древний Египет

• Задача из египетского папируса Ахмеса:
• «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры»

Формула, которой пользовались египтяне:

Задача из папируса Райнда

• «У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

Решение задачи

• Людей всего 7, кошек 7 2 = 49, они съедают всего 7 3 = 343 мыши, которые съедают всего 7 4 = 2401 колосьев, из них вырастает 7 5 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607.

Индия

• Задача –легенда:
• Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников. -Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, -сказал царь.
• Мудрец поклонился. -Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжал царь. - Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.
• Сета молчал.
• -Не робей, - ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.
• -Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу.

Индия

• Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
• -Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
• -Простое пшеничное зерно? – изумился царь.
• -Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую -32…
• -Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей. Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться у ворот дворца.

Решение задачи

Найти:

n = 64

Её сумма равна

18 446 744 073 709 551 615

Вывод

• Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.
• Такое количество зёрен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Задача из арифметики Магницкого

• Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия:
• "Если по-твоему цена  лошади высока, то купи её подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп., за второй-1/2коп., за третий-1коп., и т.д.“
• Покупатель, соблазненный низкой ценой, и желая даром получить  лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

Решение задачи Магницкого

1. Составим последовательность чисел

2. Данная последовательность является геометрической

прогрессией со знаменателем q =2, n = 24, (4 подковы по 6

гвоздей)

3. Попытаемся подсчитать сумму

4. Зная формулу

5. Имеем

Наследство

• Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 100$, а каждый следующий месяц он тратил на 50$ больше, чем в предыдущий. Сколько $ он истратил за второй месяц? За третий? За десятый? Каков размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни?

Решение

Применив формулу

, получаем:

Применив формулу

Переменка

• Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1 м., второй 1/2м, третий 1/4 м и т. д. так, что длина следующего шага в два раза меньше длины предыдущего. Дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3 м?

Решение

Составим последовательность чисел

Зная формулу

Значит

Откуда

Вывод: не дойдёт!

Вывод:

• Формулы и математические законы описывают явления в разных областях знаний, на первый взгляд далеких от математики

Заключение

• Закончился двадцатый век.
• Куда стремится человек?
• Изучен космос и моря,
• Строенье звезд и вся земля.
• Но математиков зовет
• Известный лозунг

• «Прогрессия — движение вперед».

Соствила: Белова Маргрита 9класс, ЧОУ СОШ «Исток».