Обобщить знания о логагифмах.Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.
Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:
Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните:логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
1.Обобщить и систематизировать свои знания по теме«Логарифмы»;
2.Расширить свои знания по данной теме;
3.Получить хорошую оценку по алгебре;
4.Более углубленно изучить работу с программойMicrosoft PowerPoint.
Поистине безграничны приложения показательной функции и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Более трёх столетий прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленныеДжоном Непером. Они помогали астрономам и инженерам, сокращая вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский учёный Лаплас, «удлиняя жизнь вычислителям».
Ещё недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане; изобретённая через десяток лет после появления логарифмов Непера английским математиком Гунтером , она позволяла быстро получать ответ с достаточной для инженера точностью в три значащие цифры. Теперь её из инженерного обихода вытеснили микрокалькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы.
0 , a≠1 , называется показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить число b ." width="640"
Простые уравнения вида
можно решать с помощью графика, но как быть с более сложными уравнениями ? Для решения таких уравнений существует логарифм:
, потому что
Логарифмом положительного числаbпо основаниюa, гдеa0,a≠1,называется показатель степени, в которую надо возвести числоa, чтобы получить числоb.
0 , a≠1 – это показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить b . при b0, a0, a≠1 (основное логарифмическое тождество). СВОЙСТВА: (При a0, a≠1, b0, c0, r – любое действительное число) 1) 2) 3)" width="640"
Логарифм положительного числа b по основанию a , где a0 , a≠1 – это показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить b .
при b0, a0, a≠1 (основное логарифмическое
тождество).
СВОЙСТВА:
(При a0, a≠1, b0, c0, r – любое действительное число)
1)
2)
3)
Графики логарифмической функции.
Десятичный логарифм числа– логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b вместо
Натуральный логарифм числа– логарифм этого числа по основанию e , где e – иррациональное число, приближенно равное 2,7 . При этом пишут ln b , вместо
Число е ≈ 2,718281828459 – одна из важнейших постоянных в математике. По определению, оно равно пределу последовательности
при неограниченном возрастании n . Обозначение е ввёл Леонард Эйлер в 1736 г . Он вычислил первые 23 знака этого числа в десятичной записи.
Число е — иррациональное и трансцендентное. Доказательство трансцендентности числа е впервые дал французский математик Шарль Эрмит в 1873г .
Число е играет особую роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием е , называемая
экспонентой , — удивительная функция, производная которой равна ей самой:
0, a0, a≠1, c0, c≠1." width="640"
Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию:
где b0, a0, a≠1, c0, c≠1.
0, если a0, и убывающей, если b4) Если a1, то функция принимает положительные значения при x1, отрицательные значения при x1, отрицательные при 01." width="640"
Свойства логарифмической функции:
1) Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел;
2) Множество значений логарифмической функции – множество R всех действительных чисел;
3) Логарифмическая функция
является возрастающей на промежутке x0, если a0, и убывающей, если b
4) Если a1, то функция принимает положительные значения при x1, отрицательные значения при x1, отрицательные при 01.
0, a≠1, то Доказательство: Предположим, что например Если a1, то из неравенства следует, что если 0следует, что В обоих случаях получилось противоречие с условием Следовательно, Ч.Т.Д." width="640"
Теорема, используемая при решении уравнений:
Теорема: Если
, где a0, a≠1,
то
Доказательство: Предположим, что
например
Если a1, то из неравенства
следует, что
если 0
следует, что
В обоих случаях получилось противоречие с условием
Следовательно,
Ч.Т.Д.
0, a≠1, взаимно обратны." width="640"
Логарифмическая функция
и показательная функция
где a0, a≠1, взаимно обратны.
, откуда
Задание. Вычислить:
Решение. Обозначим
Ответ:
По определению логарифма
Так как
то
Задание. Вычислить:
Ответ: 2.
Решение. Применяя свойства логарифмов, находим
Задание. Решить уравнение
Решение. По формуле перехода
x= 2 .
откуда
Поэтому уравнение принимает вид
Ответ: x=2.
0 и возрастает, то неравенство Задание. Решить неравенство: выполняется при x0 и x . Решение. Пользуясь тем, что Ответ: 0запишем данное неравенство так: Так как функция" width="640"
определена при x0 и возрастает, то неравенство
Задание. Решить неравенство:
выполняется при x0 и x .
Решение. Пользуясь тем, что
Ответ: 0
запишем данное неравенство так:
Так как функция
0 , x≠1 . Пусть Найденные значения x удовлетворяют условиям, при которых уравнение имеет смысл, и являются корнями данного уравнения. тогда и уравнение или примет вид Ответ: откуда" width="640"
Если t=2, то
Задание. Решить уравнение:
Если
то
Решение. Уравнение имеет смысл, если x0 , x≠1 . Пусть
Найденные значения x удовлетворяют условиям, при которых уравнение имеет смысл, и являются корнями данного уравнения.
тогда
и уравнение
или
примет вид
Ответ:
откуда
1, то x+1≤100, откуда x≤99. Учитывая область определения исходного неравенства, получаем -1Задание. Решить неравенство: Решение. Правая часть данного неравенства имеет смысл при всех значениях x , а левая часть – при x+10 , откуда x-1 , т.е. x-1 – область определения неравенства. Ответ: -1Исходное неравенство запишем так:" width="640"
Так как 101, то x+1≤100, откуда x≤99. Учитывая область определения исходного неравенства, получаем -1
Задание. Решить неравенство:
Решение. Правая часть данного неравенства имеет смысл при всех значениях x , а левая часть – при x+10 , откуда x-1 , т.е. x-1 – область определения неравенства.
Ответ: -1
Исходное неравенство запишем так:
№3.
Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
№1.
Решите уравнение
1) ±7; 2) 12; 3) ±
; 4) 3.
1) (-5;-3); 2) (-2;3); 3) (4;7); 4) (-3;0).
№2.
Найдите область определения функции
1) (-∞;2)
(4;+∞); 2) (0;4);
3) (0,5;4); 4) (-4;2).
№3.
Найдите значение выражения
№1.
Решите неравенство
№2.
Найдите частное наибольшего и наименьшего целых чисел, входящих в область определения функции
№2.
Найдите производную функции
№1.
Из области определения функции
в точке
№3.
Решите уравнение
выбрали все натуральные числа и нашли их сумму. Найдите все значения a , при которых полученная сумма будет больше 31 , но меньше 41 .
0, верно , 3 Є ОДЗ. Решение: ОДЗ: 6-x 0. Пусть , где Ответ: x=3 (№4). k -любое число, тогда" width="640"
Значит,
Задание:
Решите уравнение
x=3
Проверка: 6-30, верно , 3 Є ОДЗ.
Решение:
ОДЗ: 6-x 0.
Пусть
, где
Ответ: x=3 (№4).
k -любое число, тогда
Задание:
Найдите значение выражения
Решение:
1 x + 4 0 x + 4 0 опр. логар. x + 2 0 x + 2 0 монотн. логар. ф-ции x + 4 (x + 2) x + 4 ( x + 2) 0 cos α x -2 x - 2 +3x 0 + 3 х 0" width="640"
№ 1.
log
(x + 4)2log
(x + 2)
или
0
2cos α 1
x + 4 0
x + 4 0
опр. логар.
x + 2 0
x + 2 0
монотн. логар. ф-ции
x + 4 (x + 2)
x + 4 ( x + 2)
0
cos α
x -2
x - 2
+3x 0
+ 3 х 0
-2
-2
-3
-3
0
0
[0;+ ) (-2;0]
y
y
x
x
-
-
-
k ),
Ответ: при α (-
k ;
+2
+2
(
k )
+2
k ; -
+2
k Z , x [0; + )
при α (-
+2
k;
+2
k), k Z, x (-2;0]
2.
Т.к. |cos m| 1, то равенство возможно при условии
|cos ((x – 2) cos x)| = 1
(9
– 39x + 43) = 0
Решим 2 уравнение
D = 169 – 168 = 1
Подставим в 1 уравнение
x = 2 |cos 0| = 1 что верно
| cos (1,5 cos 3,5)| = 1 что неверно
Ответ: 2
Задание.
Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются решениями неравенства
№ 3.
,
а остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена таких прогрессий.
Решение.
1)По условию
то
Если
то
и
Если
Кроме того, так как
то
.
Значит,
Следовательно, все числа в интервале
являются решениями исходного неравенства.
Объединяя найденные множества решений, получаем ответ:
– первый член и разность прогрессии. Если
и
2) Пусть
и
лежат в одном и том же из двух промежутков
и
, то в нем лежит и
. Но тогда третий член
прогрессии также будет решением заданного неравенства. Противоречие. Значит,
3) Требуется найти все значения
, при которых эта система
неравенств имеет решения относительно
. Выпишем четыре
:
неравенства относительно
Систему этих линейных неравенств решим графическим способом. Построим прямые
0 , a≠1 , называется показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить число b ." width="640"
0 , a≠1 – это показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить b . при b0, a0, a≠1 (основное логарифмическое тождество). СВОЙСТВА: (При a0, a≠1, b0, c0, r – любое действительное число) 1) 2) 3)" width="640"
0, a0, a≠1, c0, c≠1." width="640"
0, если a0, и убывающей, если b4) Если a1, то функция принимает положительные значения при x1, отрицательные значения при x1, отрицательные при 01." width="640"
0, a≠1, то Доказательство: Предположим, что например Если a1, то из неравенства следует, что если 0следует, что В обоих случаях получилось противоречие с условием Следовательно, Ч.Т.Д." width="640"
0, a≠1, взаимно обратны." width="640"
0 и возрастает, то неравенство Задание. Решить неравенство: выполняется при x0 и x . Решение. Пользуясь тем, что Ответ: 0запишем данное неравенство так: Так как функция" width="640"
0 , x≠1 . Пусть Найденные значения x удовлетворяют условиям, при которых уравнение имеет смысл, и являются корнями данного уравнения. тогда и уравнение или примет вид Ответ: откуда" width="640"
1, то x+1≤100, откуда x≤99. Учитывая область определения исходного неравенства, получаем -1Задание. Решить неравенство: Решение. Правая часть данного неравенства имеет смысл при всех значениях x , а левая часть – при x+10 , откуда x-1 , т.е. x-1 – область определения неравенства. Ответ: -1Исходное неравенство запишем так:" width="640"
0, верно , 3 Є ОДЗ. Решение: ОДЗ: 6-x 0. Пусть , где Ответ: x=3 (№4). k -любое число, тогда" width="640"
1 x + 4 0 x + 4 0 опр. логар. x + 2 0 x + 2 0 монотн. логар. ф-ции x + 4 (x + 2) x + 4 ( x + 2) 0 cos α x -2 x - 2 +3x 0 + 3 х 0" width="640"
![-2 -2 -3 -3 0 0 [0;+ ) (-2;0] y y x x - - - k ), Ответ: при α (- k ; +2 +2 ( k ) +2 k ; - +2 k Z , x [0; + ) при α (- +2 k; +2 k), k Z, x (-2;0]](https://fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_548a7bb7b99bf/img_user_file_548a7bb7b99bf_28.jpg)
