Квадратные уравнения через призму истории

проследить историю развития квадратных уравнений; отметить ученых, внесших свой вклад в развитие квадратных уравнений.

Методы решения квадратных уравнений были известны еще в древние времена. Они излагались в вавилонских рукописях царя Хаммурапи(20в. до н.э.), в трудах древнегреческого математика Евклида(3в. до н. э.), в древних китайских и японских трактатах. Многие математики древности решали квадратные уравнения геометрическим способом. Например, уравнение могло звучать так: квадрат и несколько его частей равны определенному числу.

Как греки решали уравнение y 2 + 10 y = 39

у

5

y 2 + 10у = 39 или

у 2 + 10 y + 25 = 39+25

5у

у 2

у

25

5у

5

Выражения у 2 + 10 y + 25 и 39+25 геометрически представляют собой один и тот же квадрат , а исходное уравнение и уравнение

y 2 + 10 y -39+25 -25 = 0 – одно и то же уравнение. Получаем: (у + 5) 2 =64; у + 5 = 8; у = 3 .

Второй корень–отрицательный, но греки отрицательных чисел не знали.

Диофант жил в четвертом веке нашей эры. Ученый отошел от традиционных в греческой математике геометрических проблем и занялся алгеброй. Основное его произведение „Арифметика". Сохранилось шесть томов из предполагаемых тринадцати; в них содержится 189 уравнений с решениями. Автор интересуется только одним решением: положительным и рациональным. Диофант не применял общих методов решения уравнений: методы у него меняются от одного уравнения к другому. При решении уравнений, чтобы получить желаемое рациональное и положительное число, Диофант применяет много остроумных приемов.

Как решал квадратные уравнения ал-Хорезми?

Учебник математики ал-Хорезми, выпущенный им около 830 года, посвящен в основном решению уравнений первой и второй степени. Этот математик уравнения решает также геометрически. Рассмотрим, как решал ал – Хорезми тоже уравнение х 2 +10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

На сторонах квадрата со стороной х строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2½. Площадь каждого прямоугольника равна 2½∙х.

В углах фигуры строят четыре равных квадрата, сторона каждого из них равна 2½, а площадь 6¼.

х 2

D

Площадь большого квадрата можно представить как сумму площадей: х²+4∙2½+4∙6¼, т.е. S=x²+10x+25.

По условию х²+10х =39, получим S =39 +25=64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ=8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим х = 8 - 2,5 - 2,5 = 3.

Ал-Хорезми тоже не признавал отрицательных чисел.

Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII веков

Способы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII .

Общее правило решения

квадратных уравнений,

приведенных к виду

х 2 + вх = с,

при всевозможных комбинациях

знаков коэффициентов b , с

было сформулировано в Европе

лишь в 1544 г.немецким

математиком

Михаэлем Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется и у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Большой вклад внесли и другие математики.

Эти ученые внесли достойный вклад в развитие теории решения квадратных уравнений

И.Ньютон

1643-1727

Штифель

1486-1567

Л. Фибоначчи

XIII век н.э.

Диофант

IV в. н.э.

Тарталья

• Штифель (1486 – 1567, Германия) в 1544 году сформировал общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду х 2 + b x = c при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b и c .
• Франсуа Виет (1540 – 1603, Франция) вывел формулы решения квадратного уравнения в общем виде, однако он признавал только положительные числа.
• Итальянские учёные Тарталья (1500-1557), Кардано (1501-1576), Бомбелли (1526-1572) среди первых в XVI веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни.
• В XVII веке благодаря трудам Жирара (1595-1632, Голландия), Декарта (1596-1650, Франция), Ньютона (1643-1727, Англия) и других учёных, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

14

Развитие науки о решении квадратных уравнений прошло длинный и тернистый путь. Только после трудов Штифеля, Виета, Тартальи, Кардано, Бомбелли, Жирара, Декарта, Ньютона наука о решении квадратных уравнений приняла современный вид.