Компьютерная поддержка по теме "Тела вращения на примере конуса"

Компьютерная поддержка по теме

"Тела вращения на примере конуса"

Автор работы:

Игнатенко Татьяна Петровна

МБОУ «Эсто-Алтайская СОШ им.Д.Н.Кугультинова»

Учитель математики

20 14г

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка».

С конусом люди знакомы с глубокой древности.

Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.).

Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса;

б) изучение конических сечений.

Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским– учеником Евклида, который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.

Определение: тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L , называется конусом.

P

F

x

L

ось конуса

P

вершина конуса (Р)

высота конуса ( РО )

боковая (коническая) поверхность

образующие

r

B

основание конуса

радиус конуса ( r )

Прямой круговой конус является объединением всех равных друг другу прямоугольных треуголь-ников, имеющих общий катет. Поэтому можно сказать, что он получа-ется при вращении прямоугольного треуголь-ника вокруг одного из катетов – оси конуса.

А

В

С 2

С 1

С

ОСЕВОЕ СЕЧЕНИЕ

В сечении равнобедренный треугольник, основание которого диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса.

СЕЧЕНИЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЕ ОСИ КОНУСА

Сечение, перпендикулярное к оси конуса представляет собой круг, секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.

РО 1 М 1 ~ РОМ

r 1 = РО 1 /РО* r

Рис.1

Рис.2

Рис.3

эллипс

парабола

гипербола

S

П

D2

P2

11

k2

d2

F2

M

F1

d1

1

P1

k1

D1

Рис.4

Рис. 7

Рис.5

Рис. 6

l

1

F1

2

F2

Рис. 8

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки (конической поверхности).

2

P

π

l

1) S бок =

α

360

rl

π

2) S бок =

A

B

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания.

S кон =

π

r (l+r)

доказательство1

H

x

V конуса = ∫ S(x)dx.

H

0

S(x)

S(x)

x

2

( )

x

2

2

= k =

=

S осн

H

2

S осн

H

x

2

S(x) = S осн *

2

H

H

3

H

3

S осн *

x

S осн

H

x

2

V конуса = ∫ S осн * dx =

=

=

*

3

2

2

H

3

2

H

H *

0

0

1

1

2

S осн

π

H

R

H

=

=

*

3

3

2

1

V конуса

π

R

H

=

3

доказательство2

За величину объема конуса принимается предел, к которому стремится объем правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном удвоении числа сторон ее основания.

1

( * ) =

1

1

S круга

lim

H *

V конуса =

lim V пир =

S осн

H *

H

lim

S осн

=

3

3

3

n ∞

n ∞

n ∞

1

2

V конуса

π

R

H

=

3

y = kx

доказательство3

H

2

∫

V тела вращ. =

f

π

(x) dx.

0

H

H

H

2

3

3

π

x

* ( )

R *

H

R

2

∫

∫

2

2

π

V конуса =

2

π

π

k

x dx

(kx) dx =

=

=

=

*

H

3

2

H *

3

0

0

0

3

2

π

R *

H

2

1

π

R

H

=

=

=

3

2

H *

3

y

A

2

1

V конуса

π

R

H

=

R

3

α

x

O

H

H

C

Задача 1.

Высота конуса равна диаметру его основания. Найти отношение площади его основания к площади боковой поверхности.

Решение:

Пусть радиус основания конуса равен R , тогда площадь основания S осн = R , а высота конуса 2 R.

π

2

В SOA:

SA = SO + OA = (2R) + R = R 5

S

√

√

√

2

2

2

2

√

Итак, l = SA = R 5

Тогда S бок = R l = R 5

Искомое отношение:

√

2

π

π

√

2

5

R

π

S осн

O

=

=

S бок

2

5

A

√

π

R

5

Задача 2. (объем конуса)

Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м3 земли имеет массу 1650 кг?

Решение:

2

1

1

π

R

V

π

π

3

2

H

3 м

O

=

=

* 3 * 2 = 6 (м )

A

C

3

3

2м

P = 1650 * 6 * 3,14 31086 кг 31 т.

≈

≈

Ответ: P = 31 т.

B

Задача 3. (Объем конуса)

Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро?

Дано: Решение.

коническая воронка

D = 10 см

L = 13 см

V – ?

1

1

2

π

3

π

V

π

R

H

=

=

* 25 * 12 = 100 (см )

=

3

3

π

π

= 100 см = 0,1 дм .

3

3

O

5

C

A

( )

√

H =

2

2

13 - 5 = 12

13

100

100

10

≈

n = = = 31,8

π

3,14

0,1

≈

Ответ: n 32 воронки .

B

Задача 4. (Объем конуса)

«... Читал я где-то, что царь однажды воинам своим велел снести земли по горсти в кучу. И гордый холм возвысился, и царь мог с высоты с весельем озирать и дол, покрытый белыми шатрами, и море, где бежали корабли.»

А.С. Пушкин «Скупой рыцарь»

Это одна из немногих легенд, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Докажите геометрически, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм».

1

3

1 горсть ≈ литров = 0,2 дм.

5

Войско в 100 000 воинов считалось очень внушительным.

V = 0,2 * 100 000 = 20 000 дм3 = 20 м3.

Угол откоса Ј 45°, иначе земля начнет осыпаться.

Возьмем угол откоса наибольшим возможным, т. е. 45°

Дано: конус V = 20 м 3 a = 45° Найти: H конуса

Решение:

Так как H = R, то :

2

1

V конуса

π

R

H

=

45°

3

√

√

3

3

3 V

3 * 20

≈

H = = 2,7 м.

π

3,14

1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. / Геометрия для 10-11 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики – 3-е издание, перераб. – М.: Просвещение, 1992. – 464с.

2. Геометрия 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений / Атанасян Л. С., Бутузов В.Ф., Кадомцев и др. – 14-е изд. – М.: Просвещение,2005. – 206с.

3. Крамор В. С. / Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. – 3-е изд., испр. И доп. – М.:Мнемозина, 2004. – 336 с.

4. Смирнова И. М. / Геометрия: Учебное пособие для 10-11 классов гуманит. Профиля. – М.: Просвещение, 1997. – 159 с.

5. Математика. – репринтное издание «Математического энциклопедического словаря» 1988 г.- М.: Большая Российская энциклопедия, 2003. - с.

6. http://ru.wikipedia.org/wiki/

Список источников основного содержания: