"Изопериметрическая задача: от глубокой древности до наших дней"

Научно – практическая конференция «Юные лидеры образования»

• МОУ «Гимназия имени Героя Советского Союза Ю.А. Гарнаева города Балашова Саратовской области»
• 2016год

Изопериметрическая задача: от глубокой древности до наших дней

Работу выполнил: Путилин Лев,

ученик 10 класса

Научный руководитель: Клушина Н.В., учитель математики высшей категории

Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит. Ал – Бируни

Цель работы:

• познакомиться с изопериметрическими задачами на примере задачи Дидоны.

задачи

• Рассмотреть способы решения изопериметрических задач.
• Выполнить практическое решение изопериметрических задач.
• Исследовать изопериметрические законы в природе.

Миф о Дидоне

• Дидона была дочерью царя Тира и женой жреца Геракла Акербаса, которая вынуждена была бежать с родных мест .
• В поисках новой земли Царице приглянулось одно место на побережье нынешнего Тунисского залива.
• По условию она могла купить столько земли, сколько можно «окружить бычьей шкурой».

Так была основана цитадель Карфагена Бирсу.

По-гречески «бирсу» как раз и означает «шкура».

Было это около 825 года до нашей эры.

Задача, которую пришлось решить Дидоне:

• какая геометрическая фигура среди фигур с одинаковым периметром имеет наибольшую площадь?

Или, иначе:

какой формы должна быть кривая некоторой длины, чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой была наибольшей?

Задача Дидоны, как самая древняя изопериметрическая задача

• Задача Дидоны очень сложная и относиться к специальному разделу высшей математики, так называемому вариационному исчислению. Её формулировка даёт классический пример изопериметрической задачи.
• Слово «изопериметрический» происходит от слов «изос» (по-гречески «равный») и «perimetren» ( по гречески – «обвод, обмер»). 

Изопериметрические фигуры - это фигуры, имеющие одинаковый периметр .

Два случая в задаче Дидоны Береговая линия - произвольная кривая

• где l – длина верёвки,
• Г – береговая линия

Этот случай решается с привлечением понятий и методов математического анализа. А сама задача является задачей на экстремум.

Береговая линия представляет прямую

• Отразим симметрично относительно данной прямой исследуемую кривую.
• Кривая и ее образ вместе ограничивают площадь ровно в два раза большую, чем ограничивает прямая и исходная кривая.

При решении задачи воспользуемся теоремой

( изопериметрическое неравенство)

• Если P - периметр плоской фигуры F,

S – площадь фигуры F , то

равенство достигается только в случае круга.

Вывод: из всех фигур с данным периметром наибольшую площадь имеет круг.

Таким образом, площадь максимальна, когда замкнутая кривая -окружность, для которой данная прямая является осью симметрии. Следовательно, решение задачи Дидоны является полукруг с центром на берегу моря.

"circumdare"(окружать), "circus" (круг),

Можно примерно оценить размеры территории, которую по легенде Дидона могла получить у туземцев.

• Представим себе бычью шкуру в форме прямоугольника размером 1х2 м.
• разрежем ее на полоски шириной 1мм вдоль длинной стороны.
• получается "веревка" длиной примерно 2км.
• Так что Дидона могла бы в этом случае отгородить полукруг площадью 0,64

Многие историки считают, что это - первая экстремальная задача, которая обсуждалась в научной литературе

.

Частный случай задачи Дидоны

Береговая линия – прямая, 

ограниченный участок - прямоугольник .

Какой прямоугольник будет иметь наибольшую площадь?

• Площадь S=
• Рассмотрим квадратичную функцию 

S(x)= ,которая принимает наибольшее значение при    ,тогда    .

Таким образом, наибольшую площадь будет иметь прямоугольник с длинами сторон   и   .

Другие примеры изопериметрических задач

• Пример 1. Докажите, что из всех треугольников данного периметра наибольшую площадь имеет равносторонний.
• Пример 2. Какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь?

Задача из школьного курса планиметрии по учебнику А.В.Погорелова

• Зенодор (II в. до н. э.) древнегреческий математик, жил в Александрии. Он написал целый трактат «О фигурах, имеющих равную периферию».
• Хотя трактат Зенодора не сохранился, некоторые его результаты дошли до нас в изложении других математиков, в том числе следующие теоремы.

Задачи Зенодора

• Теорема 1 . Из всех многоугольников с равным периметром и равным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный многоугольник;

Задачи Зенодора

• Теорема 2. Из двух правильных многоугольников с равным периметром большую площадь имеет тот, у которого число углов больше;

Задачи Зенодора

• Теорема 3. Из всех плоских фигур с равным периметром наибольшую площадь имеет круг.

Задачи Зенодора

• отсюда сразу следует, что из всех треугольников равного периметра, имеющих общее основание, площадь максимальна у равнобедренного треугольника;

• Теорема 4 . Из двух треугольников с общей стороной и равными периметрами меньше площадь того, которому принадлежит наибольший из четырех углов, прилежащих к этой стороне

• Исследования такого рода имели не только теоретическое, но и практическое значение: при разделе земли в древности иногда совершались махинации, связанные с выдачей участков большого периметра и маленькой площади.
• Периметр легче измерить, чем площадь, поэтому некоторые доверчивые клиенты судили о величине участка по периметру.

Изопериметрические задачи опытным путём Исследование 1. Р -18 см

Треугольники а в с S

• Разносторонний 3 8 7 √108

5 7 6 √216

4 8 6 √135

• Равнобедренный 5 5 8 12

4 7 7 √180

2 8 8 √147

• Равносторонний 6 6 6 √243

Изопериметрические задачи опытным путём Р = 20см

Четырёхугольники АВ ВС Угол В S Параллелограмм 1 9 30 4,5

2 8 30 8

3 7 30 10,5

4 6 30 12

Прямоугольник 1 9 9

2 8 16

3 7 21

4 6 24

Квадрат 5 5 25

Исследование 2

• Отмотаем от катушки кусочек нити. Отрежем его и свяжем концами. Положим эту связанную нить на лист бумаги.
• Получилась плоская замкнутая кривая.
• Выяснить: как следует положить нашу нить, чтобы она охватывала наибольшую площадь?

Диаграмма 1. Площади фигур равного периметра (50 см).

ВЫВОД:

Из перечисленных фигур, имеющих равный периметр, наибольшую площадь имеет круг.

Нить, охватывающая наибольшую площадь, надо положить так, чтобы получилась окружность.

• Из данных фигур равной площади выявить фигуру с наименьшим периметром.

ВЫВОД:

Из перечисленных фигур круг, указанный первым, имеет наименьший периметр.

Изопериметрия в жизни

• Изучив изопериметрические задачи на плоскости, можно рассмотреть изопериметрическую теорему в пространстве:

«Из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет шар».

Изопериметрической теореме в пространстве мы склонны верить без математического доказательства.

• Сама природа расположена в пользу шара. Дождевые капли, мыльные пузыри шарообразны.

Солнце, Луна, наша Земля, планеты шарообразны или почти шарообразны.

• Немного зная физику поверхностного натяжения, можно научиться изопериметрической теореме у мыльного пузыря. Будучи сжаты окружающей средой, они стремятся в силу сцепления образовать при неизменном объеме более толстую поверхностную пленку.

• То же можно сказать про кота, который в холодную ночь сворачивается в клубочек и таким образом делает своё тело насколько возможно шарообразным.

• Пытаясь сохранить тепло, он уменьшает свою поверхность. Таким образом, он решает задачу о теле с данным объемом и наименьшей поверхностью.

Рассмотрев эту проблему, можно ответить на вопрос:  почему нефтехранилища на крупных заводах всегда делаются цилиндрическими (а иногда даже шарообразными), а не в виде, скажем, куба, что технологически было бы гораздо удобнее?

• «Всё моё, моё!» — говорит жадный человек, собирая свои руки в круг, показывая, как много добра он может ими захватить. При этом не подозревая, что демонстрирует решение одной из самых древних задач математики — изопериметрической задачи.

Судьба изопериметрической задачи воистину удивительна! Ответ был известен человечеству почти 3000 лет и ни у кого не вызывал сомнений, но строго доказать его удалось лишь в конце XIX века.

• Леонард Эйлер
• Якоб Бернулли

• Якоб Штейнер

Спасибо за внимание!