kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

"Изопериметрическая задача: от глубокой древности до наших дней"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Презентация "Изопериметрическая задача: от глубокой древности до наших дней"

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«"Изопериметрическая задача: от глубокой древности до наших дней"»

Научно – практическая конференция «Юные лидеры образования»

Научно – практическая конференция «Юные лидеры образования»

  • МОУ «Гимназия имени Героя Советского Союза Ю.А. Гарнаева города Балашова Саратовской области»
  • 2016год
Изопериметрическая задача: от глубокой древности до наших дней   Работу выполнил: Путилин Лев,  ученик 10 класса Научный руководитель: Клушина Н.В., учитель математики высшей категории

Изопериметрическая задача: от глубокой древности до наших дней

Работу выполнил: Путилин Лев,

ученик 10 класса

Научный руководитель: Клушина Н.В., учитель математики высшей категории

Знание – самое превосходное из владений.  Все стремятся к нему,  само же оно не приходит.  Ал – Бируни  Цель работы:

Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит. Ал – Бируни

Цель работы:

  • познакомиться с изопериметрическими задачами на примере задачи Дидоны.
задачи

задачи

  • Рассмотреть способы решения изопериметрических задач.
  • Выполнить практическое решение изопериметрических задач.
  • Исследовать изопериметрические законы в природе.
Миф о Дидоне

Миф о Дидоне

  • Дидона была дочерью царя Тира и женой жреца Геракла Акербаса, которая вынуждена была бежать с родных мест .
  • В поисках новой земли Царице приглянулось одно место на побережье нынешнего Тунисского залива.
  • По условию она могла купить столько земли, сколько можно «окружить бычьей шкурой».
Так была основана цитадель Карфагена Бирсу.   По-гречески «бирсу» как раз и означает «шкура».  Было это около 825 года до нашей эры.

Так была основана цитадель Карфагена Бирсу.

По-гречески «бирсу» как раз и означает «шкура».

Было это около 825 года до нашей эры.

Задача, которую пришлось решить Дидоне:  какая геометрическая фигура среди фигур с одинаковым периметром имеет наибольшую площадь? Или, иначе: какой формы должна быть кривая некоторой длины, чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой была наибольшей?

Задача, которую пришлось решить Дидоне:

  • какая геометрическая фигура среди фигур с одинаковым периметром имеет наибольшую площадь?

Или, иначе:

какой формы должна быть кривая некоторой длины, чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой была наибольшей?

Задача Дидоны,  как самая древняя изопериметрическая задача  Задача Дидоны очень сложная и относиться к специальному разделу высшей математики, так называемому вариационному исчислению. Её формулировка даёт классический пример изопериметрической задачи.  Слово «изопериметрический» происходит от слов «изос» (по-гречески «равный») и «perimetren» ( по гречески – «обвод, обмер»).   Изопериметрические фигуры - это фигуры, имеющие одинаковый периметр .

Задача Дидоны, как самая древняя изопериметрическая задача

  • Задача Дидоны очень сложная и относиться к специальному разделу высшей математики, так называемому вариационному исчислению. Её формулировка даёт классический пример изопериметрической задачи.
  • Слово «изопериметрический» происходит от слов «изос» (по-гречески «равный») и «perimetren» ( по гречески – «обвод, обмер»). 

Изопериметрические фигуры - это фигуры, имеющие одинаковый периметр .

Два случая в задаче Дидоны   Береговая линия - произвольная кривая    где l – длина верёвки, Г – береговая линия Этот случай решается с привлечением понятий и методов математического анализа. А сама задача является задачей на экстремум.

Два случая в задаче Дидоны Береговая линия - произвольная кривая

  • где l – длина верёвки,
  • Г – береговая линия

Этот случай решается с привлечением понятий и методов математического анализа. А сама задача является задачей на экстремум.

Береговая линия представляет прямую

Береговая линия представляет прямую

  • Отразим симметрично относительно данной прямой исследуемую кривую.
  • Кривая и ее образ вместе ограничивают площадь ровно в два раза большую, чем ограничивает прямая и исходная кривая.
При решении задачи воспользуемся теоремой    ( изопериметрическое неравенство) Если  P - периметр плоской фигуры F,   S – площадь фигуры  F , то  равенство достигается только в случае круга.

При решении задачи воспользуемся теоремой

( изопериметрическое неравенство)

  • Если P - периметр плоской фигуры F,

Sплощадь фигуры F , то

равенство достигается только в случае круга.

Вывод: из всех фигур с данным периметром наибольшую площадь имеет круг.   Таким образом, площадь максимальна, когда замкнутая кривая -окружность, для которой данная прямая является осью симметрии. Следовательно, решение задачи Дидоны является полукруг с центром на берегу моря.

Вывод: из всех фигур с данным периметром наибольшую площадь имеет круг.

Таким образом, площадь максимальна, когда замкнутая кривая -окружность, для которой данная прямая является осью симметрии. Следовательно, решение задачи Дидоны является полукруг с центром на берегу моря.

"circumdare"(окружать), "circus" (круг),

Можно примерно оценить размеры территории, которую по легенде Дидона могла получить у туземцев.

  • Представим себе бычью шкуру в форме прямоугольника размером 1х2 м.
  • разрежем ее на полоски шириной 1мм вдоль длинной стороны.
  • получается "веревка" длиной примерно 2км.
  • Так что Дидона могла бы в этом случае отгородить полукруг площадью 0,64

Многие историки считают, что это - первая экстремальная задача, которая обсуждалась в научной литературе

.

Частный случай задачи Дидоны   Береговая линия – прямая,   ограниченный участок - прямоугольник .  Какой прямоугольник будет иметь наибольшую площадь?

Частный случай задачи Дидоны

Береговая линия – прямая, 

ограниченный участок - прямоугольник .

Какой прямоугольник будет иметь наибольшую площадь?

Площадь S= Рассмотрим квадратичную функцию 
  • Площадь S=
  • Рассмотрим квадратичную функцию 

S(x)= ,которая принимает наибольшее значение при    ,тогда    .

Таким образом, наибольшую площадь будет иметь прямоугольник с длинами сторон   и   .

Другие примеры изопериметрических задач

Другие примеры изопериметрических задач

  • Пример 1. Докажите, что из всех треугольников данного периметра наибольшую площадь имеет равносторонний.
  • Пример 2. Какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь?
Задача из школьного курса планиметрии по учебнику А.В.Погорелова

Задача из школьного курса планиметрии по учебнику А.В.Погорелова

Зенодор (II в. до н. э.) древнегреческий математик, жил в Александрии. Он написал целый трактат «О фигурах, имеющих равную периферию». Хотя трактат Зенодора не сохранился, некоторые его результаты дошли до нас в изложении других математиков, в том числе следующие теоремы.
  • Зенодор (II в. до н. э.) древнегреческий математик, жил в Александрии. Он написал целый трактат «О фигурах, имеющих равную периферию».
  • Хотя трактат Зенодора не сохранился, некоторые его результаты дошли до нас в изложении других математиков, в том числе следующие теоремы.
Задачи Зенодора

Задачи Зенодора

  • Теорема 1 . Из всех многоугольников с равным периметром и равным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный многоугольник;
Задачи Зенодора

Задачи Зенодора

  • Теорема 2. Из двух правильных многоугольников с равным периметром большую площадь имеет тот, у которого число углов больше;
Задачи Зенодора

Задачи Зенодора

  • Теорема 3. Из всех плоских фигур с равным периметром наибольшую площадь имеет круг.
Задачи Зенодора

Задачи Зенодора

  • отсюда сразу следует, что из всех треугольников равного периметра, имеющих общее основание, площадь максимальна у равнобедренного треугольника;
  • Теорема 4 . Из двух треугольников с общей стороной и равными периметрами меньше площадь того, которому принадлежит наибольший из четырех углов, прилежащих к этой стороне
Исследования такого рода имели не только теоретическое, но и практическое значение: при разделе земли в древности иногда совершались махинации, связанные с выдачей участков большого периметра и маленькой площади.  Периметр легче измерить, чем площадь, поэтому некоторые доверчивые клиенты судили о величине участка по периметру.
  • Исследования такого рода имели не только теоретическое, но и практическое значение: при разделе земли в древности иногда совершались махинации, связанные с выдачей участков большого периметра и маленькой площади.
  • Периметр легче измерить, чем площадь, поэтому некоторые доверчивые клиенты судили о величине участка по периметру.
Изопериметрические задачи опытным путём    Исследование 1. Р -18 см  Треугольники а в с S Разносторонний 3 8 7 √108  5 7 6 √216  4 8 6 √135 Равнобедренный 5 5 8 12  4 7 7 √180  2 8 8 √147

Изопериметрические задачи опытным путём Исследование 1. Р -18 см

Треугольники а в с S

  • Разносторонний 3 8 7 √108

5 7 6 √216

4 8 6 √135

  • Равнобедренный 5 5 8 12

4 7 7 √180

2 8 8 √147

  • Равносторонний 6 6 6 √243
Изопериметрические задачи опытным путём  Р = 20см  Четырёхугольники АВ ВС Угол В S Параллелограмм 1 9 30 4,5  2 8 30 8  3 7 30 10,5  4 6 30 12  Прямоугольник 1 9 9  2 8 16  3 7 21  4 6 24  Квадрат 5 5 25

Изопериметрические задачи опытным путём Р = 20см

Четырёхугольники АВ ВС Угол В S Параллелограмм 1 9 30 4,5

2 8 30 8

3 7 30 10,5

4 6 30 12

Прямоугольник 1 9 9

2 8 16

3 7 21

4 6 24

Квадрат 5 5 25

Исследование 2

Исследование 2

  • Отмотаем от катушки кусочек нити. Отрежем его и свяжем концами. Положим эту связанную нить на лист бумаги.
  • Получилась плоская замкнутая кривая.
  • Выяснить: как следует положить нашу нить, чтобы она охватывала наибольшую площадь?
Диаграмма 1. Площади фигур равного периметра (50 см). ВЫВОД: Из перечисленных фигур, имеющих равный периметр, наибольшую площадь имеет круг. Нить, охватывающая наибольшую площадь, надо положить так, чтобы получилась окружность.

Диаграмма 1. Площади фигур равного периметра (50 см).

ВЫВОД:

Из перечисленных фигур, имеющих равный периметр, наибольшую площадь имеет круг.

Нить, охватывающая наибольшую площадь, надо положить так, чтобы получилась окружность.

Из данных фигур равной площади выявить фигуру с наименьшим периметром.
  • Из данных фигур равной площади выявить фигуру с наименьшим периметром.

ВЫВОД:

Из перечисленных фигур круг, указанный первым, имеет наименьший периметр.

Изопериметрия в жизни  Изучив изопериметрические задачи на плоскости, можно рассмотреть изопериметрическую теорему в пространстве: «Из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет шар».

Изопериметрия в жизни

  • Изучив изопериметрические задачи на плоскости, можно рассмотреть изопериметрическую теорему в пространстве:

«Из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет шар».

Изопериметрической теореме в пространстве мы склонны верить без математического доказательства.

Изопериметрической теореме в пространстве мы склонны верить без математического доказательства.

  • Сама природа расположена в пользу шара. Дождевые капли, мыльные пузыри шарообразны.
Солнце, Луна, наша Земля, планеты шарообразны или почти шарообразны.

Солнце, Луна, наша Земля, планеты шарообразны или почти шарообразны.

Немного зная физику поверхностного натяжения, можно научиться изопериметрической теореме у мыльного пузыря. Будучи сжаты окружающей средой, они стремятся в силу сцепления образовать при неизменном объеме более толстую поверхностную пленку.
  • Немного зная физику поверхностного натяжения, можно научиться изопериметрической теореме у мыльного пузыря. Будучи сжаты окружающей средой, они стремятся в силу сцепления образовать при неизменном объеме более толстую поверхностную пленку.
То же можно сказать про кота, который в холодную ночь сворачивается в клубочек и таким образом делает своё тело насколько возможно шарообразным. Пытаясь сохранить тепло, он уменьшает свою поверхность. Таким образом, он решает задачу о теле с данным объемом и наименьшей поверхностью.
  • То же можно сказать про кота, который в холодную ночь сворачивается в клубочек и таким образом делает своё тело насколько возможно шарообразным.
  • Пытаясь сохранить тепло, он уменьшает свою поверхность. Таким образом, он решает задачу о теле с данным объемом и наименьшей поверхностью.
Рассмотрев эту проблему, можно ответить на вопрос:  почему нефтехранилища на крупных заводах всегда делаются цилиндрическими (а иногда даже шарообразными), а не в виде, скажем, куба, что технологически было бы гораздо удобнее?

Рассмотрев эту проблему, можно ответить на вопрос:  почему нефтехранилища на крупных заводах всегда делаются цилиндрическими (а иногда даже шарообразными), а не в виде, скажем, куба, что технологически было бы гораздо удобнее?

«Всё моё, моё!» — говорит жадный человек, собирая свои руки в круг, показывая, как много добра он может ими захватить. При этом не подозревая, что демонстрирует решение одной из самых древних задач математики — изопериметрической задачи.
  • «Всё моё, моё!» — говорит жадный человек, собирая свои руки в круг, показывая, как много добра он может ими захватить. При этом не подозревая, что демонстрирует решение одной из самых древних задач математики — изопериметрической задачи.
Судьба изопериметрической задачи воистину удивительна! Ответ был известен человечеству почти 3000 лет и ни у кого не вызывал сомнений, но строго доказать его удалось лишь в конце XIX века.

Судьба изопериметрической задачи воистину удивительна! Ответ был известен человечеству почти 3000 лет и ни у кого не вызывал сомнений, но строго доказать его удалось лишь в конце XIX века.

  • Леонард Эйлер
  • Якоб Бернулли
  • Якоб Штейнер
Спасибо за внимание!

Спасибо за внимание!


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 10 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
"Изопериметрическая задача: от глубокой древности до наших дней"

Автор: Клушина Наталия Владимировна

Дата: 17.12.2016

Номер свидетельства: 370519


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства