Исследовательский проект "Волшебные свойства клетчатой бумаги"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 3

Исследовательский проект

Волшебные свойства клетчатой бумаги

Работу выполнили:

учащиеся 6А класса

Руководитель:

Митрофанова Елена Александровна,

учитель математики

г. Сасово

2018

Оглавление

Введение. 3

Основная часть. 4

1. Построение на основе свойств фигур 4

2. Вычисление площадей многоугольников 9

3.Формула Пика. 13

4. Построение фигур по заданной площади. 15

5.Игры и задачи на клетчатой бумаге. 16

Заключение: 20

Литература: 21

Введение.

Тема нашего исследования: «Волшебные свойства клетчатой бумаги».

Почему тетрадь по математике в клеточку? Почему именно клетчатая поверхность листа стала настоящей помощницей математики? Что позволяют делать клетки обычной тетради? Каким образом они позволяют совершать ей необыкновенные чудеса?

Цель: Узнать, почему тетрадь по математике в клетку.

Задачи:

• Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.

• Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

• Найти различные методы и приемы решения задач на клетчатой бумаге.

• Создать презентацию по теме исследования.

• Сделать выводы по результатам работы.

Гипотеза

Тетрадь в клетку - это важный инструмент в изучении математики.

Методы исследования, использованные в работе:

• 1. Анализ литературы по теме.

• 2.Решение геометрических задач.

• 3. Обобщение материала.

Актуальность проблемы:

Существует много видов тетрадей: в клеточку, в линеечку, в ромбик , в кружочек. Но на уроках математики мы используем именно тетрадь в клеточку. В ней мы решаем различные задачи и строим геометрические фигуры. Помогает ли клетка при выполнении таких заданий?

Основная часть.

1. Построение на основе свойств фигур

Тетрадь в клетку очень удобна для занятия геометрией. Она помогает при построении различных геометрических фигур:

Построение перпендикулярных прямых: Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.  

Построение параллельных прямых: Две непересекающиеся прямые на плоскости называют  параллельными. 

И других многоугольников.

Для построения геометрических фигур нужно помнить их свойства, ведь именно они позволяют использовать клеточки в полной мере.

Например, мы знаем, что диагонали прямоугольника при пересечении делятся пополам. Это свойство поможет нам разделить отрезок пополам.

1. Чертим прямоугольник так. Что данный отрезок был его диагональю.

2. Проводим в нем другую диагональ.

Построение перпендикуляра к отрезку, соединяющего два любые узла клетчатой бумаги.

Построение параллельных прямых, проходящих через два любые узла клетчатой бумаги.

Вывод: тетрадь в клетку помогает при построении геометрических фигур.

Симметрия фигур

В древности слово «симметрия» употреблялось в значении «гармония», «красота». Действительно, в переводе с греческого это слово означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».

Посмотрим на кленовый лист, снежинку, бабочку. Их объединяет то, что они симметричны. У них есть ось симметрии. Если симметричную фигуру сложить вдоль оси симметрии, то её части совпадут.

У геометрических фигур может быть одна или несколько осей симметрии. В тетради в клетку легко построить симметричные фигуры.

 Задание .

На рис. 1 на клетчатой бумаге изображены фигуры, симметричные относительно изображённой прямой. Нарисуйте на рис. 2 фигуру, симметричную заштрихованной фигуре относительно данной прямой.

1)

Ответ:

2)

 

Ответ:

3)

Ответ:

4)

Ответ:

2. Вычисление площадей многоугольников

Площадь многоугольника на клетчатой бумаге измеряется квадратными единицами: мм², см². Но в качестве единицы площади можно рассматривать и клетку.

Пусть размер клетки 1×1.

1. Легко найти площадь прямоугольника и прямоугольного треугольника.

Площадь прямоугольника: S= 4 ×10 =40(кв.ед.)

Площадь прямоугольного треугольника: S= (8 ×6) : 2 = 24 (кв.ед.)

Начертив многоугольник с вершинами в узлах клеток и можно найти его площадь. Это можно сделать разными способами.

1 способ.

Разделим многоугольник на части – прямоугольники и прямоугольные треугольники с вершинами в узлах клеток, стороны которых проходят по линиям. В полученном многоугольнике легко посчитать площади частей, сложить их, чтобы найти искомую площадь многоугольника.

1)Найдём площадь фигуры ABCD.

S = S₁ + S₂ + S₃ + S₄ =(1×4)÷2+(1×3)÷2+(1×1)+(1×2)÷2=2+1,5+1+1=5,5(кв.ед.)

2)Найдём площадь фигуры ABCD.

S=S₁+S₂+S₃=(1×4)÷2+(3×3)÷2+(1×3)÷2=2+4,5+1,5=8(кв.ед.)

3)Найдём площадь фигуры ABCD.

S=S₁+S₂=(2×3)÷2+(2×3)=3+6=9(кв.ед.)

2 способ.

Достраиваем искомую фигуру до прямоугольника.

Находим площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника.

Из площади прямоугольника вычетаем сумму площадей всех лишних фигур.

1. Найдём площадь фигуры ABCD.

S=S-S₁-S₂-S₃-S₄=(4×4)-(3×1)÷2-(3×1)÷2-(3×1)÷2-(3×1)÷2=16-1,5-1,5-1,5-1,5=10(кв.ед)

2) Найдём площадь фигуры ABCD.

S=S_кв.-S₁-S₂-S₃=(4×4)-(4×4):2-(2×1):2-(2×1):2=16-8-1-1=6(кв.ед)

3) Найдём площадь фигуры ABCD.

S=S_пр.-S₁-S₂-S₃-S₄=3×6-(4×1)÷2-(2×2)÷2-(4×1)÷2-(2×2)÷2=

=18-2-2-2-2=10(кв.ед.)

Нужно окружить нашу фигуру прямоугольником. Вот так:

Получился один (нужный) треугольник внутри и целых три ненужных треугольника снаружи. Но зато площади этих ненужных треугольников легко считаются на листе в клетку! Вот мы их посчитаем, а потом просто вычтем из целого прямоугольника.

S​₁ ​​=​​ ( 6×4) : 2 =12

S₂= (7× 4) : 2 =14

S₃=(3×2) : 2 =3

S= 6×7 −12−14−3 = 42−12−14−3=13(кв.ед.)

Почему же этот способ лучше? Потому что он работает и для самых хитрых фигур. Например, нужно посчитать площадь такой фигуры:

Окружаем ее прямоугольником и снова получаем одну нужную, но сложную площадь и много ненужных, но простых.

А теперь, чтобы найти площадь  S,  просто находим площадь прямоугольника и вычитаем из него оставшуюся площадь фигур на клетчатой бумаге S₁+S₂+S₃+S₄

S=33,5.

3.Формула Пика.

Георг Александр Пик (1859-1942)

Круг его математических интересов был чрезвычайно широк. Но он больше всего известен, однако, своей теоремой Пика, которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года.

Для того чтобы найти площадь любой фигуры по клеточкам, можно использовать формулу Пика.

Данная формула основана на подсчёте количества узлов, лежащих внутри фигуры и на её границе.

Узел – это точка, которая лежит на пересечении 2 линий данной сетки: вертикальных и горизонтальных.

Площадь фигуры по клеточкам находится по формуле:

N – количество узлов, которые находятся внутри фигуры.

M – количество узлов, которые находятся на границах (на вершинах и сторонах).

Примеры нахождения площади по клеточкам

1) Найдём площадь треугольника. Отметим внутренние узлы и узлы, которые находятся на границах.

N = 7 (внутренние).

M = 8 (узлы на границах).

Площадь треугольника S = 7 + 8/2 - 1 = 10 ( кв. ед.)

2) Найдём площадь трапеции по клеточкам. Отметим все узлы и подсчитаем их количество.

N = 11 (внутренние).M = 12 (узлы на границах). Площадь трапеции S = 11 + 12/2 - 1 = 10( кв. ед.)

4. Построение фигур по заданной площади.

Умение находить площади фигур позволяет нам справиться с такими заданиями как построение фигур по заданным площадям:

1. Начертите два разных прямоугольных треугольника, площади которых равны: а) двум клеткам; б) 3 клеткам; 4,5 клетки.

2. Начертите квадрат, площадь которого равна: а) 10 клеткам; б) 17 клеткам; 26 клеткам.

С какими площадями можно еще начертить квадрат?

5.Игры и задачи на клетчатой бумаге.

Игры – это увлекательное занятие, особенно, если есть возможность проявить смекалку и стать победителем благодаря собственным навыкам. Есть игры, для которых нужна поверхность с квадратами, например шахматы, шашки, но есть и такие, где можно использовать специальные доски и бумагу в клеточку. Я рассмотрел следующие игры.

1) Крестики – нолики

Популярная игра в крестики – нолики состоит в следующем. Двое по очереди рисуют на листе клетчатой бумаги крестики и нолики. Первый игрок рисует крестики, второй – нолики. Выигрывает тот, кто первым поставит определённое количество своих знаков в ряд (по вертикали, горизонтали или диагонали).

2)«Морской бой»

3)Ползунок.

Эта игра была придумана Д. Силверменом, автором довольно известной книги "Ваш ход". Игровое поле представляет собой решетку размером 5×6 точек (можно играть и на полях других размеров).

Играют двое, проводя по очереди горизонтальные или вертикальные "единичные" отрезки. Требуется, чтобы получающаяся траектория игры была непрерывной, однако присоединять новый отрезок к уже имеющейся ломаной можно с любого конца. Проигрывает тот, кто вынужден своим ходом замкнуть траекторию. Например, в позиции на рис. 6 тот, чья очередь ходить, проигрывает.

Задачи на разрезание.

1. Разрежьте прямоугольник на 3 части с равными площадями.

1. Разрежьте фигуру на 4 равные части.

Ответ:

Задача. Разрежьте изображенный на рисунке квадрат на одинаковые части, чтобы каждая из них содержала 3 заштрихованные клетки.

Ответ:

1. Разрежьте фигуру на четыре равные части.

Ответ:

Заключение:

Значит и правда клетка помогает! И строить! И измерять! Ведь клетка это квадрат. Его сторонами можно измерять длины отрезков, а самими квадратами можно измерять площадь. Но главное волшебство клетки мы открыли в её узлах - точках, являющихся вершинами квадратов-клеток. Они, как звёзды на небе открывают нам созвездия геометрических фигур и их свойства.

Головоломки увлекают решением задач на клетчатой бумаге, заставляют проявить свою смекалку.

При выполнении проекта мы расширили свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, убедились в их многообразии. Мы научились вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке, узнали, как раскраска клеточек помогает решать многие задачи, а также познакомились поближе с задачами на разрезание и, наконец, научился играть в увлекательные игры на листке бумаги в клетку. Таким образом, обычная тетрадь по математике вовсе не обычная. Клетка позволяет ей совершать настоящие чудеса!

Литература:

1. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия»: учебное пособие для 5-6 классов – Смоленск: Русич,1995

2. https://math6-vpr.sdamgia.ru/test?theme=1

https://botana.cc/prepod/_bloks/pic/ym6b0om-002.jpg

https://ds04.infourok.ru/uploads/ex/126a/000123d9-ffd2fd4a/2/img8.jpg

https://ds04.infourok.ru/uploads/ex/091d/00001ca4-ef5c74ff/7/img5.jpg

http://900igr.net/up/datas/64119/004.jpg

http://ucthat-v-skole.ru/zagruzki/tangram-shema.docx

https://ot2do6.ru/uploads/posts/2016-03/1459430485_11.jpg

https://from-ua.com/upload/32ea79242aa2436.jpg

14

Волшебные свойства клетчатой бумаги

Цель :

Узнать, почему тетрадь по математике в клетку.

Задачи :

• Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.

• Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

• Найти различные методы и приемы решения задач на клетчатой бумаге.

• Создать презентацию по теме исследования.

• Сделать выводы по результатам работы.

1. Построение фигур

2. Нахождение площадей фигур.

3. Построение фигур по заданной площади.

4. Игры и задачи на клетчатой бумаге.

Гипотеза

Тетрадь в клетку - это важный инструмент в изучении математики .

Актуальность проблемы:

6

Клетка – ты Чудо!

Загадочна, проста и таинственна.

Сколько возможностей открытий

хранишь в себе,

сколько закономерностей

можно раскрыть,

благодаря этому Чуду.

6

6

Построение

фигур

6

Построение фигур

10

Симметрия на клетчатой бумаге

10

Нарисуйте на рис. 2 фигуру, симметричную заштрихованной

фигуре относительно данной прямой.

10

Нарисуйте на рис. 2 фигуру, симметричную заштрихованной

фигуре относительно данной прямой.

10

Вычисление площадей многоугольников

S = 4 ×10 =40(кв.ед.)

S = (8 ×6) : 2 = 24 (кв.ед.)

10

Вычисление площадей многоугольников

S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4

S=(1×4) : 2+(1×3) : 2+(1×1)+(1×2) : 2 =

=2+1,5+1+1=5,5( кв . ед .)

S=S 1 +S 2 +S 3 =

= (1×4) : 2+(3×3) : 2+(1×3)÷2=

= 2+4,5+1,5=8( кв . ед .)

10

Вычисление площадей многоугольников

S=S кв . -S 1 -S 2 -S 3 =

= (4×4)-(4×4):2-(2×1):2-(2×1):2=

= 16-8-1-1=6( кв . ед )

10

10

В = 7 (внутренние).

Г = 8 (узлы на границах).

S = 7 + - 1 = 10 ( кв. ед.)

10

Начертить квадрат, площадь которого равна 17 клеткам.

10

10

Узлы клеток превращают чистый лист

«Крестики-нолики»

10

Узлы клеток превращают чистый лист

«Морской бой»

10

Узлы клеток превращают чистый лист

«Ползунок»

10

Задачи на разрезание

Разрежьте прямоугольник на

3 равновеликих части.

Разрежьте прямоугольник на 3 части с равными площадями.                 Задачи на разрезание                         .

Задачи на разрезание

Разрежьте фигуру на

4 равные части

Разрежьте фигуру на 4 равные части.

Задачи на разрезание

Узлы клеток превращают чистый лист бумаги

в волшебную страну.

Они, как звёзды на небе открывают нам созвездия

геометрических фигур и их свойства.

Они помогают строить и измерять.

Обычная тетрадь по математике

вовсе не обычная.

Клетка позволяет ей совершать

настоящие чудеса!

Выводы:

При выполнении проекта мы

• расширили свои знания о решении задач

на клетчатой бумаге,

• убедились в их многообразии,

• научились вычислять площади многоугольников,

нарисованных на клетчатом листке,

• узнали, как раскраска клеточек помогает решать

многие задачи,

• познакомились поближе с задачами на разрезание,

• научился играть в увлекательные игры на листке

Используемые ресурсы

• http://www.globallab.ru/mim/mim/intro/all.2476.ru.htm

• http://dreaminginjavascript.wordpress.com/2008/07/15/javascript-numbers-can-bite/

И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия»: учебное пособие для 5-6 классов – Смоленск: Русич,1995