Исследовательская работа "Логарифмы в музыке" ученицы 10 " А" класса Журавлёвой Анны.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №1 имени Героя Советского Союза Петра Владимировича Масленникова ст.Архонская»

Презентация по дисциплине: «Математика» на тему: «Логарифмы в музыке»

Выполнила ученица 10 «А» класса:

Журавлева Анна

Руководитель: Кусей Л.А.

Цели:

• «…Даже изящные искусства питаются ею. Разве музыкальная гамма не есть, Набор передовых логарифмов?» ( Э. Брил, «Ода экспоненте » )

• Расширить представление о логарифмической функции, применение ее свойств в нестандартных ситуациях;
• Развить интерес к истории математики и ее практическим приложениям.

Связь логарифмов с музыкой

Музыканты редко увлекаются математикой; большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты - даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина «алгеброй гармонию», - встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими «страшными» вещами,

как логарифмы.

Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским бароном  Непером (1550-1617)  и через десять лет швейцарским механиком  Бюрги (1552-1632).  Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию и, тем самым, вступил в новую область теории функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у обоих не похоже на современное.

Джон Непер (1550—1617)

Йост Бюрги (1552—1632)

log

Термин « логарифм» (logarithmus)  принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов:  logos – «отношение»  и  ariqmo – «число» , которое означало  «число отношений» . Первоначально Непер пользовался другим термином: numeri artificiales - «искусственные числа», в противоположность numeri naturalts – «числам естественным».

Между математикой и музыкой существуют многообразные связи. Они сложились исторически благодаря глубокой внутренней необходимости, которую можно объяснить тем, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства. Эту связь не раз подчеркивали и математики, и музыканты.

Вот что говорил далекий от математики человек – известный пианист Генрих Нейгауз: «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства».

Пифагор был не только великим математиком, но и хорошим музыкантом. Он установил, что приятные сочетания звуков соответствуют определённым соотношениям между длинами колеблющихся струн или расстояниями между дырочками свирели, и создал первую математическую теорию музыки.

И хотя музыканты не любят «проверять алгеброй гармонию», они всё время имеют дело с математикой, так как современная гамма основана на логарифмах. Вот отрывок из статьи известного русского физика А.А. Эйхенвальда: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с пренебрежением, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. Правда, Пифагор нашёл какие-то соотношения между звуковыми колебаниями - но ведь как раз пифагорова - то гамма для нашей музыки и оказалась неприменимой. Представьте же себе, как неприятно был поражён мой товарищ, когда я доказал ему, что играя по клавишам современного рояля, он играет собственно говоря, на логарифмах».

Около 1700 года немецкий органист А. Веркмайстер осуществил гениальное решение: отказался от совершенных и несовершенных консонансов пифагорейской гаммы. Сохранив октаву, он разделил ее на 12 равных частей. В новом 12-ступенном строе октава стала состоять из 12 равных полутонов . Новый музыкальный строй позволил выполнять транспонирование мелодии. С введением этого строя в музыке Восторжествовала темперация (от лат. соразмерность).

Итак, логарифмы отношений частот весьма точно совпадают с разделением октавы на интервалы, равные 1 /12 , которые соответствуют полутонам. С помощью 12-ступенной шкалы можно построить интервалы, которые наиболее распространены в музыке. Среди них : Октава Септима Секста Квинта Кварта Терция Секунда

Положим, что ноте “до” самой низкой октавы – будем ее называть нулевой – соответствует частота, равная  п  колебаниям в секунду. В октаве частота колебаний нижнего звука в 2 раза меньше верхнего, т.е. эти частоты соотносятся как 1 : 2. Тогда ноте “до” первой октавы будут соответствовать 2 п  колебаний в сек., а ноте “до” третьей октавы - 2 m  ·  п колебаний в сек. И так далее. Тогда высоту, т.е. частоту любого звука можно выразить формулой

N mn  = n · 2 ( 12 v2) p

Логарифмируя эту формулу получаем:

lg N mp  = lg n + m lg2 + p(lg2)/12,

lg N mp  = lg n + (m + p/12) lg2

Принимая частоту самого низкого “до” за единицу (n = 1) и приводя все логарифмы к основанию 2, имеем log 2  N mp  = Севастьян Бах Прелюдия Фуга “до – минор”.

Между математикой и музыкой существуют многообразные связи. Они сложились исторически благодаря глубокой внутренней необходимости, которую можно объяснить тем, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства.

«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства».

Г. Нейгауз, пианист