Исследовательская работа " История логарифмов. Логарифмические таблицы. Логарифмическая линейка. " ученицы 10 "А" Плиевой Эллины.

МБОУ "СОШ №1 им. Героя Советского Союза

П.В. Масленникова ст. Архонская".

Работу выполнила:

Плиева Эллина,

учащаяся 10 "А" класса

Научный руководитель :

Кусей Л.А.

учитель математики

1 категории.

Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен в глубь истории вплоть до древневавилонской математики (около 2000 до н.э.). В те времена интерполяция между табличными значениями целых положительных степеней целых чисел использовалась для вычисления сложных процентов. Гораздо позже Архимед (287-212 до н.э.) воспользовался степенями числа 108 для нахождения верхнего предела числа песчинок, необходимого для того, чтобы целиком заполнить известную в те времена Вселенную. Архимед обратил внимание на свойство показателей степеней, лежащее в основе эффективности логарифмов: произведение степеней соответствует сумме показателей степеней. В конце Средних веков и начале Нового времени математики все чаще стали обращаться к соотношению между геометрической и арифметической прогрессиями. М.Штифель в своем сочинении Арифметика целых чисел (1544) привел таблицу положительных и отрицательных степеней числа 2:

Штифель заметил, что сумма двух чисел в первой строке (строке показателей степени) равна показателю степени двойки, отвечающему произведению двух соответствующих чисел в нижней строке (строке степеней). В связи с этой таблицей Штифель сформулировал четыре правила, эквивалентных четырем современным правилам операций над показателями степеней или четырем правилам действий над логарифмами: сумма в верхней строке соответствует произведению в нижней строке; вычитание в верхней строке соответствует делению в нижней строке;

умножение в верхней строке соответствует возведению в степень в нижней строке; деление в верхней строке соответствует извлечению корня в нижней строке.

^ Вещественный логарифм

По-видимому, правила, аналогичные правилам Штифеля, привели Дж.Непера к формальному введению первой системы логарифмов в сочинении Описание удивительной таблицы логарифмов, опубликованном в 1614 году; в нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке.

Но мысли Непера были заняты проблемой превращения произведений в суммы еще с тех пор, как более чем за десять лет до выхода своего сочинения Непер получил из Дании известие о том, что в обсерватории Тихо Браге его ассистенты располагают методом, позволяющим превращать произведения в суммы. Метод, о котором говорилось в полученном Непером сообщении, был основан на использовании тригонометрических формул.

Поэтому таблицы Непера состояли главным образом из логарифмов тригонометрических функций. Хотя понятие основания не входило в явном виде в предложенное Непером определение, роль, эквивалентную основанию системы логарифмов.

Непер (понятия функции тогда ещё не было) определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.

Независимо от Непера и почти одновременно с ним система логарифмов, довольно близкая по типу, была изобретена и опубликована Й.Бюрги в Праге, издавшем в 1620 году Таблицы арифметической и геометрической прогрессий. Это были таблицы антилогарифмов по основанию (1 + 10–4) ґ104, достаточно хорошему приближению числа e.

В системе Непера логарифм числа 107 был принят за нуль, и по мере уменьшения чисел логарифмы возрастали. Когда Г.Бриггс (1561–1631) навестил Непера, оба согласились, что было бы удобнее использовать в качестве основания число 10 и считать логарифм единицы равным нулю. Тогда с увеличением чисел их логарифмы возрастали бы. Таким образом, мы получили современную систему десятичных логарифмов, таблицу которых Бриггс опубликовал в своем сочинении Логарифмическая арифметика (1620). Логарифмы по основанию e, хотя и не совсем те, которые были введены Непером, часто называют неперовыми. Термины «характеристика» и «мантисса» были предложены Бриггсом.

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов – незаменимый инструмент инженера.

Близкое к современному понимание логарифмирования – как операции, обратной возведению в степень – впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге Введение в анализ бесконечных (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма. Таким образом, благодаря трудам Эйлера, сформировалась концепция логарифмической функции.

Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

^ Комплексный логарифм

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII-XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось – в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века – между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер считали, что следует определить log(-x) = log(x). Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747-1751 годах и по существу ничем не отличается от современной.

Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), однако точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание.

^ Логарифмические таблицы

Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам выполнить потенцирование, то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов «продлило жизнь астрономов», многократно ускорив процесс вычислений.

При переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Иост Бюрги, друг Кеплера (1620). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже – с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого.

^ Приложения логарифмов

Логарифмы первоначально использовались исключительно для упрощения вычислений, и это их приложение до сих пор остается одним из самых главных. Вычисление произведений, частных, степеней и корней облегчается не только благодаря широкой доступности опубликованных таблиц логарифмов, но и благодаря использованию т.н. логарифмической линейки – вычислительного инструмента, принцип работы которого основан на свойствах логарифмов. Линейка снабжена логарифмическими шкалами, т.е. расстояние от числа 1 до любого числа x выбрано равным log x; сдвигая одну шкалу относительно другой, можно откладывать суммы или разности логарифмов, что дает возможность считывать непосредственно со шкалы произведения или частные соответствующих чисел. Воспользоваться преимуществами представления чисел в логарифмическом виде позволяет и т.н. логарифмическая бумага для построения графиков (бумага с нанесенными на нее по обеим осям координат логарифмическими шкалами). Если функция удовлетворяет степенному закону вида y = kxn, то ее логарифмический график имеет вид прямой, так как

log y = log k + n log x

– уравнение, линейное относительно log y и log x. Наоборот, если логарифмический график какой-нибудь функциональной зависимости имеет вид прямой, то эта зависимость – степенная. Полулогарифмическая бумага (у которой ось ординат имеет логарифмическую шкалу, а ось абсцисс – равномерную шкалу) удобна в тех случаях, когда требуется идентифицировать экспоненциальные функции. Уравнения вида y = kbrx возникают всякий раз, когда некая величина, такая как численность населения, количество радиоактивного материала или банковский баланс, убывает или возрастает со скоростью, пропорциональной имеющемуся в данный момент количеству жителей, радиоактивного вещества или денег. Если такую зависимость нанести на полулогарифмическую бумагу, то график будет иметь вид прямой.

Логарифмическая функция возникает в связи с самыми разными природными формами. По логарифмическим спиралям выстраиваются цветки в соцветиях подсолнечника, закручиваются раковины моллюска Nautilus, рога горного барана и клювы попугаев. Все эти природные формы могут служить примерами кривой, известной под названием логарифмической спирали. Логарифмические линейки

Первым устройством для выполнения умножения был набор деревянных брусков, известных как палочки Непера.

В 17 веке шотландцем Джоном Непером (1550-1617 гг.) были изобретены логарифмы. Для их вычисления он предложил использовать устройство, называемое "палочками Непера", которые позволяли быстро выполнять операции умножения и деления. Наряду с палочками Непер предложил счетную доску для выполнения четырех арифметических действий, а также возведения в квадрат, извлечения квадратного корня в двоичной системе счисления, предвосхитив тем самым преимущество двоичной системы счисления для автоматизации вычислений.

Вслед за изобретением логарифмов, позволивших свести умножение чисел к сложению их логарифмов, а деление - к вычитанию, была изобретена и логарифмическая линейка. Точная дата ее изобретения неизвестна. С уверенностью можно лишь сказать, что это произошло между 1620 и 1630 годами. Авторство логарифмической линейки оспаривали между собой Уильям Отред и Ричард Деламейн. Они оба были преподавателями математики в учебных заведениях Англии. Логарифмическая линейка, по-видимому, была изобретена ими независимо друг от друга и практически одновременно. Впоследствии ученики Отреда и Деламейна разожгли между ними споры о приоритете, напрасно отравившие жизнь обоих изобретателей.

В последующие годы были предложены и использовались самые различные конструкции логарифмических линеек - в виде концентрических окружностей со шкалами, вращающимися друг относительно друга, в виде цилиндра, даже в виде спиральной линейки, что позволяло увеличить длину шкалы и точность. Наиболее близкая к современной прямоугольной линейке конструкция была предложена Робертом Биссакером в 1654 г. Его линейка состояла из трех самшитовых планок длиной около 60 см. Две внешние удерживались вместе медной оправой, а третья (движок) свободно скользила между ними. Каждой логарифмической шкале на неподвижных планках соответствовала такая же на движке. Шкалы имелись на обеих сторонах линейки.

На этом совершенствование логарифмических линеек не закончилось. В 1683 г. Томас Эверард, механик и налоговый чиновник, поместил на линейке шкалы для возведения в квадрат и куб и извлечения квадратного и кубического корней. Он же впервые нанес на шкалы "особые точки", отметив ими числа, часто встречающиеся в вычислениях: 3,14 (число p); 0,886 (сторона квадрата, равновеликого кругу единичного радиуса) и ряд других. Любопытно отметить, что такой неотъемлемый элемент современной линейки, как "бегунок", появился лишь 100 лет спустя, уже в XVIII веке.

Логарифмическая линейка не может обеспечить вычислений с очень большой точностью, но на хорошо изготовленной линейке вполне можно получить точность до третьей значащей цифры (три верных десятичных знака), а этого обычно вполне достаточно для технических расчетов, поскольку все исходные данные получаются в технике на основе опыта и измерения и имеют ограниченную точность. Измерительные приборы, используемые в технике, не дают обычно больше двух-трех верных значащих цифр, поэтому и в конечном результате четвертый, пятый и последующие десятичные знаки ненадежны, выписывать их не следует и точности, даваемой логарифмической линейкой, как правило, вполне достаточно.

Иногда против этого тезиса возражают, напоминая, что современные вычислительные машины производят вычисления со значительно большим числом десятичных знаков, но здесь дело в другом: быстродействующие вычислительные машины реализуют вычисления с огромным числом промежуточных операций, в том числе умножений, при каждом умножении многозначных чисел возникает малая погрешность округления, близкая к половине единицы последнего разряда; при огромном числе вычислительных операций ошибка от округлений быстро возрастает, поэтому для обеспечения достоверности всего трех значащих цифр в окончательном результате используют 7-9 десятичных цифр в промежуточных вычислениях. Необходимо твердо помнить, что, если машина напечатала окончательный результат с девятью десятичными цифрами, то это совсем не означает, что все напечатанные машиной цифры верны и надежны.

Логарифмические линейки широко использовались для инженерных расчетов и в XIX, и в XX веке; они очень хорошо помогали инженерам, и только появившиеся много позже карманные калькуляторы составили им конкуренцию.