Исследовательская работа "Загадочный мир полимино"

Загадочный мир полимино

Хамдеев Ришат и Петров Павел учащиеся 8 класса

МБОУ «Полевобикшикская СОШ»

Цель работы

.

1. Расширить свои знания в области геометрии.

2. Изучить и решить задачи на полимино.

3. Выявить практическое применение задач .

4. Потренировать

геометрическое воображение и умение мыслить логически.

Полимино было придумано в 50-х годах ХХ века американским математиком С. Голомбом. А игра « Пентамино» очень быстро увлекла не только школьников и студентов, но и профессоров математики .

полимино

поли

перевод с греч. – «много»

Наш опрос

Перед вами несколько образцов полимино:

Полимино - это геометрические объекты, сделанные путем соединения определенного количества квадратов друг с другом .

  Мономино

  Домино

  Тримино

  Тетромино

  Пентамино

  Гексомино

1 вид

2 вида

Домино

Тримино

Тетрамино

5 видов

Первая связанная с домино задача

Даны шахматная доска, из которой вырезана пара противоположных угловых клеток, и коробка домино, каждое из которых покрывает ровно две клетки шахматной доски . Возможно ли целиком покрыть доску с помощью 31 кости домино (без свободных клеток и наложений)? Ответ на этот вопрос гласит: «НЕТ» и имеет замечательное доказательство. Шахматная доска содержит 64 чередующиеся клетки белой и черной раскраски .Каждая положенная на такую доску и покрывающая две соседние клетки кость домино покроет одно белое и одно черное поле, а  n  костей домино –  n  белых и  n  черных полей, т.е. поровну и тех и других. Но изображенная на рисунке шахматная доска содержит больше черных клеток, чем белых, и потому ее нельзя покрыть костями домино.

Задача Р. Джуэт

Существует ли такой прямоугольник, сложенный из костей домино, в котором нельзя провести ни вертикальную, ни горизонтальную прямую, соединяющую его противоположные стороны.

Если представить себе вместо домино кирпичи, то задача сводится к вопросу о прочности кладки.

Самый маленький "прочный" прямоугольник имеет размер 5x6. Вот два различных построения такого прямоугольника:

Вообще "прочный" прямоугольник из домино можно сложить тогда, когда его площадь чётна, а длина и ширина больше четырёх.

Пентамино

Пентамино – фигуры, составленные из пяти квадратов так, что каждый квадрат примыкает хотя бы к одному соседнему, имеющему с ним общую сторону.

Пентамино

Нарисовать все фигурки пентамино можно, устроив соревнование между детьми. Кто нарисует последнюю фигурку, тот выиграл!

Задача

Сложите из двенадцати фигур пентамино прямоугольник, без перекрытий и зазоров.

Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20. Существует ровно 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10, а вот вариантов прямоугольника 3х20 всего 2. 

Известно, что из нескольких тысяч различных способов составления данного прямоугольника (фигуры, переходящие друг в друга при отражении или повороте, не считаются разными), только два удовлетворяют поставленному условию (во всяком случае, другие неизвестны). Второе решение замечательно тем, что прямоугольник можно разделить по внутренним линиям на две равные части.

Игра в пентамино

• В пентамино можно играть и вдвоем. двое игроков по очереди выбирают любую из 12 фигурок пентамино и располагают ее на свободных клетках поля 8 х 8.
• Проигрывает тот, кто первым не сможет разместить на доске ни одного пентамино. Если же все фигурки удалось разместить на доске, то выигрывает ходивший последним.
• С конца 1980-х годов неоднократно выходили различные компьютерные игры, основанные на Пентамино. Наиболее известная — основанная на идее тетриса игра.

Из фигурок пентамино можно сложить паркет.

Вывод

• Весь собранный нами материал, на наш взгляд, интересный и может быть использован на дополнительных уроках по математике в 4-8классах.

• «Пентамино» - очень увлекательная игра, которая развивает логическое мышление.

• Мы решали задачи, предложенные любителями полимино.

Заключение

• Сегодня полимино переживает очередной пик популярности во всем мире,к тому же открыты новые направления полимино и области его применения. Так, математики используют основы и принципы полимино для решения конкурсных задач, а дизайнеры увидели в полимино возможность для создания шедевров в оформлении помещений и паркета. Для психологов полимино – это одно из направлений арттерапии, так как полимино в состоянии воздействовать на эмоциональную сферу человека.

Список использованной литературы

• Кордемский Б.А., Русалев Н.В. «Удивительный квадрат», Москва, 1994, «Столетие»;
• Кордемский Б.А., «Математическая смекалка», «Манускрипт», Санкт-Петербург, 1994.
• Перельман Я.И., «Занимательная геометрия», издательство «АСТ», Москва 2003.
• В презентации использовались картинки из Интернета.

Можно сложить из фигурок буквы.

Немного о тетрисе

• С конца 1980-х годов неоднократно выходили различные компьютерные игры, основанные на Пентамино. Наиболее известная — основанная на идее тетриса игра пентикс (Pentix). Один из новейших примеров — игра Dwice, которую разработал в 2006 году изобретатель Тетриса Алексей Пажитнов.
• Интерес к фигурам домино , тримино , тетрамино и пентамино в СССР возник благодаря книге С. В. Голомба

Составление квадратов и прямоугольников

• Однако у тетрамино есть другое интересное свойство. Из некоторых элементов пентамино (а именно всех, за исключением I, T, X, V) в сочетании с полным набором тетрамино можно составить квадрат 5x5. Вот два таких построения: