Интерактивный плакат по теме "Свойства логарифмов", 10 класс

1 2 3

«Свойства логарифмов» ( 10 класс)

Айзикович Анна Георгиевна, учитель математики

• Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 13 с углублённым изучением отдельных предметов» города Губкина Белгородской области

1 2 3

Тема: Свойства логарифмов

Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь. П. С. Лаплас

II Объяснение нового материала

Идея Архимеда

I Актуализация опорных знаний учащихся

Теорема о свойствах логарифма

Формула перехода логарифмов от одного основания к другому

Чувств наших логарифмы

III Закрепление

1 ) Чувств наших логарифмы

Фронтальная работа по учебнику.

2) Механизм работы слуховой системы

IV Проверка знаний

Алгебраическая головоломка

тест

3) Яркость источников света

— шкала звездных величин

Проверь себя

V Задание на дом

4) Химическая чувствительность — шкала кислотности

Из истории логарифмов

§5.2

Назад

№ 5.12 (а, б, в)

№ 5.14 (г, д, е)

№ 5.20 (в, г)

№ 5.24 (б)

1 2 3

Тема: Свойства логарифмов

Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь. П. С. Лаплас

II Объяснение нового материала

Идея Архимеда

I Актуализация опорных знаний учащихся

Теорема о свойствах логарифма

Формула перехода логарифмов от одного основания к другому

Чувств наших логарифмы

III Закрепление

1 ) Чувств наших логарифмы

Фронтальная работа по учебнику.

2) Механизм работы слуховой системы

IV Проверка знаний

Алгебраическая головоломка

тест

3) Яркость источников света

— шкала звездных величин

Проверь себя

V Задание на дом

4) Химическая чувствительность — шкала кислотности

Из истории логарифмов

§5.2

№ 5.12 (а, б, в)

№ 5.14 (г, д, е)

№ 5.20 (в, г)

№ 5.24 (б)

1 2 3

Тема: Свойства логарифмов

Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь. П. С. Лаплас

II Объяснение нового материала

§5.2

Идея Архимеда

I Актуализация опорных знаний учащихся

Теорема о свойствах логарифма

Формула перехода логарифмов от одного основания к другому

№ 5.12 (а, б, в)

Чувств наших логарифмы

III Закрепление

1 ) Чувств наших логарифмы

Фронтальная работа по учебнику.

№ 5.14 (г, д, е)

2) Механизм работы слуховой системы

IV Проверка знаний

Алгебраическая головоломка

№ 5.20 (в, г)

тест

3) Яркость источников света

— шкала звездных величин

Проверь себя

V Задание на дом

4) Химическая чувствительность — шкала кислотности

№ 5.24 (б)

Из истории логарифмов

§5.2

№ 5.12 (а, б, в)

№ 5.14 (г, д, е)

Назад

№ 5.20 (в, г)

№ 5.24 (б)

Тема. Свойства логарифмов. Алгебраическая головоломка.

Рассмотрим остроумную алгебраическую головоломку, которой развлекались участники одного съезда физиков в Одессе.

Предлагается задача: любое данное число, целое и положительное, изобразить с помощью трех двоек и математических символов.

Решение. Покажем, как задача решается, сначала на частном примере. Пусть данное число 3. Тогда задача решается так:

Легко удостовериться в правильности этого равенства. Действительно,

Если бы дано было число 5, мы разрешили бы задачу тем же приемом:

  Как видим, мы используем здесь то, что при квадратном радикале показатель корня не пишется.

  Общее решение задачи таково. Если данное число N, то

причем число радикалов равно числу единиц в заданном числе.

Идея Архимеда

Испокон веков люди пытались упростить. Логарифмы были созданы в 16 веке. В их основе лежит очень простая идея, знакомство с которой приписывается еще Архимеду.

Рассмотрим две прогрессии, арифметическую (первая строчка) и геометрическую (вторая строчка, при и b 1 = 2 и q = 2).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

Эти строки позволяют упрощать вычисления. Выполним умножение .

Рассмотрим верхнюю строчку: над числом 16 стоит 4, над числом 32 стоит 5,

4+5=9 и опустимся вниз – под 9 стоит 512. Значит,(Аналогично выполняется и деление, только числа первого ряда нужно вычитать). Что же представляют собой числа верхнего и нижнего ряда? Первый ряд - это показатели выписанных в нижнем ряду степеней с основанием 2. Показатели степеней называются логарифмами. Таким образом, мы получили, что логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

Чувств наших логарифмы

За фразой «всё познается в сравнении» стоит конкретная математическая формула

• В быту, как правило, мы используем для измерения различных величин линейные шкалы— метры, мили и футы, граммы, тонны и фунты. В науке диапазон измерений значительно шире, чем в быту, поэтому ученые часто оперируют порядками величин, записывая числа в так называемой научной символике, обозначаемой на калькуляторах как «scientific notation».
• Например, вместо 56000 пишут 5,6 ´ 104. По существу, это логарифмическая запись, хотя в показателе степени обычно оставляют только целую часть логарифма, а мантиссу — дробную часть логарифма — записывают в виде десятичной дроби . Это удобно: целый показатель степени сразу указывает область измерения — «порядок величины». В нашем примере запись «104» говорит о том, что речь идет о десятках тысяч.
• Неосознанно мы очень часто используем такое представление чисел и в быту. Говоря: «Три с половиной миллиона», или пользуясь сокращенной записью «3,5 млн», мы фактически пользуемся научной нотацией (3,5 ´ 106).
• И, как оказывается, наша неявная склонность к логарифмическому представлению чисел имеет глубокое физиологическое обоснование: дело в том, что различные органы чувств в нашем теле тоже пользуются логарифмическими шкалами .

Теорема о свойствах логарифма

Теорема: Пусть a, M и N–положительные числа, причeм a≠ 1, и γ – действительное число. Тогда справедливы равенства

(1) N, (2) (3)

Доказательство . Представим числа M и Nследующим образом:

и мы доказали равенство (1).

Далее , откуда N

и мы доказали равенство (2).

Имеем также откуда и мы доказали равенство (3).

Теорема доказана.

Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа.

Формула перехода логарифмов от одного основания к другому

Для положительных чисел a, b и M, таких, что a≠1 и b≠1, справедливо также следующее равенство:

Это равенство называют формулой перехода логарифмов от одного основания к другому.

Докажем равенство. В силу свойства (3) имеем

Заменим равным ему числом M:

Так как a≠1 , то Разделив правую и левую часть равенства на , получим данное равенство.

Заменив в равенстве

число M на число b и учитывая, что получим равенство

Фронтальная работа по учебнику

Для положительных чисел a, b и M, таких, что a≠1 и b≠1

N,

§5.2, №5.11 (а, б, в), №5.14 (а, б, в), №5.17 (а, б).

№ 5.18 (а, б), №5.20 (а, б), №5.24 (а).

Из истории логарифмов http://ru.wikipedia.org/wiki/ Непер,_Джон

Джон Непер

Л ог а р и ф м и че ск ие т а б л и ц ы

В истории науки иногда наступают моменты, когда необходимость некоторого открытия осознается многими, а его основная идея как бы витает в воздухе. В таких случаях к открытию приходят не один, а сразу несколько ученых. Так случилось и в истории логарифмов. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Логарифмы изобрели независимо друг от друга Непером и Бюрги лет на десять позднее. Их цель была одна — желание дать новое удобное средство арифметических вычислений. Подход же оказался разный. Надо заметить, что у обоих определение логарифма не походило на современное.

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» . В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера. Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке . В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Леонард Эйлер

Практическое значение вычисленных таблиц было очень велико. Но открытие логарифмов имело также глубочайшее теоретическое значение. Оно вызвало к жизни исследования, о которых не могли и мечтать первые изобретатели, преследовавшие цель только облегчить и ускорить арифметические и тригонометрические выкладки с большими числами. Открытие Непера, в частности, открыло путь в область новых трансцендентных функций и сообщило мощные стимулы в развитии анализа

1 2

История логарифмических линеек .

Логарифмы («искусственные числа») Непера предназначались для описания кругового движения: вычислялись логарифмы не чисел, а синусов. Они определялись «геометрико-кинематически» на линиях в круге. «Логарифм всякого синуса – это такое число, которое возрастает арифметически с той же самой скоростью, с какой радиус убывает геометрически…» . Вычисление логарифма сводится к установлению соответствия двух пропорциональных шкал: арифметической и геометрической. Поэтому первые логарифмические линейки тоже строились из концентрических дисков. Линейка Отреда состояла из «кольца, внутри которого вращался на оси круг. На круг (снаружи) и кольцо (внутри) были нанесены свернутые в концентрические окружности логарифмические шкалы» . Книга, описывающая это изобретение, издана в 1632 г под названием «Круги пропорций». Сочинение Р. Делаймена, описывающее аналогичное устройство, называлось «Граммелогия или математическое кольцо». Эту книгу Делаймен посвятил Карлу 1 и преподнес ему авторский экземпляр вместе с солнечными часами собственного изготовления.

«Среди других круговых логарифмических линеек выделяется своей оригинальной конструкцией, напоминающей часы, инструмент француза Е. М. Буше. Он имеет два «циферблата» – подвижный, находящийся на лицевой стороне «часов», и приводимый в движение головкой – неподвижный. На подвижном циферблате расположена равномерная шкала (внешняя) и логарифмическая шкала чисел, на неподвижном – логарифмическая шкала синусов и тангенсов.

http://veer.info/56/14.htm#_edn24

1 2

Чувств наших логарифмы

Механизм работы слуховой системы

За фразой «всё познается в сравнении» стоит конкретная математическая формула

Звуковой сигнал любой природы может быть описан определенным набором физических характеристик: частота, интенсивность, длительность, временная структура, спектр и др.. Им соответствуют определенные субъективные ощущения, возникающие при восприятии звуков слуховой системой: громкость, высота, тембр, биения, консонансы-диссонансы, маскировка, локализация-стереоэффект и т.п.

Слуховые ощущения связаны с физическими характеристиками неоднозначно и нелинейно, например, громкость зависит от интенсивности звука, от его частоты, от спектра и т.п.

Еще в прошлом веке был установлен закон Фехнера, подтвердивший, что эта связь нелинейна: "Ощущения пропорциональны отношению логарифмов стимула". Например, ощущения изменения громкости в первую очередь связаны с изменением десятичного логарифма интенсивности, высоты - с изменением логарифма частоты и т.д.

Всю звуковую информацию, которую человек получает из внешнего мира (она составляет примерно 25% от общей), он распознает с помощью слуховой системы и работы высших отделов мозга, переводит в мир своих ощущений, и принимает решения, как надо на нее реагировать.

http://websound.ru/articles/theory/psychoacoustics.htm

Чувств наших логарифмы

Яркость источников света — шкала звездных величин

За фразой «всё познается в сравнении» стоит конкретная математическая формула

Блеск в астрономии — величина пропорциональная логарифму светового потока. Астрологи, оценивая видимую яркость звезд, оперируют с таблицей логарифмов, составленный при основании 2,512.

Однако коэффициент пропорциональности отрицателен (при основании логарифма больше единицы), поэтому самым ярким объектам на небе соответствует большая отрицательная величина (–26,8 для Солнца), а для самых тусклых — положительная (28 для едва различимых в телескоп звезд)

Астрономы измеряют «блеск» небесных светил в звездных величинах. Это безразмерная величина, характеризующая освещенность, создаваемую небесным объектом вблизи наблюдателя. Как видим, словом блеск астрономы характеризуют зрительное восприятие, не совсем совпадающее с тем, что принято в быту. Блеск одного источника указывают путем его сравнения с блеском другого, принятого за эталон. Такими эталонами обычно служат специально подобранные звезды.

http://www.vokrugsveta.ru/telegraph/theory/767/

Чувств наших логарифмы

Химическая чувствительность — шкала кислотности

За фразой «всё познается в сравнении» стоит конкретная математическая формула

Очень близка к шкале звездных величин и химическая шкала реакции среды, так называемая шкала кислотности. Всем, кто пользуется косметикой, водородный показатель pH определяется соотношением: pH = – lg [H+], где [H+] — концентрация положительных водородных ионов в растворе. При этом за ноль-пункт принимают чистую воду при комнатной температуре (нейтральная среда), имеющую [H+] =10–7. Далее при повышении кислотности значение pH уменьшается — чем не шкала звездных величин? Чем выше кислотность, тем ниже значение индекса, только основанием логарифма служит не 2,512… (как у звездных величин), а 10.

Как известно, первыми химическими индикаторами были наши вкусовые рецепторы, которыми сегодня пользуются только повара, а раньше пользовались и химики. Поэтому не удивительно , что в химии появилась логарифмическая шкала концентрации: сработал закон Вебера-Фехнера, которому подчиняются все наши чувства, в том числе и органы вкуса.

http://www.vokrugsveta.ru/telegraph/theory/767/

Сформулируйте определение логарифма

Сформулируйте определение натурального логарифма

• Основное логарифмическое тождество
• Основное логарифмическое тождество

Сформулируйте определение десятичного логарифма 

Как называется равенство:

Вычислите устно

Актуализация опорных знаний учащихся

Проверь себя

Вариант

А1

№ 1

А2

4

№ 2

А3

1

4

№ 3

№ 4

2

А4

4

2

А5

1

4

3

4

1

3

3

1

1

1

3

3

3

4

Вариант: 1 2 3 4 Все Ответы

Вариант №3 .

1. Найдите значение выражения: 4log72log780+log805 .

2.  Найдите значение выражения: log219+log2149 .

3.  Найдите значение выражения: 2log17375*log517-log53 .

4.  Найдите значение выражения: 2log 72 3 + 3log 72 2.

5. Найдите значение выражения: log 5 60 – log 5 12.

Вариант №1.

1 . Найдите значение выражения: log65*log58+log627.

2.  Найдите значение выражения: 0,8log0,82+0,36 .

3.  Найдите значение выражения: 4log72log780+log805 .

4. Найдите значение выражения: 3 + log 30 3 + log 30 10.

5. Найдите значение выражения: log313,5-log194 .

1) 1;  

1) 1;  

2) ;  

3) ;  

4) 3.

4) 3.

1) 2;  

2) 1;  

3) -3log 7 75;  

4) 5log 21 15.

1) 1;  

2) 1,96;  

3) 1,36;  

4) 2,36.

1) 1;  

2) 2log 7 3;  

3) 2;  

4) -5.

1) 2;  

2) 1;  

3) -3log 7 75;  

4) 5log 21 15.

1) 8;  

2) log 2 17;  

3) -log 5 25;  

4) 17.

1) 3;  

2) 33;  

3) 16;  

4) 4.

1) 1;  

2) 5log 72 5;  

3) 0;  

4) log 36 7.

1) 3;  

1) 3;  

2) -2;

2) -2;

3)  ;  

4) ;  

1) 0;  

2) 5;  

3)   1;  

4) log 5 48;  

Вариант №4.

1.  Найдите значение выражения: log 6 2 + log 6 3 + log 6 6.

2.  Найдите значение выражения: log1553+log1534+log155635 .

3.  Найдите значение выражения: 0,1log0,12-0,1 .

4. Найдите значение выражения: 6+0,8log0,81 .

5. Найдите значение выражения: log 0,3 9 - 2log 0,3 10.

Вариант №2.

1.  Найдите значение выражения: log 6 18 – log 6 3 + 2.

2..  Найдите значение выражения: 71+log75 .

3.  Найдите значение выражения: log 2 (8a),если log 2 16a = 16.

4.   Найдите значение выражения: 6+(0,8)log0,81 .

5.  Найдите значение выражения: log 5 25 – log 5 0,2 + 3.

1) 3;  

1) 1;  

2) 17;  

2) 0;  

3) 3;  

3) 8;  

4) 2.

4) 2.

1) ;  

2) 7;  

2) 7;  

3) 5;  

3) 5;  

4) 35.

4) 35.

1) 4log 15 45;  

2) log 3 15;  

3) 9;  

4) -7.

1) 1,9;  

2) 0,1;  

3) -0,09;  

4) 2.

1) 15;  

2) 24;  

3) 8;  

4) 16.

1) 6,8;  

2) 6;  

3) 7;  

4) 5,2.

1) 6,8;  

2) 6;  

3) 7;  

4) 5,2.

1) 0;  

1) 0;  

2) ;  

3) 0,5;  

3) 0,5;  

4) 2.

4) 2.

1) 4;  

2) 5;  

3) 6;  

4) 11.

Вариант(ы): 1 2 3 4 Все Ответы

Вариант №1.

1 . Найдите значение выражения: log65*log58+log627.

2.  Найдите значение выражения: 0,8log0,82+0,36 .

3.  Найдите значение выражения: 4log72log780+log805 .

4. Найдите значение выражения: 3 + log 30 3 + log 30 10.

5. Найдите значение выражения: log313,5-log194 .

1) 1;  

1) 1;  

2) ;  

3) ;  

4) 3.

4) 3.

1) 1;  

2) 1,96;  

3) 1,36;  

4) 2,36.

1) 2;  

2) 1;  

3) -3log 7 75;  

4) 5log 21 15.

1) 3;  

2) 33;  

3) 16;  

4) 4.

1) 3;  

1) 3;  

2) -2;

2) -2;

3)  ;  

4) ;  

Вариант(ы): 1 2 3 4 Все Ответы

Вариант №2.

1.  Найдите значение выражения: log 6 18 – log 6 3 + 2.

2..  Найдите значение выражения: 71+log75 .

3.  Найдите значение выражения: log 2 (8a),если log 2 16a = 16.

4.   Найдите значение выражения: 6+(0,8)log0,81 .

5.  Найдите значение выражения: log 5 25 – log 5 0,2 + 3.

1) 3;  

2) 17;  

3) 8;  

4) 2.

1) ;  

2) 7;  

2) 7;  

3) 5;  

3) 5;  

4) 35.

4) 35.

1) 15;  

2) 24;  

3) 8;  

4) 16.

1) 6,8;  

2) 6;  

3) 7;  

4) 5,2.

1) 4;  

2) 5;  

3) 6;  

4) 11.

Вариант(ы): 1 2 3 4 Все Ответы

Вариант №3 .

1. Найдите значение выражения: 4log72log780+log805 .

2.  Найдите значение выражения: log219+log2149 .

3.  Найдите значение выражения: 2log17375*log517-log53 .

4.  Найдите значение выражения: 2log 72 3 + 3log 72 2.

5. Найдите значение выражения: log 5 60 – log 5 12.

1) 2;  

2) 1;  

3) -3log 7 75;  

4) 5log 21 15.

1) 1;  

2) 2log 7 3;  

3) 2;  

4) -5.

1) 8;  

2) log 2 17;  

3) -log 5 25;  

4) 17.

1) 1;  

2) 5log 72 5;  

3) 0;  

4) log 36 7.

1) 0;  

2) 5;  

3)   1;  

4) log 5 48;  

Вариант(ы): 1 2 3 4 Все Ответы

Вариант №4.

1.  Найдите значение выражения: log 6 2 + log 6 3 + log 6 6.

2.  Найдите значение выражения: log1553+log1534+log155635 .

3.  Найдите значение выражения: 0,1log0,12-0,1 .

4. Найдите значение выражения: 6+0,8log0,81 .

5. Найдите значение выражения: log 0,3 9 - 2log 0,3 10.

1) 1;  

2) 0;  

3) 3;  

4) 2.

1) 4log 15 45;  

2) log 3 15;  

3) 9;  

4) -7.

1) 1,9;  

2) 0,1;  

3) -0,09;  

4) 2.

1) 6,8;  

2) 6;  

3) 7;  

4) 5,2.

1) 0;  

1) 0;  

2) ;  

3) 0,5;  

3) 0,5;  

4) 2.

4) 2.

Вариант(ы): 1 2 3 4 Все Ответы

Вычислите

№ 511 (а, б, в)

№ 511 (а, б, в)

№ 514 (а, б, в)

№ 514 (а, б, в)

№ 517 (а, б)

№ 517 (а, б)

4

Ответ:

-2

Ответ:

6

Ответ:

Ответ:

9

Ответ:

25

Ответ:

9

Ответ:

1

Ответ:

0

Вычислите

№ 518 (а, б)

№ 518 (а, б)

№ 520 (а, б)

№ 520 (а, б)

№ 524 (а)

№ 524 (а)

Ответ:

1

Ответ:

2

Ответ:

2

Ответ:

2

6

Ответ:

1 2 3

Литература

• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. Для общеобразоват. Учреждений: базовой и профил. Уровня/ [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. – М.: Просвещение, 2009.
• Глейзер Г. И. История математики в школе VII – VIII кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.
• Энциклопедия для детей Т. 11 Математика/ Глав. Ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+, 2000. – 688с.: ил.
• Ссылки
• http :// ru.wikipedia.org – портрет Непера ,рисунок логарифмических таблиц,
• http://images.yandex.ru/familysearch?text=% D1%84%D0%BE%D1%82%D0%BE%20%D0%BB%D0%B0%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B0&stype=image-портрет Лапласа.

• http://www.biografguru.ru/about/arkhimed/? q=214- изображение Архимеда.

http :// websound . ru / articles / theory / psychoacoustics . htm - статья из журнала «Вокруг света» по теме « Чувств наших логарифмы» - взяты картинки для трех слайдов слайдов по этой-же теме.

• http:// Yudintseva.3dn.ru- сайт, по материалам которого были созданы тесты для проверки знаний.
• http://www.rust.su/- Электронная энциклопедия "Все обо Всем«, использованы материалы по истории появления логарифмов
• http ://ru.wikipedia.org/wiki/ Эйлер,_ Леонард –портрет Леонарда Эйлера
• www.surbor.ru - универсальная поисковая система, материал по истории логарифмов.
• Коллекция анимационных картинок   Mata Gifs