"Екі векторды векторлы? к?бейту"

Сабақ тақырыбы:

Екі векторды векторлық көбейту

Анықтама. Нөлдік емес және векторларының векторлық көбейтіндісі деп символымен белгіленген мына үш шартты қанағаттандыратын векторын атайды:

1. векторының ұзындығы және векторла-рының ұзындықтарын олардың арасындағы бұрыш-тың синусына көбейткенге тең, яғни

мұндағы - және векторларының арасындағы бұрыш.

2. векторы және векторларының әрқайсысына перпендикуляр орналасқан.

3. векторының бағыты , , векторлары оң жақты үштік болатындай бағытта бағытталған.

φ

Егер және векторларының

кемінде біреуі нөлдік вектор

болса, онда олардың векторлық

көбейтіндісі нөлдік векторға тең

деп алынады.

Екі вектордың векторлық көбейтіндісі туралы түсінік механикадан алынған.

Егер векторы қандай болса да бір М нүктесіне түсірілген күшті бейнелесе, ал векторы болып О нүктесіне түсірілсе, онда векторы О нүктесіне қатысты күшінің моментіне тең болады.

II. Векторлық көбейтіндінің геометриялық қасиеттері.

1 - Теорема. Нөлдік емес екі және векторлары коллинеар болуы үшін, олардың векторлық көбейтіндісінің нөлге тең болуы қажетті және жеткілікті:

,

║

Қажеттілік. және векторлары коллинеар болсын. Мына жағдайлар болуы мүмкін:

1. , яғни және векторлары бағыттас болсын, сонда олардың арасындағы бұрыш -қа тең болады. Сондықтан,

, бұдан болады;

2. , яғни және қарама-қарсы бағытталған векторлар болсын. Сонда олардың арасындағы бұрыш -қа тең болады. Сондықтан, , бұдан , яғни, екі жағдайда да .

Жеткіліктілік. болсын.

Сонда .

болғандықтан, бұдан

теңдігі шығады, яғни немесе .

Ал бұл және векторларының коллинеар

векторлар екенін көрсетеді.

2-теорема. және векторларының векторлық көбейтіндісінің ұзындығы ортақ бас нүктеден шыққан және векторларына салынған параллелограмның ауданына тең.

Анықтама бойынша

φ

Параллелограмның ауданы:

Үшбұрыштың ауданы:

Бірлік векторлардың векторлық көбейтіндісі:

Екі вектордың векторлық көбейтіндісінің алгебралық қасиеттері:

1-қасиет.

қарсы ауыстырымдылық қасиет

2-қасиет.

сан көбейткішіне қатысты терімділік қасиет

3-қасиет.

үлестірімділік қасиет

4-қасиет. Кез келген векторы үшін

Декарттық тік бұрышты координаталарымен берілген векторлардың векторлық көбейтіндісінің өрнегі.

В

Ұ ш ы

А

Б а с ы

Векторларды белгілеу:

Вектордың абсолют шамасы немесе модулі деп векторды кескіндейтін кесіндінің ұзындығын атайды және деп белгілейді.

Егер в ектордың бас нүктесі оның ұшымен дәл келіп беттесіп жатса, онда ол векторды нөлдік вектор деп атайды және деп белгілейді. Нөлдік вектордың абсолют шамасы нөлге тең.

Векторлардың теңдігі

«Үшбұрыш» ережесі

B

C

A

« Параллелограмм » ережесі

C

B

A

D

Параллелограмның қасиеті бойынша:

Назарларыңызға рахмет!