Геометри ческие вариации на пчелиную тему

Геометрические вариации

на пчелиную тему

Работу выполнила

Учитель математики Кобзева Н.Н.

Наиболее распространенная форма в природе- шестигранная. Алмаз с шестигранной огранкой является самым крепким. Черепаха, известная своим долголетием, имеет на панцире шестигранный рисунок. Структурированная вода и базальтовый камень имеет шестигранную форму.

Правильный шестигранник – это символ изобилия, красоты, гармонии, любви, милости, мира и симметрии.

Простой способ построения этой формы помогает её широкому использованию среди живых существ.

Примером этому служат пчелы.

Чарльз Дарвин лично охарактеризовал медовые соты, как чудо инженерии.

ЦЕЛЬ ПРОЕКТА

Рассмотреть связь между математикой и окружающей жизнью.

Установить зависимость между стороной правильного многоугольника его площадью и периметром.

Задачи исследования:

• Почему пчелы выбрали именно шестиугольник? Какие еще формы сот могут быть использованы?
• Сравнение периметров различных правильных многоугольников, имеющих одинаковую площадь.
• Динамическая геометрия – средство

информационного общения между пчелами.

4. Где применимы еще пчелиные соты?

Гипотезы

• Возможно выбор пчелами такой формы сот обусловлен их большей вместимостью по сравнению с сотами другой формы.

2. Или же это связано с экономией воска, необходимого для изготовления ячеек сот.

Ход исследования

Пчелиные соты представляют собой многоугольник, покрытый правильными шестиугольниками. Какими ещё правильными многоугольниками можно покрыть плоскость?

Метод уравнения

• Предположим, что плоскость покрыта правильными n- треугольниками, причём каждая вершина является общей для Х таких многоугольников, α – внутренний угол правильного многоугольника, равный
• α=180°(n-2): n, тогда 180°(n-2)Х : n= 360°

• Учитывая, что Х –целое, получаем n= 3,4,6.

• Итак, плоскость можно покрыть треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками .

Метод перебора

n=3. Три угла, плотно составленные, составляют 180 °, шесть углов - 360°. Плоскость покрыта без просветов.

n=4. Четыре внутренних угла вместе дают 360°, плоскость покрыта без просветов.

n=5. Внутренний угол правильного многоугольника равен 108°, остаётся просвет в 36°. Плоскость без просветов не покрывается.

n=6. Внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°, три шестиугольника, составленные вместе, образуют 360°. Плоскость покрывается без просветов.

Метод перебора можно продолжать и дальше, итогом будет служить вывод, чтобы без просветов плоскость можно покрыть лишь правильными треугольниками, квадратами, правильными шестиугольниками.

Почему пчелы выбрали именно шестиугольник?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо сравнить периметры разных многоугольников, имеющих одинаковую площадь.

Пусть S - площадь каждой из названных фигур, а - сторона соответствующего правильного n-угольника, Р - периметр.

Из трёх правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет правильный шестиугольник.

Стало быть, мудрые пчёлы, экономят воск и время для построения сот.

Выводы:

• Итак, пчелы, не зная математики, верно «определили», что правильный шестиугольник имеет наименьший периметр среди фигур равной площади.
• Строя соты, пчелы инстинктивно стараются сделать их возможно более вместительными, израсходовав при этом как можно меньше воска.

Конструкция сот во всех отношениях совершенна. Она требует от пчел минимум строительного материала, но обеспечивает сотам высокую прочность и большую вместимость. Шестигранная форма ячеек позволяет пчелам исключительно экономично использовать площадь. Расчётливые пчёлы заполняют пространство так, что не остаётся просветов, экономя при этом 2% воска.

Как не согласиться с мнением Пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».

Динамическая геометрия - средство информационного общения между пчелами. Средством информационного общения между пчелами служат формы-символы динамической геометрии. Это особые телодвижения на сотах, так называемые «танцы». Танцующая пчела своими движениями передает определенную информацию. Язык движений, как теперь стало известно, пчелы отлично понимают.

Загадка

Чарует простота и сложность мирозданья. Известен нам пространственный паркет. Природы мудрые создания  Шедевры строят много лет.

Создания эти к геометрии способны, Нам опыт их перенимать удобно. Мир гармоничен, и шедевров свойства,  Используем в известном нам устройстве.

О каком устройстве идет речь?

Сотовые телефоны работают, благодаря созданию особой сотовой сети. Сеть создана по принципу устройства пчелиных сот.  

Архитекторы используют закономерности пчелиных сот при постройке ультрасовременных зданий.

Так с помощью геометрии мы прикоснулись к тайне математических шедевров из воска, ещё раз убедившись во всесторонней эффективности математики.

Источники

• Глухова А., Правильные многоугольники в природе. Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете « Первое сентября», 38, 1999;
• Погорелов А.В., Геометрия7-9кл;
• Фирсина С., Правильные многоугольники. Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете « Первое сентября», № 10, 2000.
• Интернет-ресурсы.

Благодарю за внимание