Бессель функциялари бўйича функцияларни қаторга ёйиш

Математик физика фанидан "Бессель функциялари бўйича функцияларни қаторга ёйиш" тайёрланган тақдимот

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Бессель функциялари бўйича функцияларни қаторга ёйиш»

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI GULISTON DAVLAT UNIVERSITETI MATEMATIKA KAFEDRASI KATTA O’QITUVCHISI, FIZIKA-MATEMATIKA FANLARI NOMZODI K. JAMURATOVNING «MATEMATIK FIZIKA TENGLAMALARI» FANIDAN “BESSEL FUNKSIYALARI BO’YICHA FUNKSIYALARNI QATORGA YOYISH” MAVZUSIDAGI TAQDIMOT ISHI TOSHKENT 2016

REJA : 1 .MAXSUS FUNKSIYALAR 2.IXTIYORIY FUNKSIYANI BESSEL FUNKSIYALARI BO’YICHA QATORGA YOYISH 3. XULOSA 4. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR VA MANBALAR

0 va b0 bo’lganda (1.1.1) integral yaqinlashuvchi, agar a va b parametrlarning bittasi nolga teng yoki noldan kichik bo’lsa ham uzoqlashuvchi bo’ladi. (1.1.1) Integralda x=1-t almashtirish bajarib , B(a,b)=dt=B(b,a) tenglikni hosil qilamiz . Demak, beta-funksiya o’zining a va b argumintlariga nisbatan simmetrik funksiya ekan. Endi ( 1.1.1) integralni bo’laklab integrallaymiz . Bo’laklab integrallash amallarini" width="640"

Maxsus funksiyalar . Eyler integrallari . Beta-funksiya . Gamma funksiya . 1. Birinchi tur Eyler integrali (beta-funksiya). Beta - funksiya ushbu B(a,b)= dx (1.1.1) tenglik bilan bilan aniqlanadi . Bu tenglikning o’ng tomonidagi integral Eylerning birinchi tur integrali deyiladi . Ko’rsatish qiyin emaski , a0 va b0 bo’lganda (1.1.1) integral yaqinlashuvchi, agar a va b parametrlarning bittasi nolga teng yoki noldan kichik bo’lsa ham uzoqlashuvchi bo’ladi. (1.1.1) Integralda x=1-t almashtirish bajarib , B(a,b)=dt=B(b,a) tenglikni hosil qilamiz . Demak, beta-funksiya o’zining a va b argumintlariga nisbatan simmetrik funksiya ekan. Endi ( 1.1.1) integralni bo’laklab integrallaymiz . Bo’laklab integrallash amallarini

1 bo’lganda B(a,b)=[(b-1)dx= =- -x= =B(a,b-1) - B(a,b) bundan B(a,b)= B(a,b-1) (1.1.2) Beta funksiya a va b ga nisbatan simmetrik bo’lgani uchun " width="640"

U= , du= -(b-1)dx dv=dx , v= bajarib =-(1-x) ayniyatni e’tiborga olsak , b1 bo’lganda B(a,b)=[(b-1)dx= =- -x= =B(a,b-1) - B(a,b) bundan B(a,b)= B(a,b-1) (1.1.2) Beta funksiya a va b ga nisbatan simmetrik bo’lgani uchun

B(a,b)=B(a-1,b) (1.1.3) (1.1.2) va (1.1.3) formulalarga asosan (a-1)B(a-1,b)=(b-1)B(a,b-1) agar a-1=p , b-1=q desak , u holda pB(p,q+1)=qB(p+1,q) yoki B(p,q+1)=B(p+1,q) (1.1.4) Agar b parametr butun songa teng bo’lsa ‘ ya’ni b=n . B(a,n) funksiyaga (1.1.2) formulani ketma –ket qo’llash natijasida B(a,n)=**….B(a,1) tenglikka ega bo’lamiz . Ammo B(a,1)=dx= bo’lgani uchun

B(a,b)=B(a-1,b) (1.1.3) (1.1.2) va (1.1.3) formulalarga asosan (a-1)B(a-1,b)=(b-1)B(a,b-1) agar a-1=p , b-1=q desak , u holda pB(p,q+1)=qB(p+1,q) yoki B(p,q+1)=B(p+1,q) (1.1.4) Agar b parametr butun songa teng bo’lsa ‘ ya’ni b=n . B(a,n) funksiyaga (1.1.2) formulani ketma –ket qo’llash natijasida B(a,n)=**….B(a,1) tenglikka ega bo’lamiz . Ammo B(a,1)=dx= bo’lgani uchun

B(a,n)=B(n,a)= (1.1.5) agarda a parametr ham butun songa teng bo’lsa , ya’ni a=m, (1.1.3) formulani keyma –ket qo’llash natijasida quyidagi tenglikni hosil qilamiz : B(m,n)= * bundan B(1,1)=1 bo’lgani uchun B(m,n)=B(n,m)= endi (1.1.1) formulada a=b desak , B(a,a)=dx=-dx yoki B(a,a)=2-(-xdx

B(a,n)=B(n,a)= (1.1.5) agarda a parametr ham butun songa teng bo’lsa , ya’ni a=m, (1.1.3) formulani keyma –ket qo’llash natijasida quyidagi tenglikni hosil qilamiz : B(m,n)= * bundan B(1,1)=1 bo’lgani uchun B(m,n)=B(n,m)= endi (1.1.1) formulada a=b desak , B(a,a)=dx=-dx yoki B(a,a)=2-(-xdx

Oxirgi integralda - x = almashtirishni bajaramiz . U holda B(a,a)=dt yoki B(a,a)=B(,a). (1.1.1) integralda x= yoki y= almashtirish bajarsak , beta-funksiya quyidagi ko’rinishda yoziladi: B(a,b)=dy (1.1.6) bu formulada 0 B(a,1-a)=dy

Oxirgi integralda - x = almashtirishni bajaramiz . U holda B(a,a)=dt yoki B(a,a)=B(,a). (1.1.1) integralda x= yoki y= almashtirish bajarsak , beta-funksiya quyidagi ko’rinishda yoziladi: B(a,b)=dy (1.1.6) bu formulada 0 B(a,1-a)=dy

Hosil qilingan integral matematik analizda Eyler ismi bilan bog’langan integral bo’lib , uning qiymati ga tengdir. Shunday qilib , B(a,1-a)= (1.1.7) agar hususiy holda , a=1-a= desak , B(,)= hosil bo’ladi.

Bessel funksiyalari . 1.Birinchi tur funksiyalari . Ushbu yoki tenglama Bessel tenglamasi deyiladi , bunda o’zgarmas son tenglamaning indeksi deyiladi . tenglamani gipergeometrik tenglamadan keltirib chiqarish qiyin emas . Buning uchun , , almashtirish bajarsak , tenglama hosil bo’ladi , va da tenglamaga ega bo’lamiz . Bu tenglama tenglama (Bessel) sining o’zginasidir . bo’lsin . Keyingi hisoblashlarni soddalashtirish maqsadida tenglamada almashtirish bajaramiz . U holda z funksiyani aniqlash uchun tenglamaga ega bo’lamiz . Bu tenglamaning yechimini

darajali qator ko’rinishida izlaymiz. Bundan hosil bo’lgan qatorlarni tenglamaga qo’yib , quyidagi tenglikni hosil qilamiz : Aniqmas koeffisentlar usuliga asosan , x ning barcha darajalari oldidagi koeffisentlarni nolga tenglaymiz: n=1,2,… Bundan

, Sunday qilib, (1.3.2) tenglamaning yechimi , ushbu (1.3.4) qator bilan ifodalaniladi. Bunda - o’zgarmasni ixtiyoriy tanlab olish mumkin . Dalamber belgisiga asosan , (1.3.4) qatorning x ning barcha qiymatlarida yaqinlashuvchi bo’lishini tekshirib ko’rish qiyin emas . Darajali qatorni hadlab differensiallash (yaqinlashish oralig’i ichida) hamma vaqt qonuniy bo’lgani uchun (1.3.4) qator bilan ifodalangan z haqiqatan ham (1.3.2) tenglamaning yechimi bo’ladi. Odatda o’zgarmas

deb tanlab olinadi . Ushbu . tenglikni e’tiborga olsak, z quyidagi ko’rinishda yoziladi : . tenglamaning yechimi funksiyadan iboratdir . Bu funksiyani orqali belgilab olamiz . Demak ,

funksiya birinchi turdagi indeksli tartibli Bessel funksiyalari deyiladi. Ayrim adabiyotlarda bu funksiyalar silindrik funksiyalar deb yuritiladi. funksya Bessel tenglamasining yechimlaridan biridir . Hususiy holda bo’lganda bo’lganda esa umuman butun musbat larda

Ixtiyoriy funksiyani Bessel funksiyalari bo’yicha qatorga yoyish . Turli indeksli Bessel funksiyalari orasidagi munosabatlar. Ixtiyoriy uchun ushbu formulalar o’rinlidir . Xuddi shunga o’xshash formulalar ikkinchi turdagi mos funksiyalar uchun xam to’g’ri bo’ladi . formula o’rniga uning ifodasini qo’yish natijasida darhol kelib chiqadi . Xaqiqatdan xam . Xuddi shunga o’xshash formula isbotlanadi . Agar formulada

ni bilan almashtirib , tenglikka ega bo’lamiz . Avvalo ni kasr hisoblab , ni ga ni esa ga ko’paytirib , hosil bo’lgan ifodalarning birini ikkinchisidan ayiramiz . U holda formulalarni etiborga olsak , yoki tenglik hosil bo’ladi . da ni bilan almashtirsak

formulaga ega bo’lamiz. Endi ni ga , ni ga ko’paytirib , ularni ayirsak tengliklarga asosan , kasr lar uchun formulaga ega bo’lamiz . Butun lar uchun formulalar ni butun songa intiltirib , limitga o’tish natijasida hosil bo’ladi . formulalarning natijasi sifatida quyidagi formulalar kelib chiqadi:

Bu formulalarning birinchi ikkitasi , ni bevosita differensiallash natijasida , keyingi ikkitasi esa avvalgilarini qo’shish va ayirish natijasida hos bo’ladi. Xuddi shunday formulalar ikkinchi tur funksiyalar uchun xam o’rinli bo’ladi . 1 Bessel funksiyalarning ayrim xususiy xollari Matematik funksiyada ushbu , , , Bessel funksiyalari ko’p uchraydi . formulalarning oxiridan ko’rinayaptiki , va xakoza funksiyalarni xisoblash , funksiyalarning mos qiymatlarni xisoblashga keladi . Endi bunda n- butun son funksiyani qaraymiz.

Xulosa . 1. Ayrim oddiy differensial tenglamalar, xususiy hosilali differensialga qo’yilgan chegaraviy masalalarni yechishda maxsus funksiyalarni o’rni aniqlanadi. 2. Eylerning 1-tur , 2-tur integrallari ( Beta - funksiya, Gamma-funksiyalar) maxsus funksiya sifatida qaralib , ulardan xosmas integrallarni hisoblashda , chegaraviy masalalarni yechishda qo’llanish doirasi aniqlandi va tekshirildi. 3. gipergeometrik yoki Gauss tenglamasi deb ataluvchi ushbu tenglamaning yechimi uchta: a, b, c parametrlarga bog’liq qator sifatida tasvirlangan va bu qatorning yaqinlashish sohasi topilgan . 4. gipergeomerik funksiyaning integral ifodasi keltirib chiqarilgan , shuningdek avtotransformatsiya formulasi ham o’rnatilgan . 5. birinchi turdagi Bessel funksiyalari Bessel tenglamasi deb ataluvchi ushbu : tenglamaning yechimi sifatida qaralib , uni qator ko’rinishida tasvirlangan va bu qatorni Dalamber alamati yordamida yaqinlashishga tekshirilgan . 6.Ikkinchi tur Bessel funksiyalari shuningdek Eyler o’zgarmasi qatnashgan Veber funksiyasi o’rnatilgan.

IV.FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR VA MANBALAR . 1. Салохитдинов М. Математик физика тенгламалари, Т. “Ўқитувчи” 2002. 2. АзларовТ . Мансуров Х . Математик анализ , 2-кисм Тошкент , «Ўкитувчи» , 1989. 1971. 3. Годунов С.К. Уравнения математической физики , Москва , «Наука» 1971.