Рождение теории трансфинитных множеств

Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств



Насколько велико бесконечное множество? Кантор доказал существование иерархии бесконечностей, каждая из которых «больше» предшествующей. Его теория множеств — один из краеугольных камней математики

ДЖОЗЕФ У. ДАУБЕН

Природа бесконечности всегда была предметом спора. О том, что она интересовала ещё древних мыслителей, свидетельствуют знаменитые парадоксы Зенона Элейского, который доказывал, что движение мыслить невозможно, поскольку движущийся объект проходит бесконечное число точек в конечное время. Разработанное Ньютоном в XVII в. исчисление бесконечно малых позволило по-новому подойти к описанию движения, однако математически строгая формулировка инфинитезимальных идей была предложена лишь спустя два с лишним столетия. Впоследствии проблемы, связанные с бесконечностью, стали рассматриваться в теории множеств, ставшей по существу фундаментом современной математики. Следует отметить, что в ходе своего развития идея бесконечности имела теологический оттенок, порой игравший определённую роль в решении вопроса о приемлемости математических и философских теорий, связанных с понятием бесконечности. Всё сказанное имеет отношение к жизни и деятельности немецкого математика Георга Кантора.

Сущность трудов Кантора хорошо известна: разработав то, что он назвал арифметикой трансфинитных чисел, он придал математическое содержание идее актуальной бесконечности. При этом он заложил основы теории абстрактных множеств и внёс существенный вклад в основание анализа и в изучение континуума вещественных чисел. Самое замечательное достижение Кантора состояло в доказательстве того, что не все бесконечные множества количественно эквивалентны, т.е. имеют одинаковую мощность, а потому их можно сравнивать друг с другом. Например, множество точек прямой и множество всех рациональных чисел являются бесконечными. Кантор сумел доказать, что мощность первого множества превосходит мощность второго. Идеи Кантора оказались столь неожиданными и противоречащими интуиции, что знаменитый французский математик Анри Пуанкаре назвал теорию трансфинитных чисел «болезнью», от которой математика должна когда-нибудь излечиться. Леопольд Кронекер — учитель Кантора и один из самых авторитетных математиков Германии — даже нападал на Кантора лично, называя его «шарлатаном», «ренегатом» и «растлителем молодежи».

Известно также, что Кантор был подвержен «нервным заболеваниям», участившимся с возрастом и всё более ослаблявшим его. Эти расстройства были, по-видимому, симптомами болезни мозга. Недавнее исследование английского историка математики Айвора Граттана-Гинеса, опиравшегося на анализ истории болезни Кантора, хранящейся в психиатрической лечебнице в Галле (ГДР), говорит о том, что Кантор страдал маниакально-депрессивным психозом. Тем не менее для ранних биографов Кантора характерно стремление представить учёного, пытавшегося защитить свою сложную теорию, но всё более подверженного длительным нервным расстройствам, несчастной жертвой гонений со стороны современников.

Такие представления искажают истину, сводя к тривиальности действительные интеллектуальные устремления непредвзято мыслящих противников канторовской теории. Они также умаляют силу и широту защиты Кантором своих идей. Сначала он воздерживался от введения трансфинитных чисел, считая, что идею актуальной бесконечности нельзя сформулировать непротиворечиво, а потому ей не место в строгой математике. Однако, по его собственному свидетельству, он вскоре преодолел своё «предубеждение» в отношении трансфинитных чисел, ибо понял, что без них нельзя построить теорию бесконечных множеств. Собственные первоначальные сомнения позволили Кантору предвосхитить оппозицию с разных сторон и вооружиться как философскими и теологическими, так и математическими аргументами. Более того, отстаивая свою теорию, он сумел придать идеям, лежащим в её основе, значительную силу.

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор родился 3 марта 1845 г. в России, в Санкт-Петербурге. Его мать, Мария Анна Бём, происходила из семьи талантливых музыкантов; наиболее известным был её дядя Жозеф Бём, директор консерватории в Вене и основатель школы скрипачей, откуда вышли многие виртуозы того времени. Его отец Георг Вольдемар Кантор был удачливым коммерсантом и благочестивым лютеранином, передавшим сыну глубокие религиозные убеждения. В своей популярной книге «Люди математики», впервые опубликованной в 1937 г., Э. Белл отмечает, что причиной психических расстройств, которым был подвержен Кантор, является Эдипов комплекс. Однако сохранившиеся письма и другие свидетельства об отношениях Георга с отцом указывают на совершенно противоположное. Отец был чутким человеком, внимательным к своим детям и проявлял особый, но ненавязчивый интерес к воспитанию старшего сына.

Когда Кантор был ещё ребёнком, семья переехала из России в Германию, и именно там началось его обучение математике. Защитив в 1868 г. диссертацию по теории чисел, он получил степень доктора в Берлинском университете. Два года спустя он занял должность приват-доцента в Университете в Галле — респектабельном учреждении, но не столь престижном для математиков, как университеты в Гёттингене или Берлине. Один из его коллег в Галле, Генрих Эдуард Гейне, работал в то время над теорией тригонометрических рядов и он побудил Кантора заняться сложной проблемой единственности таких рядов. В 1872 г. в возрасте 27 лет Кантор опубликовал статью, содержавшую весьма общее решение этой проблемы, в которой он использовал идеи, выросшие впоследствии в теорию бесконечных множеств.

Проблема, подсказанная Гейне, проистекает из трудов французского математика Жана Батиста Жозефа Фурье. В 1822 г. Фурье показал, что график любой «достаточно гладкой» кривой (т.е. кривой, имеющей максимум конечное число точек разрыва) может быть представлен всюду на интервале в виде суммы некоторого бесконечного тригонометрического ряда. Другими словами, накладывая друг на друга бесконечное число синусоидальных и косинусоидальных колебаний, каждую точку на этой «достаточно гладкой» кривой, за исключением точек разрыва, можно аппроксимировать с любой требуемой степенью точности [см. рисунок ниже]. Говорят, что такой ряд сходится к кривой или функции, за исключением конечного числа точек, или же сходится «почти всюду». Результат Фурье имел большое значение, поскольку он указывал, что некоторые сложные функции могут быть представлены в виде суммы синусов или косинусов, с которыми легче оперировать математически. Однако, чтобы оправдать такую замену, требовалось доказать, что к функции сходится только один такой тригонометрический ряд. Условия, при которых сходящийся к функции тригонометрический ряд является единственным, и начал исследовать Кантор.

В 1870 г. Кантор доказал, что если функция непрерывна всюду на интервале, то её представление тригонометрическим рядом единственно¹. Его следующий шаг состоял в ослаблении требования непрерывности функции всюду на интервале². Предположим, например, что график аппроксимируемой функции представляет собой прямую, параллельную оси x, за исключением точки x = ½, в которой функция принимает значение 0 вместо 1. Кантор показал, что если условие сходимости в точке x = ½ и нарушается, то всё равно существует единственный тригонометрический ряд, который сходится к этой функции в остальных точках. То есть другого тригонометрического ряда, который мог бы аппроксимировать эту функцию, не существует. Далее Кантор легко распространил свой результат на функции, имеющие любое конечное число точек разрыва, которые он назвал исключительными точками³.

В 1872 г. Кантор публикует работу, представляющую собой важнейшее открытие. Стремясь к более общей формулировке теоремы единственности, он доказал, что если исключительные точки распределены на оси x некоторым специальным образом, то их может быть и бесконечно много. Установить это можно было только на основе точного описания бесконечного множества исключительных точек. Однако для этого, как понимал Кантор, необходим более глубокий анализ континуума точек на оси x. Так, исследуя сходимость тригонометрических рядов, Кантор постепенно начинает сосредоточивать своё внимание на соотношении точек в континууме.

Кантор принял за аксиому, что всякой точке непрерывной линии соответствует некоторое число, которое он назвал действительным числом, чтобы отличить его от «мнимых» чисел, кратных √–1. Обратно, каждому действительному числу соответствует только одна точка прямой. Следовательно, проблема описания континуума точек прямой эквивалентна проблеме определения действительных чисел и исследованию их свойств. Статья Кантора, опубликованная в 1872 г., имела большое значение ещё и потому, что в ней было дано изложение этих свойств.

Основную трудность в теории действительных чисел представляют такие числа, как π и √2, не являющиеся рациональными. (Рациональное число — это такое число, которое можно выразить в виде частного двух целых чисел. Ещё в античности было известно, что √2, √3, √5 и многие другие корни являются иррациональными.) Так как правомерность рациональных чисел не вызывала сомнений, Кантор пошёл по пути, указанному Карлом Вейерштрассом, одним из его бывших учителей в Берлинском университете. Кантор предположил, что всякое иррациональное число может быть представлено бесконечной последовательностью рациональных чисел. Например, число √2 можно представить бесконечной последовательностью рациональных чисел 1; 1,4; 1,41; ... . В соответствии с этим все иррациональные числа можно понимать как геометрические точки числовой прямой, т.е. так же как и рациональные числа.

Несмотря на преимущества канторовского подхода, некоторые математики приняли его как вызов, поскольку он предполагал существование множеств или последовательностей чисел, имеющих бесконечно много элементов. Философы и математики отвергали концепцию завершённых бесконечностей со времён Аристотеля главным образом вследствие тех логических парадоксов, к которым, как казалось, они приводят. Например, Галилей указывал, что если в математике принять бесконечные завершённые множества, то чётных чисел должно быть столько же, сколько чётных и нечётных вместе. Всякому чётному числу можно сопоставить целое число, равное половине его величины, таким образом налицо взаимно однозначное соответствие между элементами того и другого множества. Некоторые теологи, например Фома Аквинский, также были против идеи завершённой бесконечности, считая её прямым вызовом единой и абсолютно бесконечной природе бога.

Чтобы избежать подобные возражения, математики стремились проводить чёткое различие между бесконечностью, рассматриваемой как завершённая величина, и бесконечностью, рассматриваемой как потенциальная, т.е. представляемой неопределённой суммой или рядом членов, стремящихся к некоторому пределу. Правомерной они считали лишь потенциальную бесконечность. В 1831 г. своё отношение к завершённым бесконечностям Карл Фридрих Гаусс выразил словами, которые Кантор однажды назвал слишком категорическими. В письме Генриху Шумахеру Гаусс писал: «Что касается Вашего доказательства, я прежде всего протестую против применения бесконечной величины как завершённой, в математике это никак не допустимо. Понятие бесконечности есть лишь способ выражения понятия предела».