Методическая разработка "Схема Горнера"

МАОУ «Физико-математический лицей № 38 г. Ульяновска»

Развернутый план урока

по алгебре и началам анализа в 10 классе

«Деление многочленов. Схема Горнера»

Класс:10А

Дата проведения: 15 сентября 2015 года

Учитель: Лукьянова И.В.

«Люди, незнакомые с алгеброй, не могут представить себе
тех удивительных вещей, которых можно достигнуть
при помощи названной науки»  Г. Лейбниц

Тип урока: урок объяснения нового материала.
Цели урока:
Обучающие:
1.Научить находить значение многочлена, его корни, используя теорему Безу, схему Горнера.
2.Сформировать умения и навыки в нахождении корней многочленов.
3.Закрепить введенные понятия при решении упражнений.
Воспитательные:
1.Развивать вычислительные навыки, концентрацию внимания, функции самоконтроля.
2.Воспитывать требовательность к себе, усердие при решении задач.
3.Показать практическое применение темы.
Развивающие:
1.Развить умения самостоятельного решения типовых задач, связанных с преобразованием многочленов.
2.Воспитать чувство ответственности, желание расширить и углубить знания, полученные на уроке.
Оборудование урока: записи на доске, презентация по теме урока.

Ход урока.

I .Организационный момент (2мин)- постановка темы, целей урока.
Задачи, в которых встречается деление многочленов, играют огромную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Решение таких задач весьма полезно еще и потому, что они ранее встречались на вступительных экзаменах в престижные вузы, а сейчас это – задания из части С ЕГЭ. 

II. Повторение ранее изученного материала (10 мин).
Метод обучения: объяснительно - иллюстративный,
форма проведения: математический диктант с последующей проверкой устно.
Задание 1.
1.Найдите степень суммы многочленов: х³ +3х² +1 и х⁵ +х⁴ +6х²-1.
2.Найдите степень произведения многочленов:
(х² - 1)(х³ + 1)(х + 1) и (х - 1)³(х + 1)^2 .
3.Найдите остаток от деления многочлена f(x) = х⁵ - 4х⁴ + 5х³ - 2х²+ 7х- 1 на
(х –1).
4.Является ли число 2 корнем многочлена f (x) = х⁴ - 2х³ + 8 х² – х - 1?
5.Делится ли многочлен f (x) = х⁵ - 7х³ + х² + 13х + 6 на (х + 1) нацело?
6.Найдите свободный член многочлена (х² - х + 1) + (х² - х + 1) .
7.Найдите сумму коэффициентов многочлена (х-1) +(х+1) .
Задание 2.
Найдите ошибку в суждениях:
1.Многочленом нулевой степени называется многочлен, все коэффициенты которого равны нулю.
2. Коэффициент при старшем члене многочлена называют степенью многочлена.
3. Число α называется корнем многочлена Р(х), если Р(α)≠0.
4.Многочлен f(х) делится на многочлен s(х) не являющийся нулевым многочленом, если: a) f(х) = s(х)•q(х) + r(х); б)степ. s(х)  r(х) или r(х)=0.
5. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х + α) равен Р(α), т.е. значению Р(х) при х = α.
6. Схема Горнера позволяет находить неполное частное и остаток от деления многочлена f(х) на двучлен s(х) = х + α.
7. Рациональные корни неприведённого уравнения с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена.
8.Многочлены называются тождественно равными, если равны соответствующие показатели степеней одночленов.
Учитель:
1.Сформулируйте теорему Безу.
2.Где используется теорема Безу.
3.Как найти старший коэффициент в произведении двух многочленов?
4.Имеет ли степень нулевой многочлен?
5.Чему равно значение многочлена при х=0?
6.Чему равно значение многочлена при х=1?
Учитель: В многочлен, как и в любое буквенное выражение, можно вместо переменной подставлять числа, и в результате он превращается в числовое выражение, то есть, в конечном счете, в число. Сделаем два важных для решения задач замечания:
1.Значение  f(0) равно свободному члену многочлена.
2.Значение f(1) равно сумме коэффициентов многочлена.
Теорема Безу, несмотря на внешнюю простоту и очевидность, является одной из фундаментальных теорем теории многочленов. В этой теореме алгебраические свойства многочленов (которые позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными свойствами (которые позволяют рассматривать многочлены как функции). Одним из способов решения уравнений высших степеней является способ разложения на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения, для этого нужно уметь находить  его корни.

III.Объяснение нового материала (5 мин).

Метод обучения: объяснительно- иллюстративный, частично- поисковый.
Учитель: Проверка наличия корней у многочлена делением уголком не всегда удобна. Для упрощения вычислений существует прием, называемый схемой Горнера – по имени английского математика XVI века. Горнер Уильям Джордж (1786 - 1837), английский математик. Основные исследования относятся к теории алгебраических уравнений. Разработал способ приближенного решения уравнений любой степени. Презентация

В 1819 г. ввёл важный для алгебры способ деления многочлена на двучлен х - α.  Схема Горнера состоит в заполнении некоторой таблицы, состоящей из 
 двух строк:
1. Строка коэффициентов записывается первой, отсутствующий коэффициент в многочлене равен 0.
2. Старший коэффициент дублируется во второй строке, а перед ним ставится значение переменной (число α).
3.Каждый следующий коэффициент получается при сложении коэффициента из первой строки и предыдущего коэффициента второй строки, умноженного на α. 
Задание. Вычислить значение многочлена  f(x) = 2 x ⁴ – 9 x ³ – 32 x ² – 57
при x = 7. 
Нужно узнать делится ли он на (x – 7).По теореме Безу надо подставить вместо 
x число 7. Если f(7) = 0, то f(x) делится без остатка. Если f(7) не равно 0, то f(x) делится на (x – 7) с остатком.
Покажем нахождение значения f(7) , применив схему Горнера. Заполним таблицу из двух строк по алгоритму:

Ответ:Данный многочлен делится на х-7 с остатком.

IV.Закрепление (18 мин).
Метод обучения:объяснительно- иллюстративный, частично- поисковый.
Упражнения 1. Разделить многочлен f(x) =  x ⁵ – 5 x ⁴ + 8 x ³ – 5 x ² + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2). Если требуется проверить несколько значений, то для экономии выкладок строят одну объединенную схему.

Ответ:  f(x) делится без остатка на (x – 2), т.к. r = 0. 
Найдя один корень многочлена и выполнив деление на х- α  по схеме Горнера, получаем многочлен, степень которого на единицу меньше. Используя прием, который называется «понижением степени»,  можно найти все корни многочлена. В частности, подобрав один корень кубического уравнения, понизив степень, можно его полностью решить, решив полученное квадратное уравнение.

Упражнения 2. Найти корни многочлена f(x) = x ⁴ – x ³ – 6 x ² – x + 3.

Решение. Делители свободного члена: – 1, 1, – 3, 3 могут быть корнями многочлена.  x = 1 не является корнем многочлена,  х=- 1; 3– корни многочлена. Схема Горнера:

Многочлен можно представить следующим образом:

f(x) = (x + 1) (x – 3) (x ² + x – 1),  приравнивая x ² + x – 1 = 0, находим другие два корня .

Упражнения 3. Найти корни многочлена :
а) f (x) =  x ³ + 2 x ² – 5 x – 6; Ответ: – 1; 2; – 3.

б) f (x) =  x ⁵ – 5 x ⁴ + 6 x ³ – x ² + 5 x – 6; Ответ: 1; 2; 3.

V.Выводы по уроку(3 мин)
Вопрос.Ребята, какие многочлены в основном мы разбирали на уроках?

(Ответы учащихся).

Учитель.Да, это многочлены с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1, приведенные многочлены.

Вопрос. В каких числах получались ответы?

(Ответы учащихся).

Учитель. Замечание 1 . Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Замечание 2 .Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют - целые.

– Правильно, корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1 либо целое, либо иррациональное, либо целые и иррациональные, либо не имеют корней. Запишите вывод в своих тетрадях.

VI. Задание на дом.(1мин)
1.Разделить 5 x ⁴ +5 x ³ + x ² −11 на x−1, используя схему Горнера.
2.Разделить многочлен x ⁴ +3x ³+4x ² −5x−47 на x+3 по схеме Горнера.
3.Убедиться,что числа 2 и −5 являются корнями многочлена 
3 +9 −28x ⁴ +6x ³−30x ² −30x+100
4.Найти частное и остаток от деления многочлена 6х⁴-5х³-53х²+45х-9 на многочлен х-2.
5. Найти все значения параметров а и b, при которых многочлен Р(х) делится нацело на многочлен Q(х): Р(х)=6х⁴-х³+ах²+bх+4, Q(х)=х²-4;
6.При каких натуральных значениях  выражение  является целым числом?

7.№ 129 (1, 3, 5, 6) – Н. Я. Виленкин – 10, стр. 78. [1].
VII. Подведение итогов урока и выставление отметок.(1мин)

Литература
1.Н.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ. 10 класс // Просвещение, 2013.
2.М.Л. Галицкий. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. // Просвещение, 2013.
3.Г.В. Дорофеев. Многочлены с одной переменной. // Санкт-Петербург. Специальная литература, 2000.

Дополнительная литература.
1.Курош А.Г. «Курс высшей алгебры». 2.Никольский С.М, Потапов М.К. и др. 10 класс «Алгебра и начала математического анализа».
3.[1] http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.