kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Методическая разработка "Схема Горнера"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Разработка урока для учащихся 11 класса: развернутый план урока

Просмотр содержимого документа
«Методическая разработка "Схема Горнера"»

МАОУ «Физико-математический лицей № 38 г. Ульяновска»













Развернутый план урока

по алгебре и началам анализа в 10 классе

«Деление многочленов. Схема Горнера»





Класс:10А

Дата проведения: 15 сентября 2015 года

Учитель: Лукьянова И.В.







«Люди, незнакомые с алгеброй, не могут представить себе
тех удивительных вещей, которых можно достигнуть
при помощи названной науки»  Г. Лейбниц

Тип урокаурок объяснения нового материала.
Цели урока:
Обучающие:
1.Научить находить значение многочлена, его корни, используя теорему Безу, схему Горнера.
2.Сформировать умения и навыки в нахождении корней многочленов.
3.Закрепить введенные понятия при решении упражнений.
Воспитательные:
1.Развивать вычислительные навыки, концентрацию внимания, функции самоконтроля.
2.Воспитывать требовательность к себе, усердие при решении задач.
3.Показать практическое применение темы.
Развивающие:
1.Развить умения самостоятельного решения типовых задач, связанных с преобразованием многочленов.
2.Воспитать чувство ответственности, желание расширить и углубить знания, полученные на уроке.
Оборудование урока: записи на доске, презентация по теме урока.

Ход урока.


.Организационный момент (2мин)- постановка темы, целей урока.
Задачи, в которых встречается деление многочленов, играют огромную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Решение таких задач весьма полезно еще и потому, что они ранее встречались на вступительных экзаменах в престижные вузы, а сейчас это – задания из части С ЕГЭ. 

IIПовторение ранее изученного материала (10 мин).
Метод обучения: 
объяснительно - иллюстративный,
форма проведения: математический диктант с последующей проверкой устно.
Задание 1.
1.Найдите степень суммы многочленов: х3 +3х2 +1 и х5 +х4 +6х2-1.
2.Найдите степень произведения многочленов:
2 - 1)(х3 + 1)(х + 1) и (х - 1)3(х + 1)2 .
3.Найдите остаток от деления многочлена f(x) = х5 - 4х4 + 5х3 - 2х2+ 7х- 1 на
(х –1).
4.Является ли число 2 корнем многочлена f (x) = х4 - 2х3 + 8 х2 – х - 1?
5.Делится ли многочлен f (x) = х5 - 7х3 + х2 + 13х + 6 на (х + 1) нацело?
6.Найдите свободный член многочлена (х2 - х + 1) + (х2 - х + 1) .
7.Найдите сумму коэффициентов многочлена (х-1) +(х+1) .
Задание 2.
Найдите ошибку в суждениях:
1.Многочленом нулевой степени называется многочлен, все коэффициенты которого равны нулю.
2. Коэффициент при старшем члене многочлена называют степенью многочлена.
3. Число α называется корнем многочлена Р(х), если Р(α)≠0.
4.Многочлен f(х) делится на многочлен s(х) не являющийся нулевым многочленом, если: a) f(х) = s(х)•q(х) + r(х); б)степ. s(х)  r(х) или r(х)=0.
5. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х + α) равен Р(α), т.е. значению Р(х) при х = α.
6. Схема Горнера позволяет находить неполное частное и остаток от деления многочлена f(х) на двучлен s(х) = х + α.
7. Рациональные корни неприведённого уравнения с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена.
8.Многочлены называются тождественно равными, если равны соответствующие показатели степеней одночленов.
Учитель:
1.Сформулируйте теорему Безу.
2.Где используется теорема Безу.
3.Как найти старший коэффициент в произведении двух многочленов?
4.Имеет ли степень нулевой многочлен?
5.Чему равно значение многочлена при х=0?
6.Чему равно значение многочлена при х=1?
Учитель: В многочлен, как и в любое буквенное выражение, можно вместо переменной подставлять числа, и в результате он превращается в числовое выражение, то есть, в конечном счете, в число. Сделаем два важных для решения задач замечания:
1.Значение  f(0) равно свободному члену многочлена.
2.Значение f(1) равно сумме коэффициентов многочлена.
Теорема Безу, несмотря на внешнюю простоту и очевидность, является одной из фундаментальных теорем теории многочленов. В этой теореме алгебраические свойства многочленов (которые позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными свойствами (которые позволяют рассматривать многочлены как функции). Одним из способов решения уравнений высших степеней является способ разложения на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения, для этого нужно уметь находить  его корни.


III.Объяснение нового материала (5 мин).

Метод обучения: объяснительно- иллюстративный, частично- поисковый.
Учитель: Проверка наличия корней у многочлена делением уголком не всегда удобна. Для упрощения вычислений существует прием, называемый схемой Горнера – по имени английского математика XVI века. Горнер Уильям Джордж (1786 - 1837), английский математик. Основные исследования относятся к теории алгебраических уравнений. Разработал способ приближенного решения уравнений любой степени. Презентация

В 1819 г. ввёл важный для алгебры способ деления многочлена на двучлен х - α.  Схема Горнера состоит в заполнении некоторой таблицы, состоящей из 
 двух строк:
1. Строка коэффициентов записывается первой, отсутствующий коэффициент в многочлене равен 0.
2. Старший коэффициент дублируется во второй строке, а перед ним ставится значение переменной (число α).
3.Каждый следующий коэффициент получается при сложении коэффициента из первой строки и предыдущего коэффициента второй строки, умноженного на α. 
Задание. Вычислить значение многочлена  f(x) = 2 x 4 – 9 x 3 – 32 x 2 – 57
при x = 7. 
Нужно узнать делится ли он на (x – 7).По теореме Безу надо подставить вместо 
x число 7. Если f(7) = 0, то f(x) делится без остатка. Если f(7) не равно 0, то f(x) делится на (x – 7) с остатком.
Покажем нахождение значения f(7) , применив схему Горнера. Заполним таблицу из двух строк по алгоритму:


2

-9

-32

0

-57

7

2

5

3

21

90-остаток

Ответ:Данный многочлен делится на х-7 с остатком.

IV.Закрепление (18 мин).
Метод обучения:
объяснительно- иллюстративный, частично- поисковый.
Упражнения 1. Разделить многочлен f(x) =  x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2). Если требуется проверить несколько значений, то для экономии выкладок строят одну объединенную схему.


3

-5

0

-7

0

12

1

3

-2

-2

-9

-9

3-остаток

-1

3

-8

8

-15

15

-3-остаток

2

3

1

2

-3

-6

0 -остаток






















Ответ:  f(x) делится без остатка на (x – 2), т.к. r = 0
Найдя один корень многочлена и выполнив деление на х- α  по схеме Горнера, получаем многочлен, степень которого на единицу меньше. Используя прием, который называется «понижением степени»,  можно найти все корни многочлена. В частности, подобрав один корень кубического уравнения, понизив степень, можно его полностью решить, решив полученное квадратное уравнение.

Упражнения 2. Найти корни многочлена f(x) = x 4 – x 3 – 6 x 2 – x + 3.

Решение. Делители свободного члена: – 11– 33 могут быть корнями многочлена.  x = 1 не является корнем многочлена,  х=- 1; 3– корни многочлена. Схема Горнера:


1

-1

-6

-1

3

-1

1

-2

-4

3

0-остаток

3

1

1

-1

0-остаток


Многочлен можно представить следующим образом:

f(x) = (x + 1) (x – 3) (x 2 + x – 1),  приравнивая x 2 + x – 1 = 0, находим другие два корня .

Упражнения 3. Найти корни многочлена :
а) f (x) =  x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6; Ответ: – 12– 3.

б) f (x) =  x 5 – 5 x 4 + 6 x 3 – x 2 + 5 x – 6; Ответ: 123.

V.Выводы по уроку(3 мин)
Вопрос.Ребята, какие многочлены в основном мы разбирали на уроках?

(Ответы учащихся).

Учитель.Да, это многочлены с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1, приведенные многочлены.

Вопрос. В каких числах получались ответы?

(Ответы учащихся).

Учитель. Замечание 1 . Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Замечание 2 .Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют - целые.

– Правильно, корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1 либо целое, либо иррациональное, либо целые и иррациональные, либо не имеют корней. Запишите вывод в своих тетрадях.

VI. Задание на дом.(1мин)
1.Разделить 5 x 4 +x 3 x 2 11 на x1используя схему Горнера.
2.Разделить многочлен x 4 +3x 3+4x 2 5x47 на x+3 по схеме Горнера.
3.Убедиться,что числа 2 и −5 являются корнями многочлена 
3 +9 28x 4 +6x 330x 2 30x+100
4.Найти частное и остаток от деления многочлена 4-5х3-53х2+45х-9 на многочлен х-2.
5. Найти все значения параметров а и b, при которых многочлен Р(х) делится нацело на многочлен Q(х): Р(х)=43+ах2+bх+4, Q(х)=х2-4;
6.При каких натуральных значениях  выражение  является целым числом?

7.№ 129 (1, 3, 5, 6) – Н. Я. Виленкин – 10, стр. 78. [1].
VII. Подведение итогов урока и выставление отметок.(1мин)

Литература
1.Н.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ. 10 класс // Просвещение, 2013.
2.М.Л. Галицкий. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. // Просвещение, 2013.
3.Г.В. Дорофеев. Многочлены с одной переменной. // Санкт-Петербург. Специальная литература, 2000.

Дополнительная литература.
1.Курош А.Г. «Курс высшей алгебры». 2.Никольский С.М, Потапов М.К. и др. 10 класс «Алгебра и начала математического анализа».
3.[1] http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Планирование

Целевая аудитория: 11 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Методическая разработка "Схема Горнера"

Автор: Лукьянова Ирина Викторовна

Дата: 18.10.2020

Номер свидетельства: 560373

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства