Разработка интегрированного урока математики и истории по теме: « История возникновения квадратных уравнений. Решение квадратных уравнений»

Государственное казенное общеобразовательное учреждение Свердловской области

«Ивдельская вечерняя школа»

Разработка интегрированного урока математики и истории

по теме: «История возникновения квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений»

Учитель математики:

Сергеева Любовь Геннадьевна

Учитель истории:

Шульц Алена Александровна

Ивдель, 2022 г.

Чтобы решить уравнение,

Корни его отыскать.

Нужно немного терпения,

Ручку, перо и тетрадь.

Цели урока:

Образовательные:

- История появления квадратных уравнений;

- Продолжить знакомство с квадратными уравнениями разного вида, общие формулы и внешний вид уравнения.

- Выявить знания по данной теме.

- Отработка навыков решения квадратных уравнений разного вида.

- Формирование умения решать квадратные уравнения;

- Знакомить с великими открытиями ученых-математиков;

Развивающие:

- Развитие логического мышления, внимания, памяти

- Умение обобщать и сравнивать;

- Формирование умения выделять главное;

- Развитие познавательного интереса, мыслительной деятельности, вычислительных навыков, кругозора обучающихся;

Воспитательные:

- Воспитание самостоятельности, трудолюбия, взаимопомощи, взаимоуважения;

- Осмысленной учебной деятельности и воспитание математической речевой культуры.

Задачи урока:

- Применять полученные знания на практике;

- Самоконтроль, самооценка, умение действовать в нестандартной ситуации;

- Расширить кругозор обучающихся.

Тип урока:

Комбинированный и интегрированный урок.

Формы работы на уроке:

Индивидуальная, фронтальная, коллективная.

Методы обучения:

Тестовая проверка уровня знаний; решение обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка.

Оборудование:

Презентация «квадратные уравнения», раздаточный материал, карточки с тестами,

Ход урока:

Сегодня у нас необычный урок математики, а интегрированный урок, совместно с уроком истории, мы начнем с экскурса в историю, историю появления квадратных уравнений, Слово предоставляется учителю истории –Щульц Алёне Александровне.

Из истории возникновения квадратных уравнений

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами. Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

 

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения в Греции.

Диофант – греческий ученый в III век н.э., не прибегая к геометрии, чисто алгебраическим путем решал некоторые квадратные уравнения, причем само уравнение и его решение записывал в символической форме

Евклид, в III век до н. э. отвел геометрической алгебре в своих «Началах» всю вторую книгу, где собран весь необходимый материал для решения квадратных уравнений.

Каждый из вас, сегодня на уроке имеет возможность получить оценку по результатам работы на различных этапах урока. Для этого у вас на партах лежат карты результативности, в которую вы будите заносить свой успех в баллах.

Приступим к работе. Для того, чтобы включиться в работу и сконцентрироваться, проведём небольшую устную разминку. Но вопросы будут не только по теме урока, проверяем ваше внимание и умение переключаться. За каждый правильный ответ в колонке «разминка» вы ставите один балл.

Разминка

-Какое название имеет уравнение второй степени?

-От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

- когда начался 21 век?

- Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант ?

- Что значит решить квадратное уравнение?

- Как называется квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен -1?

- Сколько раз в году встаёт солнце ?

- Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант ?

- Есть это у любого слова, у растения и может быть у уравнения?

- В каком веке появились первые сведения о квадратном уравнении?

Попрошу открыть тетради и записать тему урока.

« Решение квадратных уравнений»

Уравнения с давних времен волновали умы человечества. По этому поводу у английского ученого Чосера есть прекрасные строки. Предлагаю их сделать эпиграфом нашего урока.

Посредством уравнений ,теорем

Я уйму всяких разрешил проблем.

Квадратные уравнении тоже не исключение. Они очень важны для математики и для других наук тоже. На ближайших уроках мы будем решать текстовые задачи, решать логарифмические уравнения, тригонометрические, иррациональные, показательные, многие из которых при решении сводятся к решению квадратных уравнений, и вот тут - то необходимо быстро и умело решать квадратные уравнения.

Давайте вспомним, определение уравнения:

- Равенство, содержащее неизвестное.

-Является ли уравнением выражение( х+1)(х-4)=0

- Да

-Запишите его пожалуйста в тетрадь, каким рациональным способом его можно решить?

- Приравнивая каждый множитель к нулю. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Решаем это уравнение.

Х₁=-1 и х₂=4

А можно его решить другим способом?

- Да. Его можно привести к квадратному уравнению.

- Давайте вспомним, какие уравнения называются квадратными?

- Уравнения вида ах²+ вх + с = 0

-Приведите наше уравнение к такому виду:

Х² -3х – 4 = 0

Назовите его коэффициенты, что еще можно сказать про это уравнение?

- Оно полное и приведённое.

- Какие виды квадратных уравнений вы ещё знаете?

------отвечают

Хорошо.

Квадратные уравнения у Аль-Хорезми

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1)  «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.

2)  «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.

3)  «Корни равны числу», т. е. ах = с.

4)  «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.

5)  «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.

6)  «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

2.Устный счёт:

а) вычислить квадрат числа – 5²; 11²; 10²; 14²; 17²;9².

б) найдите значение выражения – ; ; ;

в) вычислить наиболее рациональным способом:

* * * * * * = ; * * * * * * * =

г) решить уравнение

-8х =-24 50х= -5 3х+7=0 13-100х=0 8(5х -1)=8

Х²= 49 3х²=27 х²= -4 х² = х²=

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax2 + bх = с, а

В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Бхаскаре – Акариа – (1114 – 1185) - индийский математик в XII век н.э. Бхаскара получал отрицательные корни уравнений, хотя и сомневался в их значимости. Он открыл общий метод решения квадратных уравнений. Занимался вопросами алгебры, тригонометрии и геометрии. В его трудах можно найти одну из старейших задач, которая решается с помощью квадратного уравнения. Разберём данную задачу:

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 3.

«Обезьянок резвых стая	А двенадцать по лианам
Всласть поевши, развлекалась	Стали прыгать, повисая
Их в квадрате часть восьмая	Сколько ж было обезьянок,
На поляне забавлялась	Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Теперь давайте проведём тест на определение вида квадратного уравнения.

Тест : Определить вид квадратного уравнения. Ставим просто плюсик.

общий вид	полное	неполное	приведённое	биквадратное
9х4+32х2-16=0
х2 - 4х =0
3х2+6х=8х2-15х
2х2-19х+24=0
5х2+4х-12=0
х2 – 9 = 0
х4-7х2+12=0
-3х2-7х-4=0
х2-х-6=0

Правильный ответ:

общий вид	полное	неполное	приведённое	биквадратное
9х4+32х2-16=0	+			+
х2 - 4х =0		+	+
3х2+6х=8х2-15х		+
2х2-19х+24=0	+
5х2+4х-12=0	+
х2 – 9 = 0		+	+
х4-7х2+12=0			+	+
-3х2-7х-4=0	+
х2-х-6=0			+

Критерии оценивания:

Практикум по решению квадратных уравнений:

полные	неполные	приведённые	биквадратные
2х2-19х+24=0	х2 - 4х =0	х2+3х-28=0	х4-7х2+12=0
-3х2-7х-4=0	х2 – 9 = 0	х2+х-12=0	9х4+5х2-4=0
2х2-х+3=0	3х2+6х=8х2-15х	х2+3х+18=0	х4-20х2+64=0
3х2+4х -39=0	х2-8х=0	х2-х-6=0	9х4+32х2-16=0
5х2+4х-12=0	х2-1=15	х2-6х+8=0	16х4+71х2-45=0
4х2-10х-6=0	4х2-1=0	х2+4х-5=0	х4-2х2-8=0

Вопросы;

-С каким понятием мы постоянно сталкиваемся при решении квадратных уравнений?

Понятие дискриминант придумал английский ученый Сильвестр, он называл себя даже «математическим Адамом» за множество придуманных терминов. А зачем он, то есть дискриминант нам нужен?

Стихотворение: Дискриминант.

Нам прочитает Яна Николаевна.

Да будет известно тебе, повелитель,

Что дискриминант – это определитель,

Его вычислять ты научишься вскоре.

Я думаю, этим ты будешь доволен.

Определив дискриминанта знак,

Количество корней узнает всяк.

Коль знак этот плюс, то излишни слова.

У уравнения корней ровно .... (два).

На корни внимательно я посмотрю,

Коль дискриминант будет равен нулю.

Тебе я поведаю мой господин,

Что в случае этом корень ..... (один).

Коль минус с тобою мы замечаем,

То это обрадует даже лентяя.

Тогда уравнение корней не имеет,

И прекращается сразу решенье.

О. Панишева.

- Он определяет число корней квадратного уравнения.

Как же количество корней зависит от дискриминанта?

0	0	0
	один корень х =	нет корней

Дети перечисляют случаи.

Давайте послушаем Алёну Александровну про появление формулы дискриминанта.

Один из известнейших ученых Джеймс Джозеф Сильвестр (3 сентября 1814 – 15 марта 1897) – английский математик. Ему принадлежат десятки математических терминов, в том числе понятие «матрица», «дискриминант», «инвариант». Сейчас ими оперируют все люди. В ознаменование заслуг перед мировой наукой, начиная с 1901 года, Лондонским королевским обществом была учреждена Медаль Сильвестра, которой награждают исключительно математиков за профессиональные заслуги. В США также чтят память об ученом. Его именем названо одно из строений Университета. Основанный Сильвестром математический журнал American Journal of Mathematics входит в число наиболее авторитетных научных изданий. Сильвестра называют «Математическим Адамом» за определение термина «Дискриминант»

Итак , давайте ещё раз проговорим алгоритм решения полного квадратного уравнения.

Проговаривают

Итак ,давайте приступим к практической части нашего урока.

Перед вами несколько различных уравнений. Посмотрите внимательно на эти уравнения и скажите какие являются квадратными?

1. 3х²+6х=8х²-15х ответы: 1)- 5х²+21=0

2. х²+3х+18=0 2) х²+3х+18=0

3. 2х² +3=х 3) 2х²- х+3=0

1. 4х -5 +х²=0 4) х²+4х – 5 =0

2. Х + 5х²= 6 5) 5х² +х -6=0

3. ( 2-5х)²=9 6)25х²-20х -5=0

Да, потому что присутствует квадрат, но записаны они не в стандартном виде. Давайте приведём их к стандартному виду, ах² +вх +с = 0

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета

Франсуа Виет — французский мате-матик, В 1591 сформулировал и доказал теорему о сумме и произведении корней приведённого квадратного уравнения.

Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Такой способ записи позволил Виету   сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Не случайно за это Виета называют "отцом" алгебры

Квадратные уравнения в Европе XII-XVII в.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.[5,12].

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака. А затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры, использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д. На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

Справедлива также теорема, обратная теореме Виета.

2. Т.о. одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + x, другое же меньше, т.е. 10 – х.

3. Разность между ними 2х.

4. Отсюда уравнение (10 + x ) _* (10 – x ) = 96

100 – х² = 96 х² – 4 = 0

5. Ответ x = 2 . Одно из искомых чисел равно 12,
другое - 8.

Заключение

• Квадратные уравнения... Как мало мы о них знаем, и сегодня на уроке мы дополнили наши знания, провели экскурсию в историю появления квадратных уравнений, познакомились с именами великих учёных математиков, расширили знания на применение квадратных уравнений в жизненной ситуации, использование квадратных уравнений для решения показательных, логарифмических, тригонометрических , иррациональных уравнений, решение практических задач, задач на движение. Экзамен – одно из заданий на решение квадратных уравнений, с указанием меньшего или большего из корней, вычислением суммы или произведения корней квадратного уравнения. Дерзайте в применении квадратных уравнений в жизни.

Вывод.

• Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, надо знать:

• ·  формулу нахождения дискриминанта;

• ·  формулу нахождения корней квадратного уравнения;

• ·  алгоритмы решения уравнений данного вида.

• уметь:

• ·  решать неполные квадратные уравнения;

• ·  решать полные квадратные уравнения;

• ·  решать приведенные квадратные уравнения;

• ·  находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

• ·  делать проверку.

• Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

• ·  преобразования данного уравнения к простейшим;

• ·  решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

• Применять знания о квадратных уравнениях в жизненных ситуациях( на примере бассейна)

Рефлексия.

Спасибо за урок!

Приложение.

Карточка № 1

Устный счёт:

а) вычислить квадрат числа – 5²; 11²; 10²; 14²; 17²;9².

б) найдите значение выражения – ; ; ;

в) вычислить наиболее рациональным способом:

* * * * * * = ; * * * * * * * =

г) решить уравнение

-8х =-24 50х= -5 3х+7=0 13-100х=0 8(5х -1)=8

Х²= 49 3х²=27 х²= -4 х² = х²=

Карточка № 2

Тест : Определить вид квадратного уравнения. Ставим просто плюсик.

общий вид	полное	неполное	приведённое	биквадратное
9х4+32х2-16=0
х2 - 4х =0
3х2+6х=8х2-15х
2х2-19х+24=0
5х2+4х-12=0
х2 – 9 = 0
х4-7х2+12=0
-3х2-7х-4=0
х2-х-6=0

Карточка № 3

Самостоятельная работа:

1. Найдите сумму корней квадратного уравнения:

А) Х²- 28х +27 =0 б) х² +3х – 4 = 0 в) х² -32х +31 = 0

1. Найдите значение выражения при

А) а=3; в=1; с=-4.

Б) а=7; в=-6; с = -45.

В) а =3; в=-0.2; с = -0.01.

Г) а = 1; в = 5; с =1800.

3) Найти произведение корней квадратного уравнения:

А) х² – х – 2 = 0; б) х² – 5х – 6 =0; в)х² +9х – 6 =0

Карточка № 4

Сколько корней имеет квадратные уравнение?

1. 2х²– 3х – 5 = 0

2. Х ⁴- 6х² +7 = 0

3. Х +3 = 18

4. – 5х² = - 25

5. Х³ -3х² – 32х +96 =0

Карточка № 5

1. Дискриминант квадратного уравнения 6х²+ 3х – 1 = 0 равен:

А) 33; б) 40; В) – 71.

2. решите уравнение 3х²– х + 2 = 0.

А) 1 и (-2); б)- 1 и ; в) нет корней.

3. Найдите корни уравнения: 2х²– 18 = 0.

А) 9; б) – 9; в) 3.

4. Является ли корнем уравнения 2х² + 3х = 2 число (-2) ?

Карточка № 6

1. Задача.

- Ученик задумал число, умножил его на 4, из результата вычел 6 и получил удвоенное задуманное число. Какое число задумал ученик?

2. Что значит решить уравнение?

3. Что называется корнем уравнения?

Карточка № 8

Заполните пустые ячейки таблицы, используя представленные в приведённом ниже списке данные. Для каждой ячейки, обозначенной буквой, выберите номер нужного элемента.

Ученый	Период	Достижение
А	Б	Введение термина «дискриминант»
Франсуа Виет	В	Г
Евклид	III век	Д

Варианты ответов:

1) Джеймс Сильвестр

2) II век до н.э.

3) Герон

4) Первый теоретический трактат по математике

5) XVI век

6) Евклид

7) Леонардо Фибоначчи

8) VII век

9) Формула решения квадратного уравнения

10) XIX век

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В	Г	Д