Метод половинного деления для приближенного решения уравнений

Предыдущий урок - графический метод решения уравнений: Дано уравнение которое невозможно решить математически (по стандартным формулам) Предлагается строить математическую модель и решить ее графически

Численные методы решения уравнений

Тип: Открытие нового знания.
Методы: словесные, наглядные, практические.
Формы: фронтальная, индивидуальная.
Оборудование: компьютер, проектор, карточки с дополнительными заданиями, мел, доска, презентация, текст готовой программы, презентация, АРМ.
Цели:

1. Сформировать представление о численных методах приближенного решения уравнений

2. Сформировать понятие о методе половинного деления.

3. Сформировать умение решать уравнения методом половинного деления и проверить результат графическим способом.

4. Сформировать представление о точности вычислений.

План урока

1 этап Организационный момент – 2 минуты

2 этап Переход к теме урока, постановка целей урока – 3 минуты

3 этап Постановка проблемы – 5 минут

4 этап Решение проблемы – 5 минут

5 этап Новый материал – 5 минут

6 этап Применение новых знаний – 5 минут

7 этап Закрепление материала – 15 минут

8 этап Итоги урока – 5 минут

Ход урока:

1 этап: - Какие модели научились строить на прошлом уроке?
- …математические…
- С какой целью строили математическую модель?
- …для решения уравнений?
- Какой метод приближенного вычисления использовали?
-…графический.
- Сегодня мы познакомимся ещё с одним методом приближённого решения уравнений.

2 этап: - Попробуем сформулировать новый метод, вспомнив детскую игру «Угадай число» и различные тактики решения этой задачи.
Фронтальная беседа:
- Сформулируйте цель игры: «На числовом отрезке ведущий загадывает число».

1 тактика: Игроки пытаются угадать. Ведущий отвечает больше или меньше.
Обсудить почему так действовать не рационально?

2 тактика: Чтобы угадать число за меньшее количество вопросов, удобно делить исходный отрезок пополам и проверять у ведущего находится ли загаданное число на данном промежутке.

3 этап: Попробуйте перенести 2 тактику игры «Угадай число» для решения уравнений.
- Что нам нужно знать, чтобы применить метод?
1) Отрезок, на котором находится корень уравнения.
- Мы можем его определить? Как?
…Да. С помощью графического метода.
- Что будем делать с исходным отрезком?
2) Будем делить отрезок пополам.
- Какой из двух получившихся отрезков нас интересует?
… отрезок, на котором находится корень…
- Как его определить (подсказка: обратите внимание на график)?
…Функция принимает разные по знаку значения…
3) Выбрать отрезок, на котором функция принимает разные по знаку значения.
- Что делать дальше (вспоминаем игру)?
…снова делим отрезок пополам…
- Как долго нужно продолжать деление?
…пока не найдём решение…
- Всегда ли его возможно найти точно?
…нет корень может быть бесконечной дробью…
-Как быть в этом случае? Как вы поступаете с такими числами?
…округляем до определённого разряда…
4) Если мы находим приближённое решение, то заранее должны выбрать точность, то есть до какого разряда будем округлять число.

4 этап: Таким образом, мы получили этапы метода половинного деления.

1. Отделение корня:

   • Записать уравнение в каноническом виде: f(x)=0;

   • Найти отрезки (a;b), для которых выполняются следующие условия: функция f(x) непрерывна на отрезке (a;b) и на концах отрезка имеет разные знаки;

2. Поиск корня.

   • Делим исходный отрезок на две половины (a;c) и (c;b), где с=(a+b)/2;

   • Определяем, на какой из частей теперь находится корень уравнения, и берем соответствующую половинку в качестве нового исходного отрезка;

   • Далее повторяем те же действия до тех пор, пока длина полученного отрезка, на котором находится корень, не будет меньше заданной точности |b-a|e.

5 этап: Рассмотрим работу метода на примере: Найти решение уравнения х3+х2-1=0.
1) Графическим методом найдём отрезок, на котором находится корень. Точка пересечения находится на отрезке [0; 1]. Проверим принимает ли функция на этом отрезке разные по знаку значения: у(0)= -10. Верно.
2) Найдём середину отрезка [0; 1], с=(а+b)/2, с=0,5.
3) Из двух получившихся отрезков выбираем то, на котором функция принимает разные по знаку значения: у(0,5)= -5/84) проверяем достижение нужной точности |1-0,5|
6 этап: Создание компьютерной модели.
Программный код:
var a,b,x,e:real; {ГЛОБАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕНЫЕ}

Function y(x: Real):Real;

begin {Наша функция }

y:=x*x*x+x*x-1

end;

BEGIN

a:=-1; b:=1; {Начальные значения концов отрезка}

e:=0.00001;

writeln('y1=',y(a):2:2,' y2=',y(b):2:2) ; {знач-я ф-ии в этих точках}

repeat {Цикл с постусловием }

x:=(a+b)/2; {Находим середину}

if y(a)then if y(x)0 then b:=x else a:=x {изменяем }

else if y(x)0 then a:=x else b:=x; {отрезок }

writeln('x1=',a:0:5,' x2=',b:0:5); {вывод очередных приближений}

until abs(b-a)

writeln('koren ',a:0:5); {вывод корня}

writeln('znacheniye ',y(a):0:5); {вывод значения функции в корне}

END.

7 этап: Компьютерный эксперимент.
Самостоятельно решить уравнение:
1) (х-1)^3-(х-2)^2=0. Ответ: 1,56984.
2) 3х^5+х^3-2=0. Ответ: 0,85541.
3) 1/(х-2)-(х-3)^3=0. Ответ: 3,81917.
4) . Ответ: 1, 13039.
5) x²-sin x=0

6) 2^x=|x|

8 этап подведение итогов урока оценивание
Домашнее задание: Найти решение уравнения графическим методом и методом половинного деления: х^3+(х-1)^2=0.