Алгебра логики: основные понятия и аксиомы.

Конспект открытого урока по информатике

«Основы алгебры логики. Основные понятия и аксиомы»

Цель: познакомить с предметом алгебры логики, понятием о высказывании, логическими операциями.

Задачи:

• сформировать умение определять истинность сложных высказываний, связанных логическим умножением, сложением и отрицанием;

• развивать логическое мышление и навык анализирования ситуаций;

• воспитывать внимательность, усидчивость, информационную культуру обучающихся;

• содействовать развитию умения рассуждать, развитию коммуникативных навыков и умения применять изученный материал на практике.

Тип урока: изучение нового материала.

Формы работы: групповая, фронтальная.

Программное и техническое оснащение: ноутбук с выходом в интернет, мультимедиа проектор, экран, браузер, программное обеспечение «1С: Образование».

Преподаватель: Бачурина Татьяна Александровна.

Студенты: группа 18ИТ20

Время и место проведения: 06 ноября 2018 г. в 09:00, 1 корпус, ауд.119.

План урока:

Организационный момент……………………………………………………………………..2 мин.

Изучение нового материала…………………………………………………………………..15 мин.

Закрепление изученного материала………………………………………………………….25 мин.

Подведение итогов урока………………………………………………………………………3 мин.

Ход урока

Организационный момент

Преподаватель: Здравствуйте, ребята. Сегодня мы приступаем к изучению новой темы «Основы алгебры логики. Основные понятия и аксиомы»

Изучение нового материала

Преподаватель: Долгое время алгебра логики была известна достаточно узкому классу специалистов. Прошло почти 100 лет со времени создания алгебры логики Джоржем Булем, прежде чем в 1938 году выдающийся американский математик и инженер Клод Шеннон показал, что алгебра логики применима для описания самых разнообразных процессов, в том числе и для функционирования релейно-контактных и электронно-ламповых схем.

Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний, вызвано это тем, что высказывания являются одним из основных видов носителей информации. С помощью высказываний мы устанавливаем свойства, взаимосвязи между объектами.

Примерами высказываний на естественном языке являются предложения: «Сегодня светит солнце» или «На Красной площади зимой 2007–2008 гг. заливали каток». Каждое из этих высказываний характеризует свойства или состояние конкретного объекта. Каждое высказывание несет значение «истина» или «ложь».

Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности.

Высказывания бывают простыми и сложными.

Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием.

Сложное высказывание – это высказывание, которое состоит из двух или более простых высказываний, объединенных логическими связками.

Из уже заданных высказываний строить новые, более «сложные» высказывания позволяют употребляемые в русском языке связки «и», «или», «не», «если…, то…», «тогда и только тогда, когда …».

Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности или ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями. Для обозначения истинности, как правило, используются символы «И» и «1», а для обозначения ложности – символы «Л» и «0».

В алгебре логики логическая операция полностью задается таблицей истинности, указывающей, какие значения принимает сложное высказывание при всех возможных значениях простых высказываний, входящих в сложное высказывание.

Логические операции и соответствующие им логические связки имеют специальные названия и обозначаются следующим образом:

Логические операции, вводимые с помощью таблиц истинности, являются аксиомами алгебры.

КОНЪЮНКЦИЯ

Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны, называется конъюнкцией. Операция конъюнкция, или логическое умножение, обозначается знаком & или ʌ. 

Операция конъюнкция задается следующей таблицей истинности:

В русском языке этой связке соответствуют союзы «и», «а», «но» и другие речевые обороты. Высказывая некоторую конъюнкцию, мы тем самым делаем такое утверждение, которое выполняется для обоих событий, о которых идет речь в составляющих высказываниях. Например, утверждая: «Ивановы привезли на зиму уголь и закупили дрова на растопку», – мы выражаем в одном высказывании свое убеждение в том, что произошли оба эти события.

В математике вы учили таблицу умножения, чтобы знать, как выполняется операция умножения. В алгебре логики надо знать таблицу истинности для операции конъюнкция, чтобы правильно ее использовать.

При формировании таблиц истинности будем придерживаться следующих правил:

1. Значение «Истина» будем обозначать цифрой 1, значение «Ложь» – цифрой 0.

2. Каждый набор значений аргументов ({0 0}, {0 1}, {1 0}, {1 1}) можно рассматривать как двоичное число. Перечислять наборы значений аргументов в таблице будем в порядке возрастания двоичных чисел.

Давайте составим таблицу истинности:

ДИЗЪЮНКЦИЯ

Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны, называется дизъюнкцией. Операция дизъюнкция, или логическое сложение, обозначается v. 

Операция дизъюнкция задается следующей таблицей истинности:

В русском языке наиболее близка к дизъюнкции логическая связка «или». Хотя чаще она обозначает то, что истинным является только одно из двух высказываний, что соответствует разделительной дизъюнкции, о ней поговорим позже. Более точным по смыслу дизъюнкции будет употребление составного союза «и/или», вошедшего в практику деловых документов. Например: Предоставляем кредиты на приобретение спецтехники и/или оборудования.

В высказываниях, содержащих связку «или», должно указываться на существование двух возможных событий, из которых хотя бы одно должно быть осуществлено. Например, сообщая, что Александр читает книгу или пьет чай, мы имеем в виду, что хотя бы что-то одно Александр делает. При этом Александр может одновременно читать книгу и пить чай. И в этом случае дизъюнкция будет истинна.

При формировании таблиц истинности будем придерживаться следующих правил:

1. Значение «Истина» будем обозначать цифрой 1, значение «Ложь» – цифрой 0.

2. Каждый набор значений аргументов ({0 0}, {0 1}, {1 0}, {1 1}) можно рассматривать как двоичное число. Перечислять наборы значений аргументов в таблице будем в порядке возрастания двоичных чисел.

Преподаватель: Давайте составим таблицу истинности:

РАЗДЕЛИТЕНЛЬНАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ

Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным тогда и только тогда, когда ровно одно из двух высказываний истинно, называется разделительной (строгой) дизъюнкцией, исключающим ИЛИ, сложением по модулю 2. 
Разделительная дизъюнкция обозначается символом  .

Операция разделительная дизъюнкция задается следующей таблицей истинности: 

В русском языке разделительной дизъюнкции соответствуют логические связки «либо» и иногда «или». В отличие от обычной дизъюнкции в высказывании, являющемся разделительной дизъюнкцией, мы утверждаем, что произойдет только одно событие. Например, высказывая утверждение: «Петя сидит на трибуне А либо на трибуне Б», – мы считаем, что Петя сидит либо только на трибуне А, либо только на трибуне Б.

Преподаватель: Давайте составим таблицу истинности:

ИМПЛИКАЦИЯ

Определение. Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся ложным тогда и только тогда, когда первое высказывание (посылка) истинно, а второе (следствие) – ложно, называется импликацией. В логике импликация обозначается символом →. Операция импликация задается следующей таблицей истинности:

В грамматике импликация соответствует условным предложениям, чаще всего образованным из двух предложений связкой «если …, то …».

Импликацию мы используем тогда, когда хотим показать, что некоторое событие зависит от другого события. Например, пусть некоторый человек сказал: «Если завтра будет хорошая погода, то я пойду гулять». Ясно, что человек окажется лжецом лишь в том случае, если погода действительно окажется хорошей, а гулять он не пойдет. Если же погода будет плохой, то, независимо от того, пойдет он гулять или нет, во лжи его нельзя обвинить: обещание пойти гулять он давал лишь при условии, что погода будет хорошей.

Преподаватель: Давайте пройдем по ссылке «Полезно знать».

Преподаватель: Бывает прямая и обратная импликация. Необходимое условие выражается через прямую импликацию, достаточное – через обратную.

«Если завтра будет хорошая погода, то я пойду гулять» - прямая импликация. И «Я пойду гулять, если завтра будет хорошая погода» - обратная импликация.

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным, когда оба исходных высказывания истинны или оба исходных высказывания ложны, называется эквивалентностью. Эквивалентность используется в тех случаях, когда необходимо выразить взаимную обусловленность. В логике эквивалентность обозначается символом ↔. 

Операция эквивалентности задается следующей таблицей истинности:

В русском языке для выражения эквивалентности используется связка «тогда и только тогда», а в математике – «необходимо и достаточно».

Преподаватель: Давайте построим таблицу истинности:

ОТРИЦАНИЕ

Рассмотренные выше операции были двуместными (бинарными), т.е. выполнялись над двумя операндами (высказываниями). В алгебре логики определена и широко применяется и одноместная (унарная) операция отрицание.

Логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному, называется отрицанием.

Таблица истинности для отрицания имеет простой вид:

A	не A
0	1
1	0

Правило построения отрицания на естественном языке

При построении отрицания к простому высказыванию либо используется речевой оборот «неверно, что...», либо отрицание строится к сказуемому, тогда чаще всего к соответствующему глаголу добавляется частица «не». Но построить отрицание к предложению, записанному на русском языке, не всегда просто.

Простое высказывание	Его отрицание
У меня дома есть компьютер.	«Неверно, что у меня дома есть компьютер» или, что в русском языке то же самое: «У меня дома нет компьютера».
Мастер не смог починить насос.	Мастер починил насос.
На автостоянке стоят красные «Жигули».	На автостоянке нет красных «Жигулей».

Преподаватель: Мы познакомились со всеми логическими операциями. И теперь выполним практические задания: (Подборка практических заданий к §3.1)

№1

№2 №3

№4 №11

№5 №12 Преподаватель: Для того, чтоб выполнить это задание, предлагаю посмотреть видео.

№6

Преподаватель: Ребята, домашнее задание – найти ошибки в таблице (подборка для самостоятельного решения к §3.1) Спасибо за урок, до свидания.

№7

№8

№9

№10