Визуализация вычислений в системах символьной математики

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Факультет физико – математический

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

Визуализация вычислений в системах символьной математики

Автор работы_______________________________________ М. В. Фадейкина

Направления подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

Профиль Математика. Информатика

Руководитель работы: канд. физико – матем. наук, доцент___________________________________________ Т. В. Кормилицына

Оценка __________

Саранск 2021

Содержание

Введение 3

1 Понятие системы символьной математики 5

2 История систем символьной математики 6

3 Вычисления в Mathcad 11

Заключение 13

Список использованных источников 14

Введение

Мы живём во время периода развития математики, который связан с изобретением и применением компьютеров. Прежде всего, компьютер предоставил возможность производить сложнейшие численные расчёты для решения тех задач, которые невозможно (по крайней мере, на данный момент) решить аналитически. Появилось так называемое «компьютерное моделирование» – целая отрасль прикладной математики, в которой с помощью самых современных вычислительных средств изучается поведение многих сложных экономических, социальных, экологических и других динамических систем.

Компьютерная алгебра – область математики, лежащая на стыке алгебры и вычислительных методов. Для неё, как и для любой области, лежащей на стыке различных наук, трудно определить чёткие границы. Часто говорят, что к компьютерной алгебре относятся вопросы слишком алгебраические, чтобы содержаться в учебниках по вычислительной математике, и слишком вычислительные, чтобы содержаться в учебниках по алгебре. При этом ответ на вопрос о том, относится ли конкретная задача к компьютерной алгебре, часто зависит от склонностей специалиста.

Изучение математики даёт в распоряжение будущего инженера, экономиста, научного работника не только определённую сумму знаний, но и развивает в нём способность ставить, исследовать и решать самые разнообразные задачи. Иными словами, математика развивает мышление будущего специалиста и закладывает прочный понятийный фундамент для освоения многих специальных дисциплин. Кроме того, именно с её помощью лучше всего развиваются способности логического мышления, концентрации внимания, аккуратности и усидчивости.

1. Понятие системы символьной математики

Системы аналитических вычислений (компьютерной алгебры) - это новейшее направление развития современной компьютерной математики.

Основное их достоинство заключается в возможности выполнения вычислений в аналитическом виде и в возможности проведения арифметических и многих иных вычислений практически с любой желаемой точностью и без ограничений по максимальным (минимальным) значениям чисел.

Системы символьной математики (компьютерной алгебры) представляют наиболее интеллектуальное и интересное направление развития систем компьютерной математики. Они уже сейчас делают то, что пару десятков лет тому назад казалось чистейшей фантастикой, - выполняют сложнейшие аналитические вычисления, в прошлом доступные только человеку.

ЭВМ и программные системы, производящие символьные вычисления и способные выдавать результаты в виде аналитических формул, известны довольно давно.

2 История систем символьной математики

С усложнением решаемых задач из практики роль алгебраических вычислений не только не уменьшилась, но и, наоборот, значительно возросла. Однако часто их приходится выполнять вручную, хотя первые эксперименты по их автоматизации были поставлены еще на машинах первого поколения (в 1953 году). Очень скоро выяснилось, что программное обеспечение алгебраических вычислений должно представлять собой полную систему, включающую метод представления нечисловых данных весьма специальной структуры (формул, уравнений и т.д.), язык, позволяющий манипулировать ими, и библиотеку функций для выполнения необходимых базовых алгебраических операций. Значительно раньше, еще в XIX столетии, Ж. Адамаром была осознана важность так называемых некорректно поставленных задач, для которых оказалось, что арифметика, реализованная традиционным способом, не обладает точностью, достаточной для реализации численных алгоритмов их решения. Поэтому уже в начале 60-х годов прошлого столетия велись интенсивные научные исследования алгоритмов выполнения арифметических операций над числами произвольной длины и произвольного диапазона (так называемая арифметика произвольной разрядности). Уже в середине 60-х годов появились малые ЭВМ, на которых арифметические операции были реализованы не традиционным аппаратным способом, а микропрограммно.

Таким образом, ЭВМ и программные системы, производящие символьные вычисления и способные выдавать результаты в виде аналитических формул, известны довольно давно.

В конце 60-х годов в России на отечественных ЭВМ серии "Мир", разработанных под руководством академика В.М. Глушкова, была реализована СКМ на языке программирования "Аналитик", обладающая всеми возможностями символьных вычислений, впрочем, с весьма скромными, по нынешним понятиям, характеристиками.

Виктор Михайлович Глушков (24 августа 1923 – 30 января 1982) – советский математик, кибернетик, депутат Верховного Совета СССР 8-10 созывов. Член многих академий наук и научных обществ мира. Заслуженный деятель науки УССР (1978), вице-президент Академии Наук УССР (с 1962 года), Герой Социалистического Труда (1969). Автор трудов по алгебре, кибернетике и вычислительной технике. Под его руководством в 1966 году была разработана первая в СССР персональная ЭВМ «МИР-1» (машина для инженерных расчётов).

«МИР» – серийная ЭВМ для инженерных расчётов, создана в 1965 году Институтом кибернетики Академии наук УССР, под руководством академика В. М. Глушкова. Одна из первых в мире однопользовательских ЭВМ. Выпускалась серийно и предназначалась для использования в учебных заведениях, инженерных бюро, научных организациях. Имела ряд уникальных особенностей, таких как: аппаратно реализованный машинный язык, близкий по возможностям к языкам программирования высокого уровня, развитое математическое обеспечение. Фактически относится к классу вычислительных машин, которые впоследствии получили название рабочих станций.

В 1968 году машина МИР модернизирована и получила название МИР-1. Модификация отличается от оригинальной модели наличием устройства ввода-вывода на перфоленту. Также в модификации были применены элементы повышенной надежности.

Система счисления десятичная (двоично-десятичная). Числа могли быть представлены как целые десятичные со знаком, с десятичным порядком и с плавающей запятой. Действия могут выполняться с числами произвольной разрядности и произвольной длины, ограниченного только объёмом памяти в 4096 символов. Время на выполнение операции сложения – 50 мкс. Среднее быстродействие – около 1-2 тыс. оп/с. В комплект машины входила электрическая печатная машинка Soemtron для ввода и вывода информации со скоростью 7 знаков в секунду. Управление машиной было организовано на микропрограммном принципе. Микропрограммирование позволило сильно поднять семантический уровень машинного языка и довести его до высокоуровневого языка программирования. Фактически, микропрограммами выполнялось большинство арифметических действий, вычисление элементарных функций выполнялось перед трансляцией и интерпретацией входной программы. Микрокоманды машины МИР-1 – 120-разрядные и записывались на сменных микропрограммных матрицах. Это позволяло довольно сильно изменять характер использования машины, набор арифметических и логических операций, которые она может выполнять.

Алфавит входного языка ЭВМ МИР-1 составляют заглавные русские и латинские буквы. Предполагалась возможность работы с целыми числами и массивами. Была возможность редактирования и отладки введённой и запущенной программы. Режим «ЗАМЕНЯТЬ» позволял одну разрядность вычислений заменять на другую, один выделенный оператор – другим, добавлять операторы в программу, заменять при некоторых условиях описание основной программы и тому подобное.

На языке АЛМИР-65 были разработаны алгоритмы для длинной арифметики.

«МИР-2» – следующая версия ЭВМ, разработана Институтом кибернетики АН Украины под руководством академика В. М. Глушкова. Выпускалась с 1969 года. Через три года после появления МИР-1, в 1968 году была создана МИР-2, входной язык которой, хотя и являлся расширением входного языка машины МИР-1, имел недвусмысленное название – Аналитик. Это был первый, реализованный в СССР полноценный язык программирования с возможностью выполнять "алгебраические" вычисления. И долгое время, вплоть до появления его очередной версии, он был лучшим.

Быстродействие машины МИР-2 – около 12000 оп/с. Ёмкость оперативного запоминающего устройства (цикл обращения 12 мкс) – 8000 13-битных символов. Постоянное запоминающее устройство имеет ёмкость около 1,6 млн бит с циклом обращения 4 мкс, что достаточно для хранения нескольких десятков тысяч микрокоманд. Имеется буферное запоминающее устройство для выводимой информации объёмом 4000 10-битных слов. В качестве внешних устройств использовались: ввод с перфоленты, вывод на перфоленту, электрическая печатная машинка Soemtron, накопитель на магнитных картах, векторный графический дисплей со световым пером.

В качестве входного языка в машине МИР-2 использовался одноименный специальный язык высокого уровня АНАЛИТИК, который развивал концепции встроенного языка программирования МИР-1 и дополнительно позволял непосредственно формулировать задания с аналитическими преобразованиями формул, позволял получать аналитические выражения для производных и интегралов.

По сравнению с МИР-2 у машины МИР-3 производительность увеличена в 20 раз. Совместим с ЕС ЭВМ (Единая система электронных вычислительных машин) по интерфейсу канала и по форматам внешних носителей, могут использоваться периферийные устройства от ЕС ЭВМ.

Не смотря на то, что имевшиеся вычислительные машины способны были выполнить несколько десятков тысяч команд, все они довольно быстро доказали свою практическую непригодность. Ни в одной из упомянутых систем, за исключением Аналитика, например, нельзя было взять интеграл. (Интегрирование само по себе, правда, было предусмотрено в Авто-Аналитике – расширенной версии названной программы, но фактически интеграл брался только в самых тривиальных случаях).

За рубежом был создан ряд языков программирования и программных систем для символьных операций: muMATH, Macsyma, Reduce, MapleV, Mathematicaи др., создавших реальную основу для развития компьютерной алгебры. Среди этих систем одной из самых простых и получивших массо­вое распространение была система muMATH, реализованная на многих мини- и микро-ЭВМ.

3 Вычисления в Mathcad

Главной отличительной особенностью и преимуществом системы Mathcad является то, что описание решаемых задач и результаты их решения представляются в ней с помощью общепринятых математических знаков и символов — интегралов, производных, радикалов сумм и пр. Это значительно расширяет число пользователей Mathcad, так как не требует от них изучения специального языка программирования.
Основные правила работы и простейшие вычисления. Для работы в Mathcad используется «графический» язык, «словами» в котором являются так называемые пиктограммы. Они представляют собой картинки — символы, обозначающие определенные действия: интегрирование, дифференцирование, построение графика и пр. С их помощью можно строить решение разнообразных задач, не составляя традиционной программы.
Вычисление выражений. Если переменные определены, то их значения можно использовать при вычислении выражений, которые должны располагаться правее или ниже мест определения переменных, участвующих в формировании выражений. Для вычисления выражения нужно его напечатать и нажать клавишу «вывод числового результата» (=). Mathcad вычисляет выражение и показывает его значение справа от этого знака.

Пример.

Решить систему уравнений 

Первое уравнение этой системы задает окружность радиуса R = 2 с центром в начале системы координат. Верхняя часть окружности описывается кривой У{(х)~ -Ja-x² , нижняя часть — кривой у₂(х) = ~У(х) (см. пример 111.11). Второму уравнению системы соответствует прямая у = -х. Она пересекает окружность в двух точках, координаты (Х^ Y_{) и (Х₂, У₂) которых являются решениями рассматриваемой системы уравнений системы (рис. П1.14). Найдем эти координаты.

Рис. 1

Для определения первого решения зададим начальное приближение (-2, 2), близкое к верхней точке пересечения прямой с окружностью. Аналогично для определения второго решения зададим начальное приближение (2, -2), близкое к нижней точке пересечения прямой с окружностью

Вместо этого можно задать любое начальное приближение из области допустимых значений переменных и дополнить соответствующие блоки решения уравнений необходимыми ограничениями на переменные.

Определение экстремумов функции. Наибольшее или наименьшее значения непрерывной функции одной переменной у = f(x), заданной на сегменте [а, Ь], достигается либо в критической точке, где производная этой функции равна нулю или не существует, либо в граничных точках а, b сегмента. Поэтому для обнаружения экстремумов полезно просмотреть график функции и график ее производной, составив, таким образом, представление о количестве и расположении критических точек. После этого уточнение координат точек сводится к определению вещественного уравнения

Если функция имеет п переменных, то координаты ее экстремумов находятся решением системы п уравнений

Для этого можно использовать команду Minerr (от MINimal ERRor — «минимальная ошибка»), которая, как и команда Find, работает в связке с ключевым словом Given. Отличие состоит в том, что команда Minerr возвращает такие значения своих аргументов, при которых левые и правые части уравнений, записанных в блоке решения уравнений Given — Minerr, минимально различаются. Описанное свойство команды Minerr позволяет успешно использовать ее вместо команд root и Find для решения алгебраических уравнений и систем, так как нуль — самое минимальное отклонение.
В современных версиях Mathcad для определения значений переменных х_{, х₂, х_гг при которых функция f(x_t, х₂, х„) имеет экстремум, можно использовать команды Maximize(f, x_if х₂,..., х_п) или Minimize(f, х_и х₂,..., х_п). Эти команды завершают блок решения, открываемый директивой Given, и возвращают вектор аргументов х_х, х₂, ..., х_п, при котором функция f(x_x, х₂,..., х_п) имеет экстремум (максимум или минимум соответственно).
Внутри блока могут размещаться условия, уточняющие (ограничивающие) область изменения переменных х_х, х₂, ..., х_п. Непосредственно перед блоком им нужно задать начальное приближение. Чем ближе это приближение к искомой точке экстремума, тем точнее и быстрее будет найден результат.

Заключение

Для научных работников и инженеров системы символьной математики незаменимое средство анализа постановки всевозможных задач моделирования. Под системами компьютерной математики понимают программное обеспечение, которое позволяет не только выполнять численные расчёты на компьютере, но и производить аналитические (символьные) преобразования различных математических и графических объектов. Все широко известные математические пакеты: Maple, Matlab, Matematica, позволяют проводить как символьные вычисления, так и использовать численные методы. В настоящее время такие системы являются одним из основных вычислительных инструментов компьютерного моделирования в реальном времени и находят применение в различных областях науки. Они открывают также новые возможности для преподавания многих учебных дисциплин, таких как алгебра и геометрия, физика и информатика, экономика и статистика, экология. Применение системы символьной математики существенно повышает производительность труда научного работника, преподавателя вуза, учителя.

К сожалению, эта ветвь развития вычислительной техники и программного обеспечения в нашей стране не была поддержана в должной мере, и лидерство перешло к зарубежным разработчикам таких средств.

Список использованных источников

1. Барский, А. Б. Логические нейронные сети : учебное пособие / А. Б. Барский. – Москва : Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ) : Бином. Лаборатория знаний, 2007. – 352 с. : ил.,табл., схем. – (Основы информационных технологий). – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=232983 (дата обращения: 02.09.2020). – ISBN 978-5-9556-0094-9. – Текст : электронный.

2. Грузина, Э. Э. Компьютерные науки : учебное пособие / Э. Э. Грузина, М. Р. Корчуганова ; Кемеровский государственный университет. – Кемерово : Кемеровский государственный университет, 2009. – Ч. I. – 130 с. : табл., схем. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=232495 (дата обращения: 02.09.2020). – ISBN 978-5-8353-0934-4. – Текст : электронный.

3. Зюзьков, В. М. Математическая логика и теория алгоритмов : учебное пособие / В. М. Зюзьков ; Томский Государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР). – Томск : Эль Контент, 2015. – 236 с. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=480935 (дата обращения: 02.09.2020). – ISBN 978-5-4332-0197-2. – Текст : электронный.

4. Инструментальные средства математического моделирования : учебное пособие / А. А. Золотарев, А. А. Бычков, Л. И. Золотарева, А. П. Корнюхин ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону : Южный федеральный университет, 2011. – 90 с. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=241127 (дата обращения: 02.09.2020). – библиогр. с: С. 88 – ISBN 978-5-9275-0887-7. – Текст : электронный.

5. Левин, В. А. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии на базе пакета «Mathematica» : учебное пособие / В. А. Левин, В. В. Калинин, Е. В. Рыбалка. – Москва : Физматлит, 2007. – 192 с. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=76792 (дата обращения: 02.09.2020). – ISBN 978-5-9221-0799-0. – Текст : электронный.

6. Подчукаев, В. А. Теория автоматического управления (аналитические методы). Учебник для вузов / В. А. Подчукаев. – Москва : Физматлит, 2005. – 198 с. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=76606 (дата обращения: 02.09.2020). – ISBN 978-5-9221-0445-6. – Текст : электронный.

7. Прохорова, О. В. Информатика : учебник / О. В. Прохорова ; Самарский государственный архитектурно-строительный университет, Кафедра прикладной математики и вычислительной техники. – Самара : Самарский государственный архитектурно-строительный университет, 2013. – 106 с. : ил. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=256147 (дата обращения: 02.09.2020). – Библиогр. в кн. – ISBN 978-5-9585-0539-5. – Текст : электронный.

8. Седов, Е. С. Основы работы в системе компьютерной алгебры Mathematica / Е. С. Седов. – 2-е изд., испр. – Москва : Национальный Открытый Университет «ИНТУИТ», 2016. – 402 с. : схем., ил. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=429169 (дата обращения: 02.09.2020). – Библиогр. в кн. – Текст : электронный.

9. Судоплатов, С. В. Дискретная математика : учебник : [16+] / С. В. Судоплатов, Е. В. Овчинникова. – 4-e изд. – Новосибирск : Новосибирский государственный технический университет, 2012. – 278 с. – (Учебники НГТУ). – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=135675 (дата обращения: 02.09.2020). – ISBN 978-5-7782-1815-4. – Текст : электронный.

10. Царев, А. В. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры : учебное пособие / А. В. Царев, Г. В. Шеина ; учред. Московский педагогический государственный университет. – Москва : Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 2016. – 116 с. : ил. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=471787 (дата обращения: 02.09.2020). – Библиогр. в кн. – ISBN 978-5-4263-0393-5. – Текст : электронный.

11. Чичкарев, Е. А. Компьютерная математика с Maxima / Е. А. Чичкарев. – 2-е изд., испр. – Москва : Национальный Открытый Университет «ИНТУИТ», 2016. – 459 с. : граф. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=428974 (дата обращения: 02.09.2020). – Библиогр. в кн. – Текст : электронный.