Реферат на тему "Алгоритмы построения поверхностей по аналитическому уравнению"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Факультет физико-математический

Кафедра математики и методики обучения математике

РЕФЕРАТ

АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ПО АНАЛИТИЧЕСКОМУ УРАВНЕНИЮ

Автор работы _________________________________________ Е. Е. Зубанова

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

Профиль Математика. Информатика

Руководитель работы

канд. физ.-мат. наук, доцент _________________________ Т. В. Кормилицына

Оценка _______________

Саранск 2021 г

Содержание

Введение 3

1 Поверхность. Способы задания поверхности 4

2 Поверхности второго порядка 5

3 Построение поверхностей второго порядка методом параллельных сечений 11

Заключение 17

Список использованных источников 18

Введение

В настоящее время всё большую актуальность в учебном процессе школьников приобретает графическая визуализация решений математических задач на компьютере. Для этого используется многообразие математических систем. Математические системы предоставляют широкие возможности построения множества типов графиков: для функций заданных в явном виде и в параметрическом, в декартовой, полярной, сферической и цилиндрической системах координат, 3D-поверхностей, контурных, точечных графиков и графиков векторного поля, построения графиков пересекающихся трехмерных поверхностей и их линий пересечения и т. д. 

1 Поверхность. Способы задания поверхности

Поверхность – геометрическое понятие, которому в разных разделах геометрии дают разное определение. Например, в начертательной геометрии поверхность рассматривают кинематически – как результат непрерывного перемещения линии в пространстве. Эту движущуюся линию называют образующей, так как она в процессе своего перемещения образует («заметает») данную поверхность.

Поверхность, образованная перемещением прямой линии, называется линейчатой. Линейчатые поверхности делятся на развертывающиеся (которые можно совместить с плоскостью без складок и разрывов) и неразвертывающиеся. Поверхности, которые не могут быть образованы движением прямой линии, называются нелинейчатыми.

В аналитической геометрии поверхность определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:

F(x, y, z) = 0 (1)

Если функция F(x, y, z) непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные, по крайней мере одна из которых не обращается в нуль, то в окрестности этой точки поверхность, заданная уравнением (1), будет правильной поверхностью.

Помимо указанного выше неявного способа задания, поверхность может быть определена явно, если одну из переменных, например, z, можно выразить через остальные:

z = f (x, y) (1′)

Также существует параметрический способ задания. В этом случае поверхность определяется системой уравнений:

(1″)

2 Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению второй степени от трех переменных

называемым общим уравнением поверхности второго порядка. Коэффициенты этого уравнения – действительные числа, по крайней мере одно из них отлично от нуля.

К поверхностям второго порядка относятся:

1. эллипсоид;

2. сфера;

3. гиперболоиды;

4. параболоиды;

5. конус;

6. цилиндр.

Рассмотрим поверхности второго порядка более подробно.

Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется каноническим уравнением

где a 0, b 0, c 0 - параметры (полуоси) эллипсоида.

Рисунок 1 Эллипсоид

Если полуоси a, b, c различны, то эллипсоид называется трехосным; если какие-либо две полуоси равны – эллипсоидом вращения; если все три полуоси равны, то получается сфера.

Рисунок 2 Трехосный эллипсоид

Рисунок 3 Сплюснутый и вытянутый эллипсоид вращения

Сфера

Сфера представляет собой геометрическое место точек пространства, равноудалённых от некоторой точки, называемой центром сферы. В декартовой системе координат сфера описывается уравнением

где координаты центра сферы; R – радиус сферы.

Если центр сферы расположен в начале системы координат, то уравнение этой поверхности имеет вид:

Рисунок 4 Сфера

Гиперболоиды

Гиперболоид – незамкнутая центральная поверхность второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемая в декартовых координатах равнением

(однополосный гиперболоид),

где a и b – действительные полуоси, а с – мнимая полуось;

или

(двуполосный гиперболоид),

где a и b – мнимые полуоси, а с – действительная полуось.

Рисунок 5 Однополосный и двуполосный гиперболоид

Параболоиды

Параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется одним из уравнений:

(эллиптический параболоид)

или

(гиперболический параболоид),

где a 0, b 0.

Параболоид представляет собой незамкнутую нецентральную поверхность (не имеющую центра симметрии).

Рисунок 6 Эллиптический и гиперболический параболоид

Конус

Эллиптическим конусом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется каноническим уравнением:

где a 0, b 0, c 0.

Рисунок 7 Эллиптический конус

Цилиндр

Цилиндрическая поверхность – это поверхность, которую описывает прямая (образующая), которая, оставаясь параллельно самой себе, движется вдоль некоторой кривой, называемой направляющей. По названию направляющей получают свое название и цилиндры.

Цилиндры называют по виду направляющей: эллиптические, параболические, гиперболические.

Эллиптический цилиндр с каноническим уравнением

(направляющей является эллипс, образующая параллельна оси Oz).

Рисунок 8 Эллиптический цилиндр

Параболический цилиндр с каноническим уравнением

(направляющей является парабола, образующая параллельна оси Oz).

Рисунок 9 Параболический цилиндр

Гиперболический цилиндр с каноническим уравнением

(направляющей является гипербола, образующая параллельна оси Oz).

Рисунок 10 Гиперболический цилиндр

3 Построение поверхностей второго порядка методом параллельных сечений

Суть метода параллельных сечений заключается в том, чтобы, используя уравнение поверхности второго порядка, получить линии второго порядка, расположенные в плоскостях, параллельных координатным. Для этого поверхность рассекают множеством плоскостей, параллельных координатным, в каждой из которых должна получиться линия второго порядка.

Задача 1. Изобразить поверхность используя метод параллельных сечений.

Решение:

Из уравнения поверхности видно, что это конус с осью Oy. Поэтому при изображении системы координат направим ось Oy вверх. Вправо направим ось Ox, а направление оставшейся оси Oz выберем так, чтобы система координат была правой.

1. Построим сечение конуса плоскостью z = 0 (плоскостью xOy). Это сечение задается системой

Следовательно, в результате сечения конуса плоскостью xOy получаем пару пересекающихся прямых.

Рисунок 11 Задача 1.1

2. Проведем сечения плоскостями y = 5 и y = -5, параллельными плоскости xOz . Тогда получим уравнения сечений:

а)

б)

Эти сечения являются эллипсами. Нарисуем сначала их основные прямоугольники (на чертеже они будут выглядеть параллелограммами), а затем в них впишем эллипсы с полуосями 4 и 1.

Рисунок 12 Задача 1.2

В совокупности построенные сечения дают представление о данной поверхности, являющейся конусом второго порядка.

Рассмотрим решение задачи с помощью сервиса Wolfram Alpha. Данный сервис выполняет динамические вычисления и позволяет визуализировать множество различных задач математики. С помощью Wolfram Alpha можно решить данную задачу в разы быстрее и точнее.

Результат выполнения задачи 1 в Wolfram Alpha.

Рисунок 13 Результат выполнения задачи 1 в Wolfram Alpha

Задача 2. Изобразить поверхность используя метод параллельных сечений.

Решение:

Данная поверхность является эллиптическим параболоидом с осью Oz. Поэтому при изображении системы координат целесообразно направить ось Oz вверх. Вправо направим ось Ox, а направление оставшейся оси Oz выберем так, чтобы система координат была правой.

1. Построим сечение параболоида плоскостью y = 0 (плоскостью xOz). Это сечение задается системой

Следовательно, сечением параболоида является парабола, лежащая в плоскости xOz и симметричная относительно оси Oz. Изобразим ее.

Рисунок 14 Задача 2.1

2. Проведем сечение плоскостью z = 4, параллельной плоскости xOy. Тогда получим уравнение сечения

Этим сечением является эллипс. Нарисуем сначала основной прямоугольник (на чертеже он будет выглядеть параллелограммом), а затем впишем в него эллипс с полуосями 4 и 2.

Рисунок 15 Задача 2.2

3. Проведем сечение плоскостью x = 0 (плоскостью yOz). Получим уравнение сечения

Сечением является парабола, расположенная в плоскости yOz, симметричная относительно оси Oz.

Рисунок 16 Задача 2.3

Результат выполнения задачи 2 в Wolfram Alpha.

Рисунок 17 Результат выполнения задачи 2 в Wolfram Alpha

Таким образом, можно сказать, что Wolfram Alpha способен заметно упростить сложные математические вычисления.

Заключение

Компьютеры изначально созданы для решения задач, требующих большого объема вычислений. Современная компьютерная математика уже не сводится к решению задач вычислительного характера, к применению численных (приближенных) методов. При помощи компьютера и различных встраиваемых программ и интернет-сервисов можно получать результат за считанные секунды, как в символьном, так и в графически визуализированном виде.

Список использованных источников

1. Данилов, Н. Н. Математическое моделирование : учебное пособие : [16+] / Н. Н. Данилов ; Кемеровский государственный университет. – Кемерово : Кемеровский государственный университет, 2014. – 98 с. – Режим доступа: по подписке. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=278827 (дата обращения: 26.10.2021). – ISBN 978-5-8353-1633-5. – Текст : электронный.

2. Ильин, В. А. Аналитическая геометрия : учебник / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. – 7-е изд., стер. – Москва : Физматлит, 2009. – 224 с. – (Курс высшей математики и математической физики. Вып. 3). – Режим доступа: по подписке. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=82797 (дата обращения: 26.10.2021). – ISBN 978-5-9221-0511-8. – Текст : электронный.

3. Лисяк, В. В. Математические основы компьютерной графики: преобразования, проекции, поверхности : учебное пособие : [16+] / В. В. Лисяк ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Южный федеральный университет, 2020. – 103 с. : ил., табл., схем., граф. – Режим доступа: по подписке. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=612226 (дата обращения: 26.10.2021). – Библиогр. в кн.– Текст : электронный.

4. Норден, А. П. Теория поверхностей : учебник / А. П. Норден. – Москва : Государственное изд-во технико-теоретической лит., 1956. – 260 с. : ил. – Режим доступа: по подписке. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=464142 (дата обращения: 26.10.2021).– Текст : электронный.

5. Остыловский, А. Н. Аналитическая геометрия : учебное пособие / А. Н. Остыловский. – Красноярск : Сибирский федеральный университет (СФУ), 2011. – 92 с. – Режим доступа: по подписке. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=229150 (дата обращения: 26.10.2021). – ISBN 978-5-7638-2196-3. – Текст : электронный.