Реферат "Моделирование фракталов в среде Maxima"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Физико-математический факультет

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФРАКТАЛОВ В СРЕДЕ MAXIMA

Автор работы: Н. Ф. Калачева, студентка V курса группы МДМ-117 очной

формы обучения

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки)

Профиль Математика. Информатика

Руководитель работы канд. пед. наук, доцент: Т.В.Кормилицына

Саранск 2021

Содержание

Введение 3

1. Понятие фрактала 4

1.1. Классификация фракталов 5

2. Система Maxima 8

2.1 Пакет fractals 8

2.2 Пакет dynamics 11

Заключение 14

Список используемых источников 15

Введение

Когда-то большинство людей считало, что геометрия в природе ограничивается простыми фигурами, такими как линия, круг, многоугольник, сфера, коническое сечение, квадратичная поверхность, или их комбинациями. Однако, многие природные системы более сложны и нерегулярны и использования только обычных объектов классической геометрии недостаточно для их описания. Для их исследования используется теория фракталов. Термин «фрактал» является статичной геометрической конфигурацией, как, например, снимок водопада.

Современная наука не может обойтись без новых компьютерных средств. Они выводят математику на чрезвычайно высокий уровень. Изучая фракталы, весьма трудно провести грань между математикой и информатикой – так тесно они переплелись в своём стремлении открыть уникальные модели, приближающие нас к пониманию некоторых природных процессов и явлений.

Не оспаривая удобство использования и интерфейс различного программного обеспечения компьютерной математики, в качестве основного

средства компьютерного моделирования используем систему компьютерной алгебры Maxima.

Преимуществами этой системы являются: бесплатная лицензия, кроссплатформенность (реализация в ОС Windows, Linux, Unix, Mac OS X, BSD), открытый код (что понижает количество встроенных ошибок), поддержка языка программирования Lisp и др. Maxima выполняет символьные и численные вычисления, строит различные графики.

1. Понятие фрактала

Фрактал – множество, которое имеет свойство самоподобия, то есть объект приближенно или точно совпадает с частью самого себя. Это значит, что целое имеет такую же форму, как и одна или более его частей. В математике фракталами называют множества точек в евклидовом пространстве, которые обладают дробной метрической размерностью (Хаусдорфа или Минковского), или топологической размерностью, отличной от метрической размерности, поэтому их следует отличать от других геометрических фигур, которые ограничены конечным числом звеньев.

Мандельброт предложил следующее определение фрактала:

Фракталом является структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

Впервые в математической литературе фракталы появились более ста лет назад. Тогда общество отнеслось к ним негативно. Их называли патологией, интересующей только исследователей, которые злоупотребляют математическими причудами, а не настоящих ученых.

Фракталы известны уже около века, они хорошо изучены и имеют много приложений в жизни. Это явление основано на довольно простой идее:

бесконечное по разнообразию и красоте множество фигур можно получить из довольно простых конструкций, используя всего две операции – масштабирование и копирование.

У понятия «фрактал» нет строгого определения. Поэтому это слово не

является математическим термином. Зачастую так называют геометрическую фигуру, удовлетворяющую одному или нескольким из следующих свойств:

• При любом увеличении обладает сложной структурой;

• Является самоподобной;

• Обладает дробной фрактальной размерностью, большей чем топологическая;

• Может быть построена при помощи рекурсивных процедур.

• Многие природные объекты обладают свойствами фрактала, к примеру: облака, кроны деревьев, побережья, снежинки, система альвеол человека или животных, кровеносная система.

Новая фигура – фрактал – может выступать моделью сложных природных систем, таких, как кроны деревьев, горные хребты, береговые линии, поверхность Луны, и т.д. Древовидные фракталы применяются для моделирования не только растений, но и бронхиального дерева, работы почек, кровеносной системы.

Если рассматривать фрактальные объекты в различном масштабе, то нетрудно обнаружить одни и те же основные элементы. Эти повторяющиеся закономерности определяют дробную (фрактальную) размерность необычной геометрической фигуры.

Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами:

В живой природе: кораллы; морские звезды и ежи; морские раковины; цветы и растения (брокколи, капуста); кроны деревьев и листья растений; плоды (ананас); кровеносная система и бронхи людей и животных;

В неживой природе: границы географических объектов (стран, областей, городов); береговые линии; горные хребты; снежинки; облака; молнии; морозные узоры на оконных стёклах; кристаллы.

1.1. Классификация фракталов

Для изучения фракталов следует разделить их на определенные классы.

Одной из общепринятых классификаций является классификация фракталов на геометрические, алгебраические и стохастические.

Геометрические фракталы являются самыми наглядными, так как сразу видна самоподобность. Все геометрические фракталы обладают жесткой самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. Для построения геометрических фракталов характерно задание "основы" и "фрагмента", повторяющегося при каждом уменьшении масштаба. Поэтому эти фракталы иногда называют конструктивными или автомодельными. Примерами таких фракталов являются треугольник Серпинского, снежинка Коха, кривая Леви и многие другие. В графике геометрические фракталы применяются для получения изображений деревьев, кустов, береговых линий и т.д.

Рисунок 1 Снежинка Коха

Алгебраические фракталы самая крупная группа фракталов. Они строятся на основе алгебраических формул. Получают их с помощью нелинейных процессов в n- мерных пространствах. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. Состояние, в котором окажется динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от начальных условий. Поэтому каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно перейдет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов. Самыми известными из них являются множества Мандельброта и Жюлиа, Бассейны Ньютона и т.д.

Рисунок 2 Множество Мандельброта

Фракталы, при построении которых случайным образом изменяются какие-либо параметры, называют стохастическими. Термин стохастичность происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».

Стохастическим природным процессом является броуновское

движение. С помощью компьютера такие процессы строить достаточно просто: надо просто задать последовательности случайных чисел и настроить соответствующий алгоритм. При этом получаются объекты, очень похожие

на природные, несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и так

далее. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря, процесса электролиза.

С помощью компьютерной программы можно построить какие-нибудь

объекты живой природы, например, ветку дерева. Процесс конструировании этого геометрического фрактала задаётся более сложным правилом, нежели построение вышеописанных кривых.

Рисунок 3 Стохастический фрактал

2. Система Maxima

В рамках проекта создания искусственного интеллекта в 1967 году в Массачусетском технологическом институте была инициирована разработка первой системы компьютерной алгебры Macsyma. Программа в течение многих лет использовалась и развивалась в университетах Северной Америки, где появилось множество вариантов системы. Maxima является одним из таких вариантов, созданным профессором Вильямом Шелтером (William Schelter) в 1982 году. В 1998 году он получил официальное разрешение Министерства энергетики США на выпуск Maxima под лицензией GPL. А начиная с 2001 года, Maxima развивается как свободный международный проект, базирующийся на SourceForge.

В настоящее время Maxima – это система компьютерной математики, которая предназначена для выполнения математических расчетов (как в символьном, так и в численном виде) таких как: упрощение выражений; графическая визуализация вычислений; решение уравнений и их систем; решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем; решение задач линейной алгебры; решение задач дифференциального и интегрального исчисления; решение задач теории чисел и комбинаторных уравнений и др.

В системе имеется большое количество встроенных команд и функций, а также возможность создавать новые функции пользователя. Система имеет свой собственный язык. Она также имеет встроенный язык программирования высокого уровня, что говорит о возможности решения новых задач и возможности создания отдельных модулей и подключения их к системе для решения определенного круга задач.

2.1 Пакет fractals

С помощью пакета fractals автора José Ramírez Labrador можно строить известные фракталы: треугольник Серпинского, фракталы «Дерево», «Папоротник»; множество Мандельброта и множества Жюлиа; снежинки Коха; отображения Пеано: кривые Серпинского и Гильберта.

Данный пакет обладает ограниченными возможностями. Параметры всех команд этого пакета, приведённых ниже, можно изменить непосредственно в тексте этого пакета или скопировать соответствующий кусок кода в свою рабочую область и изменить его.

Рассмотрим функции этого пакета.

• sierpinskiale(n) – возвращает массив из координат n – 1 случайной точки, принадлежащей треугольнику Серпинского, получающемуся рандомизированным Алгоритмом. Функции этой СИФ:

Рисунок 4 Пример использования функции sierpinskiale(n)

• treefale(n) – возвращает массив из координат n – 1 случайной точки, принадлежащей древовидному аттрактору СИФ, получающемуся рандомизированным алгоритмом. Функции этой СИФ:

• fernfale(n) – возвращает массив из координат n – 1 случайной точки, принадлежащей древовидному аттрактору СИФ, получающемуся рандомизированным алгоритмом (здесь вероятности выбора функции зависят от коэффициентов сжатия).Функции этой СИФ:

• mandelbrot_set(x,y) - возвращает число n 29 итераций, для которого , либо число 30, если за 29 итераций орбита точки 0 осталась внутри круга . Напомним, множеству Мандельброта М принадлежат точки с = x + уi, для которых орбита нуля ограничена. Эту функцию можно использовать для раскрашивания областей по скоростям убегания точек (рисунок 6).

Рисунок 6 Пример использования функции mandelbrot_set(x,y)

Здесь опция grid указывает на то, что область изменения координат [-2.5,1] [-1.5, 1.5] должна быть разделена на 150 150 точек (х, у), в которых будет вычисляться функция mandelbrot_set(x,y). Опция gnuplot_preamble используется для интерпретации значения функции mandelbrot_set(х,у) как цвета точки (х,у).

• julia_set(x, y) - возвращает число n 29 итераций, для которого , либо число 30, если за 29 итераций орбита точки x+ уі осталась внутри круга . Здесь число с по умолчанию задается переменной Julia_parameter:%i. Напомним, заполняющему множеству Жюлиа принадлежат точки x + уі, орбита которых ограничена.

Рисунок 7 Пример использования функции julia_set(x, y)

• julia_sin(x,y) – то же, что и предыдущая команда, только для функции f(z) = csin z.

• snowmap(vert, iter) ­– возвращает массив вершин снежинки Коха после iter итераций, построенной на сторонах ломаной линий, заданной массивом вершин vert в виде комплексных чисел. Если первая и последняя вершины совпадают, то ломаная линия замкнута. Результирующее множество расположено слева от ломаной линии, считая в направлении от начала к ее концу. Для построения используется рекурсивный алгоритм.

Рисунок 8 Пример использования функции snowmap(vert, iter)

• hilbertmap(iter) – возвращает массив вершин непрерывной кривой Гильберта, плотно заполняющей плоскую область, после iter итераций.

Рисунок 9 Пример использования функции hilbertmap(iter)

• sierpinskimap(iter) – возвращает массив вершин непрерывной кривой Серпинского, плотно заполняющей плоскую область, после iter итераций.

Рисунок 10 Пример использования функции sierpinskimap(iter)

и

2.2 Пакет dynamics

С помощью пакета dynamics можно строить различные графические представления динамических систем и фракталов: паутинная диаграмма; бифуркационная диаграмма; эволюция орбиты одно- и двумерного отображений; «игра в хаос»; система итерированных функций, заданная аффинными преобразованиями; множества Жюлиа, Мандельброта; а также, в нём реализован метод Рунге-Кутты 4го порядка для решения систем дифференциальных уравнений.

Данный пакет обладает ограниченными возможностями. Однако рекомендуется изучить его исходный код, находящийся в файле «dynamics. mac». Параметры всех команд этого пакета, приведённых ниже, можно изменить непосредственно в тексте этого пакета или скопировать соответствующий кусок кода в свою рабочую область и изменить его.

Рассмотрим функции этого пакета.

Для вывода графики команды пакета dynamics используют команду plot2d, поэтому все опции options этой команды можно передавать в команды пакета dynamics, например, можно менять графические интерфейсы, различные стили графиков, цвета, менять масштаб осей на логарифмический.

• chaosgame([[x1,y1] , …, [ ]], [ , ], b, n, options) – реализует «игру в Хаос»: отмечается точка ( , ).

Рисунок 11 Пример использования функции chaosgame([[x1,y1] , …, [ ]], [ , ], b, n, options)

• ifs([ ,…, ], [ ,…, ], [[ , ],…, [ , ]], [ , ], n, options) – реализует построение аттрактора системы итерированных функций ( , ).

Рисунок 12 Пример использования функции ifs([ ,…, ], [ ,…, ], [[ , ],…, [ , ]], [ , ], n, options)

• julia(x,y,options) - создаёт изображение множества Жюлиа с параметром с = x + iy, х, у R, и сохраняет в файле в формате XРМ в директорию установки Мaхima. Точки вне множества Жюлиа окрашиваются в различные цвета в зависимости от количества итераций, после которых орбита выходит из круга радиуса 2. Максимальное количество итераций определяется опцией levels. Если после заданного количества итераций орбита точки остается внутри круга радиуса 2, точка окрашивается в цвет, заданный опцией color. Все цвета, в которые раскрашиваются точки вне множества Жюлиа, имеют одинаковую насыщенность (saturation) и яркость (value), но разные углы оттенка (hue), равномерно распределённые между hue и hue + huerange.

Рисунок 13 Пример использования функции julia(x,y,options)

• mandelbrot(options) – создаёт изображение множества Мандельброта и сохраняет в файле в формате ХРМ. Окрашивание точек происходит по тому же правилу, что и в команде julia.

Рисунок 14 Пример использования функции mandelbrot(options)

Заключение

Наука о фракталах очень молода, потому что они стали появляться с развитием компьютерных технологий. Поэтому многое еще не изучено и многое еще предстоит открыть. Основная причина   применения фракталов в различных науках заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Фракталы можно применять не только в точных науках, но и практически во всем, что нас окружает: одежда, элемент декора интерьера, дизайн открыток, штор и многого другого. Кроме большой функциональности, возможности применения фракталов в самых различных сферах жизни, это очень яркие, сочные, изумительные по своей красоте изображения, которые доставляют огромное эстетическое удовольствие, позволяют насладиться ими. Создавать свои собственные фракталы может каждый, используя доступные графические программы.

Система компьютерной алгебры Maxima является удобным средством компьютерного моделирования фракталов, имея для этого встроенные пакеты fractals и dynamics. С помощью пакета fractals автора José Ramírez Labrador можно строить известные фракталы: треугольник Серпинского, фракталы «Дерево», «Папоротник»; множество Мандельброта и множества Жюлиа; снежинки Коха; отображения Пеано: кривые Серпинского и Гильберта. С помощью пакета dynamics можно строить различные графические представления динамических систем и фракталов. Так система Maxima имеет бесплатную лицензию, кроссплатформенность (реализация в ОС Windows, Linux, Unix, Mac OS X, BSD), открытый код (что понижает количество встроенных ошибок), поддержка языка программирования Lisp и др. Maxima выполняет символьные и численные вычисления, строит различные графики.

Список используемых источников

1. Азевич, А. И. Симфония фракталов / А. И. Азевич . – Текст : электронный // Информатика. – 2008. – № 28. – URL: https://inf.1sept.ru/view_article.php?ID=200802406.

2. Волошинов, А. В. Математика и искусство / А. В. Волошинов. – Москва : Просвещение, 1992. – 335 с. – URL: http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000011/ (дата обращения: 01.10.2021). – ISBN 5-09-002705-6. – Текст : электронный.

3. Малакаев, М. С. Основы работы с системой компьютерной алгебры Maxima: учебно-методическое пособие / М. С. Малакаев, Л. Р. Секаева, О. Н. Тюленева. – Казань: Казанский университет, 2012 – 57с. – Текст : непосредственный.

4. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. – Москва : Институт компьютер. исслед., 2002. – 655 с. – ISBN 5-93972-108-7. – Текст : непосредственный.

5. Стахин, Н. А. Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima. (ПО для решения задач аналитических (символьных) вычислений): учебное пособие / Н. А. Стахин. – Москва: Федеральное агентство по образованию, 2008 – 86 с. – Текст : непосредственный.

6. Трошин, П. И. Моделирование фракталов в Maxima / П. И. Трошин. – Казань : Казанский федеральный университет, 2012. – 67 с. – Текст : непосредственный.

7. Чичкарёв, Е. А. Компьютерная математика с Maxima: руководство для школьников и студентов / Е. А. Чичкарёв. – Москва: ALT Linux, 2012. – 384 с. – ISBN 978-5-905167-09-6. – Текст : непосредственный.