Методическая разработка по теме "Алгебра логики" для студентов 1 курса по дисциплине "Информатика и ИКТ"

ТЕМА: «Алгебра логики. Основные логические операции.

Построение таблиц истинности сложных высказываний»

Цель: определить формы мышления; ввести определение алгебре высказываний; научить отличать способы объединения высказываний и отрицание высказываний.

Ход урока:

1. Орг. момент

2. Изложение нового материала

1) Формы мышления

Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями. Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления от его содержания.

Опр. Логика – это наука о формах и способах мышления.

Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира от его содержательной стороны.

Мышление всегда осуществляется в каких-то формах. Основными формами мышления являются понятия, высказывания и умозаключения.

Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.

Понятие имеет две стороны

содержание	объем
Составляет совокупность существенных признаков объекта. Чтобы найти содержание понятия, следует найти признаки, необходимые и достаточные для выделения данного объекта из множества других объектов. Например: «ПК – это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации предназначенное для одного пользователя».	Определяет совокупность предметов, на которую оно распространяется. Объем понятия «ПК» выражает совокупность (сотни миллионов) существующих в настоящее время в мире ПК.

Например, понятие «компьютер» объединяет множество электронных устройств, которые предназначены для обработки информации и обладают монитором и клавиатурой. Даже этому краткому описанию компьютер трудно спутать с другими объектами, например с механизмами, служащими, для перемещения в гаражах, которые объединяются понятием «автомобиль».

Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую понятие распространяется. Объем понятия «компьютер» выражает всю совокупность существовавших, существующих и могущих существовать в будущем компьютеров.

Объем и содержание понятия связаны между собой, и эта связь выражается следующим законом: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот, чем больше содержание понятия, тем меньше его объем. Иначе говоря, чем меньше количество вещей мыслится в данном понятии, тем больше оно сообщает об этих вещах. Например, понятие «карманный компьютер» охватывает меньший объем, чем понятие «компьютер», ног обладает большим содержанием.

Алгебра множеств, одна из основополагающих современных математических теорий, позволяет исследовать отношения между множествами и, соответственно, объемами понятий.

Для наглядной геометрической иллюстрации понятий и соотношений между ними используются диаграммы Эйлера-Венна. Если имеются какие-либо понятия А,В,С и т.д., то объем каждого понятия (множество) можно представить в виде круга, а отношение между этими объектами (множествами) – в виде пересекающихся кругов.

Отобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна соотношения между объемами понятий «натуральные числа» и «четные числа». Объем понятия «натуральные числа» включает в себя множество целых положительных чисел А, а объем понятия «четные числа» включает в себя множество отрицательных и положительных четных числе В. Эти множества пересекаются, так как оба включают в себя множество положительных четных чисел С. (рисунок).

Высказывание. Свое понимание окружающего мира человек формулирует в форме высказываний (суждений, утверждений). Высказывание строиться на основе понятий и по форме является повествовательным предложением.

Высказывание является повествовательным предложением, в котором что то утверждается или отрицается.

Высказывания могут быть выражены с помощью естественных и формальных языков

Естественный язык	Формальный язык
"два умножить на два равно четыре"	2*2=4

Высказывание может быть

истинным	ложным
В котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Например: "Процессор – устройство для обработки информации"	В том случае, когда оно не соответствует реальной действительности. Например: "Процессор – устройство печати"

Опр. Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо ложно, либо истинно.

Упражнение. Какие из предложений являются высказываниями? определить их истинность.

1. Какой длины эта лента?

2. Прослушайте сообщение.

3. Делайте утреннюю гимнастику!

4. Назовите устройства ввода информации.

5. Кто отсутствует?

6. Париж – столица Англии.

7. Число 11 является простым.

8. 4+5=10

9. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.

10. Сложите числа 2 и 5.

11. Некоторые медведи живут на севере.

12. Все медведи бурые.

13. Чему равно расстояние От Москвы по С-Петербурга.

Высказывания могут быть простыми и составными. Простым называется высказывание, в котором никакая его часть сама не является высказыванием. На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания (сложные).

Например: "Процессор – устройство для обработки информации и принтер – устройство печати", является составным высказыванием, состоящим из двух простых, соединенных союзом "и".

Если истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, то истинность или ложность высказываний вычисляется с помощью использования алгебры высказываний.

Умозаключение – позволяет на основе известных фактов, выраженных в форме суждений (высказываний), получить заключение, то есть новое знание (например: геометрические доказательства).

Опр. Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение.

2) Алгебра высказываний

АВ была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.

В АВ суждениям ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита.

Рассмотрим два простых высказывания:

А="два умножить на два равно четырем"	В=" два умножить на два равно пяти"
Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1. Высказывание А – истинно (А=1)	Ложному высказыванию соответствует значение логической переменной 0. Высказывание В – ложно (В=0)

В АВ над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.

Для образования новых высказываний наиболее часто используемые логические операции, выражаемые с помощью логических связок "и", "или", "не".

Логическое умножение (конъюнкция)

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза "и" называется операцией логического умножения или конъюнкцией.

Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно только тогда, когда истины все входящие в него простые высказывания.

2*2=5 и 3*3=10	1
2*2=5 и 3*3=9	2
2*2=4 и 3*3=10	3
2*2=4 и 3*3=9	4

В Алгебре логики операцию логического умножения принято обозначать значком "&" или "^". Образуем составное высказывание F, которое получится в результате конъюнкции двух простых высказываний:

F = A&B

Сама функция F может принимать лишь два значения "истина" (1) и "ложь" (0). Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие принимает логическая функция при всевозможных наборах ее аргументов.

Таблица истинности функции логического умножения

А	В	F=A&B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

По таблице истинности легко определить истинность составного высказывания

	А	В	F=A&B
2*2=5 и 3*3=10	0	0	0
2*2=5 и 3*3=9	0	1	0
2*2=4 и 3*3=10	1	0	0
2*2=4 и 3*3=9	1	1	1

Логическое сложение (дизъюнкция)

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза "или" называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.

Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

2*2=5 или 3*3=10	1
2*2=5 или 3*3=9	2
2*2=4 или 3*3=10	3
2*2=4 или 3*3=9	4

Операцию логического сложения (дизъюнкцию) принято обозначать значком "v" или "+". Образуем составное высказывание F, которое получиться в результате дизъюнкции двух простых высказываний:

F=A+B

Таблица истинность функции логического сложения

А	В	F=A+B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

По таблице истинности легко определить истинность составного высказывания.

	А	В	F=A+B
2*2=5 или 3*3=10	0	0	0
2*2=5 или 3*3=9	0	1	1
2*2=4 или 3*3=10	1	0	1
2*2=4 или 3*3=9	1	1	1

Логическое отрицание (инверсия)

Присоединение частицы "не" к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.

Логическое отрицание (инверсия) – делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное - истинным.

А = "два умножить на два равно 4" – истинное высказывание, тогда

F = " два умножить на два не равно 4" – ложное высказывание.

Операцию логического отрицания (инверсию) принято обозначать . Образуем высказывание F, являющееся логическим отрицанием А:

F =

Таблица истинности функции логического отрицания

A	F =
0	1
1	0

Контрольные вопросы:

1) В чем состоит разница между содержанием и объемом понятия? Связаны ли между собой содержания и объем понятия? Приведите примеры.

2) Как определяется истинность или ложность простого высказывания?

3) Перечислите связки в составных высказываниях, знаки логических операций, реализующих логические операции умножения, сложения и отрицания.

3. Итог

4. Домашнее задание. Выучить основные понятия и определения.

6