Реферат по теме: Аналитическое решение уравнений и их систем в пакетах символьной математики

Реферат по дисциплине «Программирование в системах компьютерной математики» на тему:

Аналитическое решение уравнений и их систем в пакетах символьной математики

Студентка: Панишева А. О.

Mathematica

Для решения дифференциальных уравнений в аналитической

форме в пакете Mathematica используется функция DSolve

Для получения частного решения необходимо в качестве первого аргумента

DSolve указать список, состоящий из самого уравнения и начальных

или граничных условий:

Найденные с помощью DSolve решения можно подставить в любое выражение,

содержащее y(x). Однако это решение не определяет правил замены

производных y’(x), y’’(x) и так далее, например:

Для решения систем уравнений в качестве первого аргумента

функции указывается список уравнений, а в качестве второго

аргумента – список искомых функций:

Если в список уравнений включить необходимое количество

начальных или граничных условий, то будет найдено частное

решение системы ДУ, не содержащее произвольных постоянных:

Для некоторых уравнений решение может быть выражено через

спецфункции, встроенные в пакет Mathematica.

Если же DSolve не может найти аналитического решения ДУ,

то Mathematica просто перепечатывает введенные данные в выходную ячейку:

В этом случае нужно преобразовать ДУ к более простому виду,

используя правила, известные из теории дифференциальных уравнений.

Если же аналитически решить уравнение не удается,

можно попробовать решить его численно.

Примеры из математического анализа

Разумеется, роль систем символьной математики далеко не исчерпывается приведенными выше примерами. Эти системы способны преобразовывать сложнейшие алгебраические выражения, находить аналитические решения сложных систем линейных, нелинейных и дифференциальных уравнений, манипулировать со степенными многочленами, вычислять производные и интегралы, анализировать функции, находить их пределы и т. д. Это видно уже из примеров, представленных на рис. 1.6 .

Рис. 1. 6 .  Примеры вычислений из области математического анализа

В этих примерах функция D (как приятное исключение из правил, обозначенная одной буквой) вычисляет производную, функция Integrate — интеграл, функция Solve решает нелинейное уравнение (в данном случае квадратное), а функция Series разлагает выражение в ряд относительно заданной переменной и при заданных начальном значении переменной и максимальной степени ряда. В фигурных скобках задаются списки некоторых входных и выходных параметров (аргументов).

Системы символьной математики являются справочниками по многим специальным функциям. При этом они способны давать результаты вычислений в виде специальных функций, что демонстрируют следующие примеры:

aх4/2+С[1]}} DSolve[{yl' [х] == 2 х2, у2' [х] == 3 х}, {yl[х], у2[х]}, х] {{yl[x] --2х3/3+C[1], у2[х] -3х2/2+C[2]}} DSo2ve{y'[x] +у[х] ==х, у[х], х} {{у[х] -*-1+х + е-хС[1]}} DSolve [у" [х] - у' [х] - 6 у [х] == 0, у [х] , х] {{У[х] -| е-4хС[1] + С[2] -Cos[2x] -|sin[2x]}} DSolve [у" [х] + 4 у'[х] == 10 Sin [2 х] , у [х] , х] {{У[х] -| е-4хС[1] + С[2] -Cos[2x] -|sin[2x]}} DSolve[y'[x] == Sin[Ex] , y[x] , x] {{y[x] -C[1] +Sinlntegral[ex]}} DSolvefz2 w"[z] +zw'[z] - (z2 + l)w[z] ==0, w[z], z] {{w[z] -BesselI[l, z] C[l] +BesselK[l, z] C[2] }}" width="640"

Приведем примеры решения дифференциальных уравнений:

DSolve [Derivative [1] [у] [х] ==2*а*х^3, у[х], х]

{{у[х]-aх4/2+С[1]}}

DSolve[{yl' [х] == 2 х2, у2' [х] == 3 х}, {yl[х], у2[х]}, х]

{{yl[x] --2х3/3+C[1], у2[х] -3х2/2+C[2]}}

DSo2ve{y'[x] +у[х] ==х, у[х], х}

{{у[х] -*-1+х + е-хС[1]}}

DSolve [у" [х] - у' [х] - 6 у [х] == 0, у [х] , х] {{У[х] -| е-4хС[1] + С[2] -Cos[2x] -|sin[2x]}}

DSolve [у" [х] + 4 у'[х] == 10 Sin [2 х] , у [х] , х]

{{У[х] -| е-4хС[1] + С[2] -Cos[2x] -|sin[2x]}}

DSolve[y'[x] == Sin[Ex] , y[x] , x]

{{y[x] -C[1] +Sinlntegral[ex]}}

DSolvefz2 w"[z] +zw'[z] - (z2 + l)w[z] ==0, w[z], z]

{{w[z] -BesselI[l, z] C[l] +BesselK[l, z] C[2] }}

Maple

Аналитическое решение дифференциальных уравнений

Общее решение дифференциальных уравнений.

Для нахождения аналитических решений дифференциальных уравнений в  Maple  применяется команда  dsolve(eq,var,options), где  eq  – дифференциальное уравнение,  var  – неизвестные функции,  options  – параметры. Параметры могут указывать метод решения задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение:  type=exact . При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда  diff , например, дифференциальное уравнение  y'' + y = x записывается в виде:  diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения. В  Maple  такие постоянные, как правило, обозначаются как _ С1 , _ С2 , и т.д.

 eq:={2*x-3*y+5*z+7*t=1, 4*x-6*y+2*z+3*t=2, 2*x-3*y-11*z-15*t=1}:  s:=solve(eq,{x,y,z}); s :={ , y = y , y - } Для нахождения частного решения следует выполнить подстановку конкретного значения одной из переменных при помощи команды subs:  subs({y=1,t=1},s); { ,  , 1=1}" width="640"

Задание 4.

• Найти общее и одно частное решение системы: 

 eq:={2*x-3*y+5*z+7*t=1, 4*x-6*y+2*z+3*t=2,

2*x-3*y-11*z-15*t=1}:

 s:=solve(eq,{x,y,z});

s :={ , y = y , y - }

Для нахождения частного решения следует выполнить подстановку конкретного значения одной из переменных при помощи команды subs:

 subs({y=1,t=1},s);

{ ,  , 1=1}

 A:=matrix([[1,2],[3,4]]):  B:=matrix([[3,5],[5,9]]):  X:=linsolve(A,B); Дана матрица  A. Найти ее ранг, дефект:  d ( A )= n – r ( A ), где  n  – размерность квадратной матрицы,  r  – ее ранг. Найти ядро  А . Наберите:  A:=matrix([[1,1,0],[0,2,-1],[1,3,-1]]):  r(A):=rank(A); r( A ):=2  d(A):=rowdim(A)-r(A); d( A ):=1  k(A):=kernel(A); k( A ):={[- 1,1,2]}" width="640"

• Решить матричное уравнение:  АX = В ; где   , 

 A:=matrix([[1,2],[3,4]]):

 B:=matrix([[3,5],[5,9]]):

 X:=linsolve(A,B);

• Дана матрица  A.

Найти ее ранг, дефект:  d ( A )= n – r ( A ), где  n  – размерность квадратной матрицы,  r  – ее ранг. Найти ядро  А . Наберите:

 A:=matrix([[1,1,0],[0,2,-1],[1,3,-1]]):

 r(A):=rank(A);

r( A ):=2

 d(A):=rowdim(A)-r(A);

d( A ):=1

 k(A):=kernel(A);

k( A ):={[- 1,1,2]}

  de:=diff(y(x),x$4)+2*diff(y(x),x$2)+y(x)=0; de : =   dsolve(de, y(x), output=basis); [cos(x),sin(x),xcos(x), xsin(x)]  " width="640"

Задание 1.2.

Найти фундаментальную систему решений дифференциального

уравнения:  y (4) +2 y ''+ y =0.

  de:=diff(y(x),x$4)+2*diff(y(x),x$2)+y(x)=0;

de : =

  dsolve(de, y(x), output=basis); [cos(x),sin(x),xcos(x), xsin(x)]

Mathcad

Аналитические вычисления в Mathcad

С помощью аналитических вычислений находят аналитические или полные решения уравнений и систем, вычисляют в производные и неопределенные интегралы, а также проводят преобразования сложных выражений (например, упрощение). Иначе говоря, при таком подходе можно получить результат в виде некоторой функции. В программе Mathcad при проведении символьных преобразований конкретные значения, присвоенные переменным, игнорируются – переменные рассматриваются как неопределенные параметры.

Рис. 1.15

Рис. 1.16

Упростить  (Symbolics Simplify). При этом выполняются арифметические действия, сокращаются общие множители и приводятся подобные члены, применяются тригонометрические тождества, упрощаются выражения с радикалами, а также выражения, содержащие прямую и обратную функции. Некоторые действия по раскрытию скобок и упрощению сложных тригонометрических выражений требуют применения команды  Символика Раскрыть/Расширить  (Symbolics Expand)." width="640"

Команды для выполнения аналитических вычислений в основном сосредоточены в меню  Символика  (Symbolics) и продублированы на аналогичной панели инструментов.

Чтобы упростить выражение (или часть выражения), надо выбрать его при помощи уголкового курсора и дать команду  Символика Упростить  (Symbolics Simplify). При этом выполняются арифметические действия, сокращаются общие множители и приводятся подобные члены, применяются тригонометрические тождества, упрощаются выражения с радикалами, а также выражения, содержащие прямую и обратную функции. Некоторые действия по раскрытию скобок и упрощению сложных тригонометрических выражений требуют применения команды  Символика Раскрыть/Расширить  (Symbolics Expand).

В меню  Символика  (Symbolics) предусмотрен ряд операций, ориентированных на выделенную переменную, использованную в выражении. Например, команда Solve (Решить) ищет корни функции, заданной данным выражением. В примере в аналитической форме получены все корни полинома второй степени: сначала применена команда solve для решения, а затем simplify для упрощения результата:

Переменная Дифференцировать  (Symbolics Variable Differentiate) и  Символика Переменная Интегрировать  (Symbolics Variable Integrate);" width="640"

Другие возможности использования этого меню включают:

аналитическое дифференцирование и интегрирование:  Символика Переменная Дифференцировать  (Symbolics Variable Differentiate) и  Символика Переменная Интегрировать  (Symbolics Variable Integrate);

Переменная Подставить  (Symbolics Variable Substitute) – вместо переменной подставляется содержимое буфера обмена;" width="640"

замена переменной:  Символика Переменная Подставить  (Symbolics Variable Substitute) – вместо переменной подставляется содержимое буфера обмена;

Механизм аналитических вычислений можно использовать для аналитического решения уравнений и систем уравнений и неравенств. Для этого задается блок решения Given, в который помещаются уравния и неравенства, а последняя формула блока должна выглядеть как

Find(х,у,...) ,

где в скобках приведен список искомых величин, а далее следует знак аналитического вычисления, отображаемый в виде стрелки, направленной вправо:

MATLAB

Решение систем дифференциальных уравнений в символьном виде в системе MATLAB

Для решения дифференциальных уравнений в форме Коши MatLAB имеет функцию dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, …), которая возвращает аналитическое решение системы дифференциальных уравнений с начальными условиями. Они задаются равенствами eqni(вначале задаются уравнения, затем начальные условия).

По умолчанию независимой переменной считается ‘t’ . Можно использовать и другую переменную, включив ее в конец списка параметров функции dsolve. Символ D обозначает производную по независимой переменной, то есть d/dt, при этом D2 означает d^2/dt^2 и т.д.

Начальные условия задаются в виде равенств ‘y(a) = b’ или ‘Dy(a) = b’, где y - независимая переменная, a и b – константы. Если число начальных условий меньше, чем число дифференциальных уравнений, то в решений будут присутствовать произвольные постоянные С1, С2 и т.д. Вывод осуществляется в виде массива записей.

Пример решения задачи

Обратите внимание, что уравнение, которое требуется решить, задано как   строка, то есть взято в одинарные кавычки. Ответ представляет собой точное   (символьное) решение 1+корень(5). Для получения числовых решений введите double  (ans) или vpa (ans), чтобы отобразить больше знаков. Ввод с командой solve  может также быть символьным выражением, но в этом случае программа MATLAB  потребует, чтобы правая часть выражения была заключена в скобки, и   фактически синтаксис решения уравнения х 2  - Зх = -7 будет выглядеть так:

Например:

Спасибо за внимание!