Презентация к уроку "Метод Крамера" при решении системы линейных уравнений"

Обработка двухмерных массивов на примере метода КРАМЕРА Программирование на Паскале в 9м классе Автор: учитель информатики МБОУ СОШ № 9 села Вольного Кошехабльского района Республики Адыгея Середа И.М.

В качестве примера для наглядного представления о сортировках числовых двумерных массивов приведем классический пример решения СЛАУ (системы линейных алгебраических уравнений) методом Крамара. 2. В начале представим математическую модель:

- представьте себе систему 3х уравнений с тремя неизвестными:

А1 X + В1 Y + С1 Z = D 1

А2 X + В2 Y + С2 Z = D 2

А 3 X + В 3 Y + С 3 Z = D3

- каким способом можно решить такую систему?

Можно методом подстановки, методом приведения к треугольному виду, метолом Гаусса. И все? Для компьютера приемлем метод Крамера, метод деления определителей (детерминантов) – что это за метод?

Для начала запишем нашу систему в другом виде и выделим из нее матрицу (еще одно новое понятие) элементов при неизвестных и матрицу столбца свободных элементов:

А 11* X1 +A12* X2 +A13* X3 =B1

А 21* X1 +A22* X2 +A23* X3 =B2

А 31* X1 +A32* X2 +A33* X3 =B3

А11 A 12 A 13 В1

А21 A 22 A 23 и В2

А31 A 32 A 33 В3

Метод Крамара основан на создании основного определителя и определителей, полученных путем подмены соответствующего столбца матрицы столбцом свободных элементов.

Расчет любого определителя 3-го порядка проводится по соответствующей формуле:

Представим описание алгоритма для решения данной задачи. Создадим массивы размерностью 3х3 А - для исходной матрицы, С- для расчетной матрицы, размерностью 1х3 B - для свободных элементов и D – для определителей.

В двойном вложенном цикле вводим построчно коэффициенты А и В. В тройном цикле производится расчет основного и подстановочных определителей. После проверки определителя на не равенство 0 производится вывод результата по формуле Крамера, в противном случае система будет несовместна.

program kramor;

uses crt;

var

a:array [1..3,1..3] of real;

b:array [1..3] of real;

c:array [1..3,1..3] of real;

d:array [0..3] of real;

i,j,n: integer; x: real;

begin

clrscr;

for i:=1 to 3 do begin

writeln('vvod yravnenij ',i);

for j:=1 to 3 do begin

writeln('vvedite koeff ',j);

read(a[i,j]); c[i,j]:=a[i,j];

end;

writeln('vvedite cvobodnij koeff ',i); read(b[i]);

end;

for n:=0 to 3 do begin

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 3 do begin

if n=j then c[i,j]:=b[i] else c[i,j]:=a[i,j];

d[n]:=c[1,1]*c[2,2]*c[3,3]+c[2,1]*

c[3,2]*c[1,3]+c[1,2]*c[2,3]*c[3,1]-c[3,1]*c[2,2]*c[1,3]- c[1,2]*c[2,1]*c[3,3]-c[3,2]*c[2,3]*c[1,1];

end; end;

if d[0]0 then begin

writeln('otvet');

for i:=1 to 3 do begin

x:=d[i]/d[0];

writeln('x',i,'=',x);

end;

end else writeln('sistema ne sovmestna!!!');

end.

После запуска программы вводим тестовые примеры:

1 Х1 + 0 Х2 + 0 Х3 = 1

0 Х1 + 1 Х2 + 0 Х3 = 1

0 Х1 + 0 Х2 + 1 Х3 = 1

Очевидно, что ответ будет таким:

Х1 = 1; Х2 = 1; Х3 = 1.

Если ввести только одинаковые числа, то получим несовместную систему.

После проверки работоспособности программы ее можно использовать по назначению – решать систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными!

Желаю успеха!

1. Информатика и ИКТ. 9 класс.

Н.Д. Угринович, М.БИНОМ, 2009

2. Программирование на Паскале. А.А. Чернов, А.Ф. Чернов. Волгоград. «Учитель». 2006

3. http://www.zavuch.info/methodlib/401/96560/

4. http:// kbrcde.ru /?Page= files&act = show_file&id =343