Основы логики(теория)

ТЕОРИЯ

ОСНОВЫ ЛОГИКИ

Учитель информатики МБОУ «Великомихайловская СОШ Новооскольского района Белгородской области» Ерошенко И.В.

Определение

Логика – это наука о формах и способах мышления

Формы мышления

понятие

суждение

умозаключение

(высказывание,

утверждение)

Понятие

• Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта;

• Понятие имеет две стороны: содержание и объем;

• Содержание – это совокупность существенных признаков объекта;
• Объем – это совокупность предметов, на которые распространяется понятие;

Высказывание

• Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними;
• Высказывание может быть либо истинно , либо ложно ;
• Высказывания могут быть выражены с помощью естественных и формальных языков;
• Высказывания могут быть выражены только повествовательным предложением;
• Высказывания могут быть простыми и составными ;
• Истинность простых высказываний определяется на основании здравого смысла;
• Истинность составных высказываний определяется с помощью алгебры высказываний.

Пример: Зимой идет снег. Процессор является устройством обработки информации

!

Вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями,

т.к. в них ничего не утверждается и не отрицается

Например:

• Нельзя касаться оголенных проводов!
• Когда закончится урок?
• Какого цвета этот стол?
• Нельзя пить и есть в кабинете Информатики

и ИКТ!

Умозаключение

• Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких высказываний может быть получено новое суждение;
• Посылками умозаключения могут быть только истинные суждения

Все металлы - простые вещества. Литий - металл.→ Литий - простое вещество.

Один из углов треугольника равен 90º. → Этот треугольник прямоугольный.

Алгебра высказываний

• Служит для определения истинности или ложности составных высказываний, не вникая в их содержание;
• В алгебре высказываний простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые латинскими буквами:

Например: A – «Крокодилы летают»

B – «Земля вращается вокруг Солнца»

• Если высказывание истинно, то ему соответствует значение логической переменной 1, если ложно – 0;

Тогда: A = 0, B = 1

• Над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания;

Логические операции

Логическое умножение

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» («а», «но») называется операцией логического умножения или конъюнкцией .

Правило истинности

Составное высказывание, образованное в результате логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны входящие в него простые высказывания.

• Обозначение операции логического умножения: &, ^, *;
• Пусть имеется два простых высказывания A и B, составим составное высказывание F с помощью конъюнкции: F = A & B;
• Значение логической функции можно определить с помощь таблицы истинности.

з

Таблица истинности

A

B

0

0

0

F = A & B

1

0

1

0

0

1

1

0

1

Логическое сложение

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией .

Правило истинности

Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

• Обозначение операции логического сложения:  ; + ;
• Пусть имеется два простых высказывания A и B, составим составное высказывание F с помощью дизъюнкции: F = A  B;
• Значение логической функции можно определить с помощь таблицы истинности.

Таблица истинности

A

B

0

0

0

F = A  B

1

0

1

1

0

1

1

1

1

Логическое отрицание

Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией

Правило истинности

Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным, а ложное - истинным.

Обозначение инверсии: ¬ ; ¯

Пусть имеется простое высказывание A, составим составное высказывание F с помощью инверсии: F = ¬ A (F = )

Таблица истинности

A

F =

0

1

1

0

Логическое следование

• Соединение двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…» называется операцией логического следования или импликацией

• Правило истинности

Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда, когда из истинной посылки (высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание)

• Обозначение импликации:  , 
• Формула: F = A  B

• Таблица истинности

A

0

B

F = A  B

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

Логическое равенство

• Соединение двух высказываний в одно помощью оборота речи «тогда и только тогда, когда» называется операцией логического равенства или эквивалентностью

• Правило истинности

Составное высказывание, образованное с помощью операции логического равенства (эквивалентности), истинно только тогда, когда оба высказывания одновременно либо истинны, либо ложны

• Обозначение эквивалентности:  ,  ,
• Формула: F = A  B

• Таблица истинности

A

0

B

0

0

F = A  B

1

1

1

1

0

0

0

1

1

Приоритет действий

• Инверсия
• Конъюнкция
• Дизъюнкция

Составление таблиц истинности

• Число строк = 2 n , где n –число логических переменных;
• Число столбцов = число логических переменных + число логических операций

Законы логики

• Закон тождества : всякое высказывание тождественно самому себе
• Закон непротиворечия : высказывание не может быть одновременно истинным и ложным
• Закон исключения третьего : высказывание может быть либо истинным, либо ложным третьего не дано

Законы логики

• Закон двойного отрицания : если дважды отрицать одно и то же высказывание, то в результате получится исходное высказывание
• Закон коммутативности :

• Закон ассоциативности :

Законы логики

• Закон дистрибутивности:

• Законы Моргана:

• Поглощение 1:
• Поглощение 0:
• Поглощения: