Многовариантное решение заданий ЕГЭ

Многовариантное

решение заданий ЕГЭ

(задания взяты из пособия для самостоятельной подготовки

«Математика. ЕГЭ-2006. Учебно-тренировочные тесты»

под редакцией Ф. Ф. Лысенко, изд. «Легион», 2006

(сокращение: 00-000,

где 00 и 000 соответственно номер варианта и задания)

Ю. Хапий,

учитель информатики

Город Самара, МБОУ СОШ № 10 «Успех»

2012 год городского округа Самара

Содержание (начало)

Задание 01-В01. Найти значение выражения:

Задание 01-В02. Решите уравнение:

Задание 01-В03. Решите уравнение:

Задание 01-В04. Найти значение выражения:

Содержание (конец)

Задание 01-В05. Функция y = f (x) определена на отрезке [-6; 6]. На рисунке изображен ее график. Укажите число промежутков, на которых отрицательна функция y = f ' (x) .

Y

X

Задание 01-В06. Найдите наибольшее значение функции

Задания для самостоятельной работы из ЕГЭ 2010 года.

Задание 01-В01.

Найти значение выражения:

Решение.

Вариант № 1.

Так как

то

следовательно,

Так как

то

Ответ:

Вариант № 2.

Так как

от переменны мест сомножителей произведение не меняется,

то

Так как

то

Так как

то

Задание 01-В02.

Решите уравнение:

Решение.

Вариант № 1.

Так как

то

Так как

то

Так как

логарифм единицы по любому основанию равен нулю

(по определению логарифма

(нулевая степень любого положительного основания

равна единице), следовательно,

то

Так как

то

.

Ответ:

Вариант № 2.

Замечание. При варианте № 2 решения

использовалась операция «потенцирование»

Произведенные преобразования

в двух вариантах решения равносильны,

что не требует проверки полученного результата.

Задание 01-В03.

Решите уравнение:

Решение.

Вариант № 1.

Так как

то

.



Ответ:

Задание 01-В04.

Найти значение выражения:

Решение.

Вариант № 1.

Так как

то

.

Ответ:

Вариант № 2.

Пусть

тогда

Решим систему:

(При решении использовалась теорема Виета:

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется,

т о согласно введенным обозначениям получим:

Аналогично находим:

Следовательно,

Задание 01-В05.

Функция определена на отрезке [-6; 6].

На рисунке изображен ее график.

Укажите число промежутков,

на которых отрицательна функция .

Y

X

Решение.

Вариант № 1.

Из графика заданной функции, показанном на рисунке, следует ее непрерывность на отрезке [-6; 6].

Согласно условию задачи в любой точке отрезка [-6; 6] существует производная функции .

Если дифференцируемая функция ,

убывает на интервале ,

то для любого х 0 из интервала .

Определим по графику заданной функции, показанном на рисунке, количество промежутков, где функция убывает:

]-4; -3[, ]-2; 1[, ]3; 4[, ]5; 6[, таких промежутков – четыре.

Ответ: количество промежутков,

в которых , равно четырем.

Вариант № 2.

Так как убывающая и дифференцируемая на интервале

функция f удовлетворяет условию

то количество промежутков, где функция

убывает - четыре

(]-4; -3[, ]-2; 1[, ]3; 4[, ]5; 6[).

Найдите наибольшее Задание 01-В06.

значение функции

Вариант № 1.

Так как для существования заданной функции

необходимо существование квадратного корня,

входящего в ее выражение,

то значения х ограничены условием: .

Следовательно, наибольшее значение заданной функции будем определять для .

Найдем значения х , при которых :

Найдем значение заданной функции при .

для: х = 0,25 у = - 0,25; х = 1,25 у = 0,75.

Определим поведение функции на промежутке .

Пусть х = 2, тогда следовательно,

заданная функция на промежутке убывает.

Из полученных значений выбираем наибольшее: у = 0,75.

(Возможен другой подход для определения поведения функции на промежутке .

использованы понятия бесконечно

малой и большой функции: k – любое число).

Так как в точке х = 1,25 функция имеет максимум, поскольку

то, начиная с указанной точки,

функция убывает с учетом значения найденного предела.)

Ответ: наибольшее значение функции равно 0,75 при х = 1,25.

Вариант № 2.

Выполним равносильные преобразования для :

Так как то максимальное значение

у достигается при следовательно, х = 1,25.

Находим значение .

Вариант № 3.

Пусть , тогда ,

следовательно, . Или .

Так как то максимальное значение у

достигается , при где t = 2.

Находим значение .

(Рассуждения проведены для .)

Вариант № 4.

Выполним равносильные преобразования для :

Найдем значения х при условии максимального значения у .

Итак, .

Из полученного выражения для х следует, что

Значение для х определим

при условии максимального значения для :

Замечание.

Последние три варианта решения связаны

с преобразованием заданной функции к выражению,

математический анализ которого

позволяет сразу ответить на вопрос задания.

Первый вариант приводит к решению при использовании

правила нахождения наибольшего значения функции

и не требует «математической смекалки».

Задания для самостоятельной работы (начало)

1. Найти корень уравнения .

2. Найти значение выражения .

3. Решите систему уравнений

4. Решите неравенство

.

.

.

5 . Найдите на отрезке наибольшее значение функции

.

Задания для самостоятельной работы (конец)

6. На рисунке изображен

график функции y = f ( x )

и касательная к этому

графику в точке

с абсциссой, равной 3.

Найдите

значение производной

этой функции

в точке х = 3 .

y

1

x

3

0

y = f (x)

.

.

.

.

7. Найдите все значения а , при каждом из которых уравнение

4 х - |3 x - | x + a || = 9| x - 1| имеет хотя бы один корень.