Эволюция систем счисления

Эволюция систем счисления

Определения

Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита , называемых цифрами .

Числа: под числом понимается его величина, а не символьная запись. Например, 123, 1010011, CXL

Цифры – символы, при помощи которых записывается число. Например, 0, 1, 2, … I, V, X, L, …

Алфавит – это набор цифр . {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

{0, 1}

{0, 1 , … , A, B, C, D, E, F}

Унарная система счисления

простейшая и самая древняя

Для записи любых чисел используется всего один символ:

1

|

• |

2

||

• ||

3

|||

• |||

4

||||

• ||||

5

|||||

• |||||

палочка,

узелок,

зарубка.

Этим кодом пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст.

ГРУППЫ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

Аддитивные системы счисления

Используется не одна, а несколько цифр. Они могут изображаться как угодно, но разные цифры должны выглядеть по-разному.

Для того, чтобы прочесть число, нужно было сложить значения всех цифр. Поэтому такие системы назвали аддитивными ( add добавлять, складывать, англ.).

Египетская нумерация

В Египте единицы записывали палочками , а десяток палочек заменяли на изображение пут для коров , десяток пут - одна мерная веревка , и т. д.

1

10

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

10 000 000

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду. Удобств для счета никаких.

Задание:

=1 205

=1 023 029

Нумерация индейцев Майя

20+20+5+5+5+1+1+1+1 = 59;

5+5+5+1 = 16;

20+1+1+1 = 23

Записывались цифры числа в столбик, начиная со знаков , затем знаки , а потом больших значений и заканчивая меньшими.

Сначала эта нумерация обслуживала пятеричную систему счисления, а потом ее приспособили для двадцатеричной.

В старину на Руси применялась система счисления, с помощью которой сборщики податей заполняли квитанции и делали записи в податной тетради.

= 1 232 руб. 24 коп.

Алфавитные аддитивные системы счисления

Римляне

Славяне

Греки

Евреи

Арабы

Сирийцы

Для записи чисел использовалась большая часть алфавита того народа, который использовал эту систему.

Древняя греческая нумерация

В древнейшее время в Греции была распространена аттическая нумерация .

Числа 50, 500, 5000 обозначались комбинациями знаков 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1000.

Числа в пределах первого десятка тысяч записывались так:

Задание:

=7800

=382

Аттическая нумерация была вытеснена у греков более компактной буквенной нумерацией, так называемой ионийской системой .

Первые девять букв обозначали единицы от 1 до 9, следующие девять – десятки от 10 до 90, остальные четыре – сотни от 100 до 400.

Славянская глаголическая нумерация

Была создана для записи чисел в священных книгах западных славян .

Использовалась нечасто, но достаточно долго: с VIII по XIII в.

По организации в точности повторяет греческую нумерацию.

Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, или точки.

Славянская кириллическая нумерация

Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке.

До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию. Запись числа, использованная славянами аддитивная:

Римская система счисления

Цифры обозначаются буквами латинского алфавита. Чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте.

I – 1 (палец),

V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев) ,

X – 10 (две ладони) ,

L – 50,

C – 100 ( Centum ) ,

D – 500 ( Demimille ) ,

M – 1000 ( Mille )

Римская система счисления

Правило :

• не ставят больше трех одинаковых цифр подряд. Комбинация из 4-х одинаковых цифр заменяется комбинацией с правилом вычитания - если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы: 40 = XXXX = XL (50-10)
• не ставят больше трех одинаковых цифр подряд. Комбинация из 4-х одинаковых цифр заменяется комбинацией с правилом вычитания - если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы: 40 = XXXX = XL (50-10)

Примеры :

MDC X L I V =

– 1

= 1 644

+ 5

+ 50

– 10

+ 100

+ 500

1000

2389 = 2000 + 300 + 80 + 9

M M

CCC

LXXX

IX

2389 = M M C C C L X X X I X

Римская система счисления

Примеры:

Число 32 в римской системе счисления имеет вид:

XXXII = (X+X+X)+(I+I)= 30+2

Число 444 (в десятичной записи 3 одинаковые цифры), в римской системе счисления будет записано в виде:

CDXLIV = 400+40+4 = (D-C)+(L-X)+(V-I)

Число 1974 в римской системе счисления имеет вид:

MCMLXXIV= 1000+900+50+20+4 = M+(M-C)+L+(X+X)+( I V)

3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M ) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? для записи больших чисел ( 3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M ) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? Где используется : номера глав в книгах: обозначение веков: « Пираты XX века» циферблат часов номера глав в книгах: обозначение веков: « Пираты XX века» циферблат часов" width="640"

Римская система счисления

Недостатки :

• для записи больших чисел ( 3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M ) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =?
• для записи больших чисел ( 3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M )
• как записать дробные числа?
• как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =?

Где используется :

• номера глав в книгах: обозначение веков: « Пираты XX века» циферблат часов
• номера глав в книгах:
• обозначение веков: « Пираты XX века»
• циферблат часов

Задание : запишите числа в римской системе счисления

3768 =

МММ DCCLXVIII

2983 =

ММ CMIICIII

1452 =

М CDLII

1999 =

М CMXCIX

Задания:

• Запишите в десятичной системе счисления римские числа:

• XI X; 2) L X ; 3) C X L; 4) C D LX IX;

5) CMXLVI; 6) CCMLXXX; 7) MDCXLVIII ; 8) MMCXC .

2. Запишите в римской системе счисления:

• 13 ; 2) 99 ; 3) 666 ; 4) 444 ; 5) 1692 ;

6) 146; 7) 301; 8) 959; 9) 2078; 10) 699.

• 1 9 ; 2) 60 ; 3) 140 ; 4) 4 6 9 ;

5) 946; 6) 880; 7) 1648 ; 8) 2190 .

1) XIII; 2) XCIX; 3) DCLXVI; 4) CDXLIV; 5) MDCXCII ;

6) CIVVI; 7) CCDI; 8) CMLIX; 9) MMLXXVIII; 10) DCXCIX.

3) Выполните действия и запишите результат в римской системе счисления:

1) XXII – V; 2) CV – LII; 3) XCIX + XIX; 4) MCM + VIII;

5) XX : V; 6) X * IV; 7) LXVI : XI ; 8) XXIV * VII.

1) 17=XVII; 2) 53=LIII; 3) 118=CXVIII; 4) 1908=MCMVIII; 5) 4=IV; 6) 40=LX; 7) 6=V1; 8) 168=CLXVIII.

3. Какие десятичные числа записаны с помощью римских цифр? Выделите разряды:

1) MMM CC D XXXIII; 2) DCCLXX V II; 3) DC IX ; 4) MCMXCVI ; 5) MMII; 6) MMCCDXIII; 7) XLVII; 8) CCMVIII .

1) 3 333 ; 2) 777 ; 3) 60 9; 4) 1996 ; 5) 2002; 6) 2313; 7) 47; 8) 808 .

Мультипликативные системы счисления

Для записи чисел используется определенное количество цифр, которые могут принимать разные значения в зависимости от расположения в записи числа. Такие системы счисления были только у народов с очень хорошо развитой математикой.

Чтобы "собрать« число используется умножение ( multiplication англ.). Например, запись числа 1999 означает:

1 • 1000 + 9 • 100 + 9 • 10 + 9.

Такая система счисления годится для записи чисел, и она очень удобна для счета.

Китайская нумерация

Эта нумерация использовала те же принципы, что и современная арабская, которой мы пользуемся.

Возникла в Китае около 4 000 лет назад.

Задание:

=2425

Вавилонская нумерация

Цифры имели клинообразный вид - писали на глиняных табличках палочками треугольной формы.

единица

десяток

пробел

разделение разрядов

нуль

Таким образом, в древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась позиционная нумерация.

Ту роль, которую у нас играет число 10, в вавилонской нумерации играет число 60. Эту нумерацию называют шестидесятиричной .

Арабская нумерация

Арабские цифры сложились в Индии около 400 г. Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г., а примерно в 1200 г. ее начали применять в Европе, где арабские цифры стали известны благодаря трудам арабских математиков, и потому за ними утвердилось название «арабские»

Арабская нумерация вначале была буквенной. Традиционные арабские цифры являются видоизменёнными начертаниями индийских цифр, приспособленными к арабскому письму.

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000. С их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак - жирная точка для указания пустующего разряда. И нумерация "Деванагари" превратилась в поместную десятичную систему.

Арабская нумерация

Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграла книга «Об индийском счёте», написанная в начале IX века Мухаммедом Ал Хорезми.

В XII веке эта книга была переведена на латинский язык и сыграла очень большую роль в развитии европейской арифметики и внедрении индо-арабских цифр.

Из арабского языка заимствовано и слово «цифра» (по-арабски "сыфр"), означающее буквально « пустое место ». Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто).

В России до конца XVII века сохранялась славянская нумерация. При Петре I возобладала так называемая "арабская нумерация".

Леонардо Пизанский

Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке.

Начало использования арабских цифр в Европе было положено итальянским математиком средневековой Европы Леона́рдо Пиза́нски м , известным как Фибоначчи . Он долгое время жил на Востоке, где и познакомился с математикой арабов.

Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака», которая содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени,

По этой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления.

(Арабская система)

Какими цифрами вы привыкли записывать числа?

0, 1, 2, … , 123, …

I, II, III, IV, V, ... , XX, ...

(Римская система)

Чем отличается принцип записи многозначных чисел римскими и a рабскими цифрами?

десять

десять

три

+

+

триста

десять

+

+

тридцать

=

=

тридцать

триста тридцать три

В римском способе записи чисел значение, которое несет каждая цифра в числе, не зависит от позиции той цифры.

В арабском способе значение, которое несет каждая цифра в записи числа, зависит не только от того, какая это цифра, но и от позиции, которую она занимает в числе.

Системы счисления

Позиционные

Непозиционные

от положения цифры

в записи числа зависит

величина, которую

она обозначает.

от положения цифры

в записи числа не зависит

величина, которую

она обозначает.

Какие еще единицы измерения вы знаете?

Деньги:

доллары

центы

рубли

Время:

часы

минуты

секунды

Вес:

килограммы

граммы

фунты

Чем отличаются все эти системы счисления?

Алфавитом — множеством используемых цифр для изображения числа.

Размер алфавита (число цифр в алфавите) называется основанием системы счисления.

Задание: Переведите 125 минут в часы.

125 / 60=2 целых часа + 1 /12 часа

Какие правила вы при этом использовали?

1 час = 60 минут

Следовательно, основание данной системы счисления равно 60.

Ответ: 2 часа 5 минут

Почему арабская система называется десятичной системой счисления?

Ее основание равно 10.

Примеры чисел в различных системах счисления

Двоичная система счисления

Десятеричная система счисления

Восьмеричная система счисления

Пример

1011

1706

9071

2

8

10

Алфавит

0,1

0,1,2,3,4,5,6,7

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Основание

8

2

10

Позиционные системы счисления

В повседневной жизни наиболее употребима десятичная система счисления.

Другие позиционные системы:

• двоичная , восьмеричная , шестнадцатеричная (информатика) двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) двадцатеричная (1 франк = 20 су) шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)
• двоичная , восьмеричная , шестнадцатеричная (информатика)
• двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
• двадцатеричная (1 франк = 20 су)
• шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или "вес" каждого разряда.

Например: базисы некоторых позиционных систем счисления.

Десятичная система: 10 0 , 10 1 , 10 2 , 10 3 , 10 4 , ..., 10 n , ...

Двоичная система: 20, 21, 22, 23, 24, ..., 2n, ...

Восьмеричная система: 80, 81, 82, 83, 84, ..., 8n, ...

Положение, занимаемой цифрой при письменном обозначении числа называется разрядом .

сотни десятки единицы

разряды

2 1 0

3 7 8

= 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 8 · 10 0

300

70

8

Основание десятичной системы счисления показывает, что каждые десять единиц образуют один десяток, десять десятков образуют одну сотню, десять сотен образуют одну тысячу и т.д.

В общем случае, каждые десять единиц любого разряда образуют одну единицу соседнего, более старшего разряда.

36

Восьмеричная система счисления

Шведский король Карл XII в 1717 году считал восьмеричную систему более удобной, чем десятичная, и намеревался королевским указом ввести её как общегосударственную. Только неожиданная смерть помешала осуществлению столь необычного намерения.

Восьмеричная система счисления широко использовалась в программировании в 1950-70-е гг. К настоящему времени практически полностью вытеснена шестнадцатеричной системой счисления, однако функции перевода числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно сохраняются в микрокалькуляторах и многих языках программирования.

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров.

В некоторых языках сохранились и следы использования этой системы счисления в прошлом.

Например, в романских языках (испанском, французском и др.) числительные от 11 до 16 образуются по одному правилу, а от 17 до 19 – по другому.

В русском языке известен пуд, равный 16 килограммам.

Формы представления числа в позиционной системе счисления

Развёрнутая

Свёрнутая

4000 + 200 + 30 + 7

4 2 3 7

=

a 3 a 2 a 1 a 0

=4*10 3 +2*10 2 +3*10 1 +7*10 0

X р = a n P n + a n-1 P n-1 + … + a 1 P 1 + a 0 Р 0

X p = a n …a 1 a 0

Например: 3572 9 = 3 * 9 3 + 5 * 9 2 + 7 * 9 1 + 2 * 9 0

Свёрнутая форма

Развёрнутая форма

Где А -само число, q -основание системы счисления, а -цифры данной системы счисления, n -число разрядов целой части числа, m -число разрядов дробной части числа.

Пример:

=

32478

единицы

десятки

сотни

тысячи

Пример:

Задание: представьте в развернутой форме

(555,55) 6

=5*6 2 +5*6 1 +5 *6 0 +5 *6 -1 +5*6 -2

(202,01) 3

=2*3 2 +0*3 1 +2*3 0 +0*3 -1 +1*3 -2

(1100,110) 2

=1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +0*2 0 +

+1*2 -1 +1*2 -2 +0*2 -3

Задача

Существует ли система счисления, в которой 8 + 1 = 10 и

3 • 4 = 13?

Решение

Ответ :

Такое соотношение выполняется

в 9-ричной системе счисления.

Если основание системы счисления р р десятичных цифр.

Например, в пятеричной системе счисления будут использоваться 5 цифр: 0,1,2,3,4.

Для 10р

Например, в шестнадцатеричной системе счисления будут использоваться буквы A,B,C,D,E,F .

Для систем счисления с основаниями большими 36 единых правил для формы записи цифр не существует.

10 8 8 10

Задание: 1) запишите в развёрнутой форме

3 * 9 3 + 5 * 9 2 + 7 * 9 1 + 2 * 9 0

3572 9 =

10110 2 =

1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0

251 7 =

2 * 7 2 + 5 * 7 1 + 1 * 7 0

2) Запишите наибольшее двузначное число в восьмеричной, пятеричной, троичной системах счисления. Определите десятичные эквиваленты этих чисел.

77 8 = 63 10

44 5 = 24 10

22 3 = 8 10

3) Сравните числа: 5 10 и 10 5 , 1000 2 и 10 6 , 8 10 и 100 4

5 10 = 10 5

1000 2 10 8

8 10

4 ) Какое число следует за 111 2 , 37 8 , FF 16 ?

40 8

1000 2

10 0 16

5 ) Какое число предшествует числу 10 8 , 1010 2 , A10 16 ?

7 8

100 1 2

A0F 16

6) В какой системе счисления 21 + 24 = 100?

1x 2 + 0x 1 + 0x 0 = 2x 1 +1x 0 + 2x 1 + 4x 0 .

x 2 = 2x + 2x + 5 или x 2 - 4x - 5 = 0.

x = 5 – в пятеричной системе счисления

6) Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.

2x 2 + x + 4 =59

2x 2 + x – 55 = 0

х = 5 – основание 5

Урок окончен

Спасибо за внимание!