"Объем цилиндра, конуса, усеченого конуса, шара, частей,шара"

Сабақ / Занятие № 30

Сабақ жоспары/ план занятия

Пән/ Дисциплина: Математика

Сабақ тақырыбы/ Тема урока

Объем цилиндра, конуса, усеченого конуса, шара, частей,шара.

Сабақ мақсаты/ Цели занятия

1. Білімділік/Образовательная:

- дать понятие объема тела. Доказать теорему об объеме призмы, пирамиды, усеченной пирамиды.

2. Дамытушылық/Развивающая:

– научиться решать задачи путем применения полученных знаний по данной теме

3. Тәрбиелік / Воспитательная:

- воспитание познавательного интереса к математике, к истории ее развития.

Сабақ типі/ Тип занятия.

Изучение новой темы.

Құрал-жабдықтар, көрнекі -кұралдар/ Оборудования, наглядные пособия:

Лекционный материал. Учебный материал, уч. Пособие «Геометрия» А.В. Погорелов

Әдіс-тәсілдер/ Методы : Словесный, наглядный

Пән аралық байланыс/ Межпредметные связи: Стеометрия, черчение.

Сабақ барысы/Ход занятия

Сабақ кезеңдері /Этапы занятия

I.Ұйымдастыру-мақсаттық кезеңі/ организационно-целевой этап:

• проверка посещаемости, готовности к занятию

• отметка отсутствующих

• проверка наличия оснащения

• ознакомить студентов с темой и целями занятия

II.Үй тапсырмасытексеру /Этапы проверки домашнего задания:

Уч. Пособие «Геометрия» А.В. Погорелов стр.351№28,41

III. Жаңа білімді меңгеру кезеңі /Этапы усвоения новых знаний

Лекция № 30

План

1. Объем цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара, частей шара.

2. Решение задач.

IV. Жаңа білімді бекіту кезеңі /Этап закрепления новых знаний:

V. Үй тапсырмасы бойынша мәлімет беру кезеңі/ Этап информации о домашнем задании:

Уч. Пособие «Геометрия» А.В. Погорелов стр.361№7

Решение задач по лекции. Тесты.

VI. Рефлексивті бағалау кезеңі, сабақты қорытындылау/рефлексивно-оценочный этап: подведение итогов урока.

Лекция № 30

Тема:Объем тела. Объем призмы, пирамиды, усеченной пиромиды.

План

1. Объем цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара, частей шара.

2. Решение задач.

Каждому многограннику Ф требуется поставить в соответствие определенную положительную величину V, называемую объемом, так, чтобы выполнялись следующие свойства:

1. единицей измерения объемов является объем куба, длина которого принята за единицу измерения длин;

2. конгруэнтные многогранники имеют равные объемы;

3. если многогранник является объединением нескольких многогранников, любые два из которых не имеют общих внутренних точек, то объем данного многогранника равен сумме объемов всех таких многогранников.

4. высоту призмы.

Задача. Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра равна S. Вычислите объем цилиндра.

Дано: АВА₁В₁ – равносторонний цилиндр. S АВА₁В₁=S.

Вычислить: V=.

Решение: Так как цилиндр равносторонний, то осевое сечение АВА1В1 – квадрат, площадь которого S, значит его сторона равна , радиус цилиндра будет равен /2.

Следовательно объем равен: V= (см³).

Задача 3. Прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим углом вращения  вращается вокруг гипотенузы. Найдите объем тело вращения.

Дано: SBS1 – прямоугольный. BSS1=, |SB|=a.

Найти: V – объем тела вращения.

Решение: 1) Так как SBО – прямоугольный, то |OB|=asіn; |SO|=acos.

2) Рассмотрим SS1B – прямоугольный (по условию), значит |S₁B|=atg. Из OBS₁ найдем |OS₁|=|S₁B|2-|OB|2 по теореме Пифагора.

3)

V=V1+V2=

(см3).

Ответ: (см³).

Если тело простое, т.е. допускает разбиение на

объем равен сумме объемов этих пирамид. Для произвольного тела объем определяется следующим образом.

Данное тело имеет объем V, если существуют содержащие его простые тела и содержащиеся в нем простые тела с объемами, сколь угодно мало отличающиеся от V.

Применим это определение к нахождению объема цилиндра с радиусом основания R и высотой Н.

Пусть Р – многоугольник, содержащий круг, Р1 – многоугольник, содержащийся в круге. Построим две прямые призмы с основаниями Р и Р1 и высотой Н, равной высоте цилиндра.

Призма Р содержит цилиндр, а Р1- содержится в цилиндре. Т.к. при неограниченном увеличении n – площади оснований призм неограниченно приближаются к площади основания цилиндра, то их объемы неограниченно приближаются к SH. Согласно определению объем цилиндра: . Итак, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объем конуса.

Построим два многоугольника в плоскости основания конуса: многоугольник Р, содержащий основание конуса и многоугольник Р1, содержащийся в основании конуса. Построим две пирамиды с основаниями Р и Р1 и вершиной в вершине конуса. Первая пирамида

содержит конус, а вторая пирамида содержится в конусе.

Существуют такие многоугольники Р и Р1, площади которых при неограниченном увеличении числа их сторон n неограниченно приближаются к площади круга в основании конуса. Для таких многоугольников объемы построенных пирамид неограниченно приближаются к , где S – площадь основания конуса, а Н – его высота. Согласно определению отсюда следует, что объем конуса: . Объем усеченного конуса равен: . Объем шара равен: и объем шарового сегмента: , объем шарового сектора: .

Определение. Телом вращения в простейшем случае называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения) пересекается по кругам с центрами на этой прямой.

Рассмотрим тело вращения, полученное вращением вокруг оси ОХ абсцисс криволинейной трапеции, которая соответствует неотрицательной непрерывной функции y=f(x), x∈[a,b] (рис.1). Очевидно, что сечение этого тела плоскостью, проходящей через точку с абсциссой x∈[a,b] и перпендикулярной оси ОХ, есть круг радиуса f(x). Следовательно, , а объем рассматриваемого тела вращения вычисляется по формуле: (1).

Теорема 1. Объем шара радиуса R вычисляется по формуле: (2). Доказательство.

Шар является телом вращения. Он получается вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, соответствующей функции , х∈[-R, R]. следовательно, по формуле (1) получим:

Теорема 2. Объем шарового слоя, радиусы оснований которого равны r1 и r2, а высота равна Н, вычисляется по формуле: (3).

  Цилиндр (рис. 1.18) 

     Объем: 

     Конус (рис. 1.19) 
     Объем: 
     Усеченный конус (рис. 1.20) 
     

     Шар (рис. 1.21) 
     Объем: 

     Объем шарового сегмента: 

     Объем шарового сектора: 

Пример 1.В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали? Решение.Так как уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза, то и объем увеличился в 1,5 раза, т.е. стал равен 9. Следовательно, объем детали равен 9 - 6 = 3.Ответ: 3.

Пример 2.Плоскости, параллельные основанию цилиндра, разбили его на три цилиндра, объемы которых относятся как 1:2:3. Определить, в каком отношении эти плоскости разделили площадь боковой поверхности этого цилиндра.Решение.V = R²H — объем цилиндра, S_б = 2RH — площадь боковой поверхности цилиндра. Заметим, что и объем, и площадь линейно зависят от высоты цилиндра H., следовательно, объемы цилиндров, имеющих одинаковые радиусы, относятся, как 1:2:3. Поэтому и площади боковых поверхностей этих цилиндров относятся как 1:2:3. Ответ: 1:2:3.

Пример 3.Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и образует с плоскостью нижнего основания угол 45°. Найти объём цилиндра.Решение.Так как угол между диагональю и высотой тоже равен 45°(180 - 90 - 45 ), то АВС равнобедренный и высота цилиндра равна его диаметру.По теореме Пифагора: d2 + d2 = 122 ; 2d2 = 144; d2 = 72; d = 6 = H, r = 3.Тогда объем цилиндра V = R2H; V = (3)26 = 108.Ответ: 108.

Пример 4.Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 4. Вычислить объем цилиндра.Решение.Пусть сторона квадрата a. По теореме Пифагора: a2 + a2 = (4)2 ; 2a2 = 32; a2 = 16; a = 4.Тогда R = 2, H = 4. Объем цилиндра: V = R2H;  V = 224 = 16.Ответ: 16.

Пример 5.Какой из цилиндров с объемом 128 см3 имеет наименьшую полную поверхность?Решение.Формула нахождения объема цилиндра V = r²hПодставим значение объема цилиндра в формулу: r² h = 128; r²h = 128; h = 128 / r² Подставим значение высоты цилиндра в полученную формулу площади полной поверхности цилиндра:Sпп =2r² + 2rhSпп = 2r² + 2r·128 / r²Sпп = 2r² + 256 / rПредставим полученную формулу как функцию площади поверхности цилиндра от радиуса S(r) = f(r) . Минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума данной функции. Для нахождения экстремума дифференцируем полученную функцию: f(r) = 2r² + 256 / r .f '(r) = 4r - 256 / r²В точке экстремума производная функции равна нулю: f '(r)= 0.4r - 256 / r² = 0;4(r3 - 64) / r² = 0;4(r - 4)(r²+ 4r + 16) / r2 = 0;f’ = 4(r - 4)(r2+ r + 16) / r2f’ = 0 при r = 4.Тогда h = 128 / r2;h = 128 / 16 = 8.Ответ: минимальная площадь цилиндра будет достигнута при h = 8 см, r = 4 см.

Конус

Пример 6.Объем конуса равен 27. На высоте конуса лежит точка и делит её в отношении 2:1 считая от вершины. Через точку проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.Решение.Треугольники AOB и COD подобны. Из условия задачи определим коэффициент подобия как k =2 / 3.Объем конуса: Vк = R²h / 3 = 27 (по условию), R²h = 81.Объем малого конуса: Vмк = (2 / 3R)2(2 / 3h) / 3;Vмк = R2h·4 / 9·2 / 9; Vмк = R2h·8 / 81= 81·8 / 81 = 8.Ответ: 8.

Пример 7.Объем цилиндра равен 48 см3. Найти объем конуса, радиус основания которого равен радиусу основания цилиндра, а высота вдвое меньше высоты цилиндра.Решение.Учитывая h= H / 2, объем конуса: Vк = R²h / 3 = R2H / 6.Подставим в формулу объема конуса значение объема цилиндра: Vц = R2H = 48.Получим: Vк =48/6 = 8 см3.Ответ: 8.

Шар

Пример 8.Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.Решение.Площади поверхностей данных шаров равны 4 · 36 и 4 · 64. Их сумма равна 4 · 100. Следовательно, радиус шара, площадь поверхности которого равна этой сумме, равен 10.Ответ: 10.

Пример 9.Найти объем шарового сектора, если радиус окружности его основания r = 60 см, а радиус шара R = 75 см.Решение.V = Vсегм + Vкон = h2(R – h / 3) + r2(R - h)/3.Рассмотрим осевое сечение шара. В прямоугольном ОВК: ОВ = ОС = 75 см, КВ = 60 см. По теореме Пифагора:  см.Высота шарового сегментаСК = СО - ОК = 75 – 45 = 30 см.Объем шарового сектора:V = 302(75 – 30 / 3) + 602(75 – 30) / 3; V= 58500 + 54000 = 112500 см3.Ответ: 112500 см3.

Пример 10.Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найти диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г/см3).Решение.Плотность  = 7,2 г/см3 = 7200 кг/м3. Объем шара:V = m /  = 10 / 7200 = 1 / 720 (м3). С другой стороны объем шара V = 4R3 / 3 илиV = 4d3 / 6.Тогда Ответ: 0,14.

Пример 11.Площади поверхностей двух шаров относятся как m:n. Как относятся их объемы?Решение. Площадь поверхности шара и объем находят по формулам:Sб = 4R2; V = 4R³ / 3.Тогда, если S1 : S2 = 4R12 : 4R22 = m:n, то Ответ: (m:n)3/2 .

Комбинации тел

Пример 12.В цилиндр вписаны шар и конус, причём высота цилиндра равна диаметру его основания. Найти отношение объёма конуса:

а) к объёму шара,б) к объёму цилиндра.

Решение.

Найти: а) Vкон : Vш -?б) Vкон : Vц -?

Формулы объема конуса, шара и цилиндра: Vкон = R²h / 3; Vш = 4R³/ 3 ; Vц = R²H.Высоты цилиндра и конуса равны диаметру шара: h = 2R.Vкон = R²h / 3 = R²2R / 3 = 2R³/3Vц = R²h = R²2R = 2R³Тогда Vкон : Vш =2R³ / 3 : 4R³ / 3 = 2/4 = ½ Vкон : Vц = 2R³ / 3 : 2R³ = 1/3.

Ответ: а) 1/2, б) 1/3.