Анализ решения 14 задачи по математике(профиль)

МБОУ Трыковская СОШ

ПРОЕКТ

учащихся 10-11 классов

по теме «Анализ решения геометрической задачи №14.

ЕГЭ математика (профиль).»

Выполнили: Коваленко Киррил,

Панкратова Мария,

Артюхов Алексей,

Карцова Наталья,

Стариков Александр.

Учитель математики

Жилина Оксана Леонидовна

2015-2016

Задачи 14 из ЕГЭ . Какие же это задачи?

Мы бы хотели показать разбор элемента задач типа 14 двумя методами: вычислительно-аналитическим и векторно-координатным.

1. Задача на нахождение угла между двумя скрещивающимися прямыми.

• Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.

• 0˚ ∠(a;b)≤ 90˚ .

• Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

• Две прямые называются перпендикулярными,

если угол между ними равен 90˚ .

• Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

• При нахождении угла между прямыми используют:

1) формулу cosφ= для нахождения углаφмежду прямыми m и l , если стороны а и b треугольника АВС соответственно параллельны этим прямым;

1. Формулу cosφ= или в координатной форме

cosφ =

для нахождения угла φмежду прямыми m и l , если векторы (х₁;у₁;z₁) и (х₂;у₂;z₂) параллельны соответственно этим прямым; в частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы = 0 или x₁·x₂ + y₁·y₂+z₁·z₂ = 0.

Пример.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁найдите угол между прямыми A₁D и D₁E, где Е – середина ребра CC₁.

Решение.

1-й способ.

Пусть F – середина ребра ВВ₁, а –ребро куба, φ- искомый угол.

Так как A₁ F ǁD₁ E , то φ- угол при вершине A₁в треугольнике A₁FD.

Из треугольника BFD имеем

FD²= BD²+ BF²= 2a² + = ,

а из треугольника A₁B₁F получаем

A₁F²= A₁B₁²+ B₁F²= a²+ = , откуда

A₁F =

Далее в треугольнике A₁FD используем теорему косинусов

FD² = A₁D²+ A₁F²–2A₁D·A₁F cosφ,

=2а² + - 2 · ·cosφ, откуда

cosφ = иφ = arccos .

Ответ: arccos .

2-й способ.

Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке.

Не нарушая общности задачи, обозначим длину ребра куба а.

Тогда А₁(0; а; а), D(а; а; 0), D₁(а; а; а),

Е(а; 0; ).

Найдём координаты направляющих векторов прямых A₁D и D₁E

= , = .

Тогда

сosφ = = = .

cosφ = и φ = arccos .

Ответ: arccos .

2) Задача на нахождение угла между прямой и плоскостью.

• Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

• 0˚ ∠(a;α )

• Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90˚ .

• Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным 0˚ .

Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить:

1) если этот угол удается включить в прямоугольный треугольник в качестве одного из острых углов;

2) по формуле sinφ = или в координатной форме

sinφ = , где

(x₁; y₁; z₁)- вектор нормали плоскости α,

(x₂;y₂; z₂)- направляющий вектор прямой l;

• прямая l и плоскость α параллельны тогда и только тогда, когда

x₁ x₂+ y₁ y₂+ z₁ z₂= 0.

Пример.

В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁точка Е – середина ребра A₁ В₁. Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью ВDD₁.

Решение.

1-й способ.

Угол между прямой АЕ и плоскостью ВDD₁будем искать как угол между данной плоскостью и прямой DЕ₁, параллельной прямой АЕ.

Из точки Е₁ опустим перпендикуляр Е₁Е₂ на прямую В₁D₁.

Искомый угол – это угол между прямыми DE₂ и DE₁.

Пусть сторона куба равна а.

А₁С₁ = а .

Е₁Е₂ = · А₁С₁ = ·а = .

DE₁ = = .

= = : = = = .

Ответ: .

2-й способ.

Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке.

Не нарушая общности задачи, обозначим длину ребра куба а.

За вектор нормали плоскости ВDD₁ возьмем вектор

Найдём координаты нужных точек.

А(0; 0; 0), Е(0; ; а), С(а; а; 0).

Тогда = , = .

sin φ = = = .

Ответ: .

3) Задача на нахождение угла между двумя плоскостями.

• Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

• Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0˚ ;180˚ ).

•Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0˚ ;90˚ ].

• Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚ .

Угол между пересекающимися плоскостями можно вычислить:

1) как угол между прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения;

2) как угол треугольника, если удается включить линейный угол в некоторый треугольник;

3) как угол между перпендикулярными им прямыми;

4) по формуле

или в координатной форме

где (

Пример.

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁- прямоугольник ABCD, в котором АВ = 12, AD = . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD₁, если расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно 5.

Решение.

1-й способ.

Решение этой задачи вычислительно-аналитическим методом очень громоздкое и сложное, даже выполнить чертеж к этой задаче крайне сложно, поэтому я его не привела, а методом координат эта задача решается легко и просто.

2-й способ.

Легко видеть, что этот угол равен углу между нормалями к этим плоскостям.

Вектор – вектор нормали плоскости основания.

А вектором нормали плоскости, проходящей через середину ребра АD перпендикулярно прямой ВD₁ будет вектор .

Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке.

Найдём координаты нужных точек, т.е. точек А, А₁, В, D₁.

А (0; 0; 0), А₁(0; 0; 5), В(0; 12; 0),

D₁( ; 0; 5).

Тогда = , = .

= = =

= = .

Ответ: .

Заключение.

Прорешав множество задач типа 14 из литературы, для подготовки к Единому Государственному Экзамену, мы выяснили, что стереометрические задачи на нахождение углов в пространстве можно разделить на три группы:

1. это задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми,

2. задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью и

3. на нахождение угла между двумя плоскостями.

Так как, я считаю, что векторно-координатный метод является более рациональным, то я сформулировала алгоритмы решения стереометрических задач данным методом по озвученной теме.

Алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми:

1) мы ввели прямоугольную систему координат,

2) нашли координаты нужных точек,

3) затем нашли координаты направляющих векторов прямых и

4) вычислили косинус угла между ними.

Следующий алгоритм несущественно отличается от предыдущего.

Алгоритм нахождения угла между прямой и плоскостью.

Третьим шагом мы должны ввести нормальный вектор к плоскости и найти его координаты, а затем вычислить синус искомого угла. Он равен косинусу угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости.

При решении задачи на нахождение угла между двумя плоскостями, необходимо найти координаты нормальных векторов к заданным плоскостям и вычислить по формуле модуль косинуса угла между этими векторами.

Введение системы координат

Метод координат — это, конечно, очень хорошо, но в задачах № 14 никаких координат и векторов нет. Поэтому их придется вводить. Да-да, вот так взять и ввести: указать начало отсчета, единичный отрезок и направление осей x, y и z.

Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

Тем не менее, приведем некоторые рекомендации, как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся в задаче на решение многогранников. С указанием конкретных точек. Во всех случаях упор делается на минимизацию объема вычислений.

Координаты куба

Если в задаче  будет куб — считайте, что вам повезло. Это самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.

Система координат также вводится очень просто:

1. Начало координат — в точке A;

2. Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок;

3. Ось x направляем по ребру AB, y — по ребру AD, а ось z — по ребру AA₁.

Обратите внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это несколько непривычно, но на самом деле очень логично.

Итак, теперь у каждой вершины куба есть координаты. Соберем их в таблицу — отдельно для нижней плоскости куба:

Точка	A	B	C	D
Координаты	(0; 0; 0)	(1; 0; 0)	(1; 1; 0)	(0; 1; 0)

И для верхней:

Точка	A1	B1	C1	D1
Координаты	(0; 0; 1)	(1; 0; 1)	(1; 1; 1)	(0; 1; 1)

Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются соответствующих точек нижней только координатой z. Например, B = (1; 0; 0), B₁ = (1; 0; 1). Главное — не запутаться!

Координаты трехгранной призмы

Призма — это уже намного веселее. При правильном подходе достаточно знать координаты только нижнего основания — верхнее будет считаться автоматически.

В задачах  встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система координат вводится почти так же, как и для куба. Кстати, если кто не в курсе, куб — это тоже призма, только четырехгранная.

Вводим систему координат:

1. Начало координат — в точке A;

2. Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;

3. Ось x направляем по ребру AB, z — по ребру AA₁, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Здесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, как многие считают. А почему не совпадает? Подумайте сами: треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:

Надеюсь, теперь понятно, почему ось y не пойдет вдоль AC. Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH — прямоугольный, причем AC = 1, поэтому AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.

Теперь взглянем на всю призму вместе с построенной системой координат:

Получаем следующие координаты точек:

Как видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема — это точки C и C₁. У них есть иррациональные координаты, которые надо просто запомнить. Ну, или понять, откуда они возникают.

Координаты шестигранной призмы

Шестигранная призма — это «клонированная» трехгранная. Можно понять, как это происходит, если взглянуть на нижнее основание — обозначим его ABCDEF. Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF. Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например, треугольник ABO) является частью основания для трехгранной призмы.

Теперь введем собственно систему координат. Начало координат — точку O — поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет вдоль FC, а ось y — через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:

Обратите внимание: начало координат НЕ совпадает ни одной  вершиной многогранника! На самом деле, при решении настоящих задач вы обнаружите, что это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений.

Осталось добавить ось z. По традиции, проводим ее перпендикулярно плоскости OXY и направляем вертикально вверх. Получим итоговую картинку:

Запишем теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:

Координаты верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:

Координаты четырехугольной пирамиды

Пирамида — это вообще очень сурово. Мы разберем только самый простой случай — правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны единице. Однако в настоящих задачах  длины ребер могут отличаться, поэтому ниже приведена и общая схема вычисления координат.

Итак, правильная четырехугольная пирамида. Это такая же, как у Хеопса, только чуть поменьше. Обозначим ее SABCD, где S — вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z — вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH — вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH — высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Собственно, длина отрезка SH — это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно, SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Вот и все с координатами пирамиды. Но не с координатами вообще. Мы рассмотрели лишь самые распространенные многогранники, однако этих примеров достаточно, чтобы самостоятельно вычислить координаты любых других фигур. Поэтому можно приступать, собственно, к методам решения конкретных экзаменационных задач .

Желаем удачи!!!