Решение треугольников в системе GeoGebra

Содержание

Введение 3

Использование системы GeoGebra 5

Интерфейс GeoGebra 6

Создание треугольника в GeoGebra 7

Задачи на решение треугольников в системе GeoGebra 9

Построить окружность, описанную около треугольника 9

Решение геометрических задач из школьного курса с помощью GeoGebra 12

Заключение 18

Список использованных источников 19

Введение

В настоящее время существует несколько десятков программных сред для работы с математическими объектами. Все они отличаются только деталями. В России наиболее известными такими средами являются Живая математика, Математический конструктор, GEONExT, GeoGebra. Две последние среды являются свободно распространяемыми программными продуктами, что способствует их широкому использованию пользователями. Особую популярность сегодня имеет программа GeoGebra. GeoGebrа – это программная среда, которая дает возможность создавать динамические («живые») чертежи для использования в обучении геометрии, алгебры, физики и других смежных дисциплинах. Основная идея данной программной среды заключается в интерактивном сочетании геометрического, алгебраического и числового представления.

GeoGebra была создана Маркусом Хохенвартером. Программа написана на языке Java, приложение поддерживает работу в различных операционных системах: Windows, Mac OS X, Linux, Android. Переведена на 39 языков и полностью поддерживает русский язык.

Программу GeoGebra широко используют в мире миллионы пользователей для обучения алгебре и геометрии. Процесс обучения нагляден благодаря визуальной форме использования приложения.

Приложение включает в себя геометрию, алгебру, есть возможность совершать арифметические операции, создавать таблицы, графики, возможна работа со статистикой, работа с функциями, поддерживается создание анимации и т. д. В программе GeoGebra можно создавать различные 2D и 3D фигуры, интерактивные ролики, которые затем можно будет размещать в интернете.

Все приложения, входящие в состав программы GeoGebra, доступны и синхронизируются между собой для работы в составе одного пакета.

У программы GeoGebra имеется онлайн версия: Geogebra online (ГеоГебра онлайн). После перехода на сайт www.geogebra.org, вы можете открыть программу GeoGebra в своем браузере для выполнения необходимых действий. Таким образом, даже не устанавливая программу GeoGebra на свой компьютер, при наличии интернета, вы можете работать в этой математической программе, войдя на онлайн сервис со своего мобильного устройства.

Использование системы GeoGebra

Систему можно использовать для построения линий:

• построение графиков функций y = f (x);

• построение конических сечений;

• коника произвольного вида — по пяти точкам.

• окружность по центру и точке на ней, по центру и радиусу, по трем точкам;

• эллипс – по двум фокусам и точке на кривой;

• парабола – по фокусу и директрисе;

• гипербола – по двум фокусам и точке на кривой.

В системе предусмотрена возможность построения геометрического места точек, зависящих от положения некоторой другой точки, принадлежащей какой – либо кривой или многоугольнику (инструмент локус).

Кроме графических действий в системе могут быть выполнены вычисления:

• действия с матрицами: сложение, умножение; транспонирование, инвертирование; вычисление определителя;

• вычисления с комплексными числами;

• нахождение точек пересечения кривых;

• статистические функции:

• вычисление математического ожидания, дисперсии;

• вычисление коэффициента корреляции;

• аппроксимация множества точек кривой заданного вида: полином; экспонента; логарифм; синусоида.

Интерфейс GeoGebra

Интерфейс программы GeoGebra (ГеоГебра) напоминает классную доску, на которой можно рисовать графики, создавать геометрические фигуры и т. п. В окне программы будет наглядно отображены производимые изменения: если вы измените уравнение, кривая перестроится, изменится масштаб или ее положение в пространстве, уравнение, написанное рядом с кривой, автоматически будет скорректировано, согласно новым значениям.

1. Полоса меню. Из меню вы можете изменить настройки программы.

2. Панель инструментов. Здесь находятся инструменты для создания объектов. После щелчка по треугольнику в правом нижнем углу кнопки, будут открыты дополнительные инструменты. Операции, доступные в панели инструментов, можно производить с помощью строки ввода.

3. Панель объектов. В Панели объектов отображаются введенные переменные и функции. Вместо имен переменных здесь отображаются их значения. Для того, чтобы увидеть формулу в символьном виде, нужно будет кликнуть по ней правой кнопкой мыши.

4. Кнопки «Отменить» и «Повторить».

5. Строка ввода. Это основной инструмент при работе в программе GeoGebra. Здесь вводятся команды и формулы, задаются значения переменных. Справа от строки ввода расположена кнопка «Список команд». С помощью дополнительных команд можно будет вводить команды и отсутствующие на клавиатуре символы.

6. Рабочая область. Все построения в программе производятся в рабочей области. Вы можете изменить масштаб с помощью колесика мыши, перемещать по рабочей области ось координат.

Создание треугольника в GeoGebra

Попробуем начертить треугольник в программе GeoGebra. Для этого нужно будет перейти в «геометрический» режим для того, чтобы включить отображение сетки, и отключить отображение оси координат.

Кликните правой кнопкой мыши по оси координат, в контекстном меню выберите пункт «Сетка», а затем там кликните по пункту «Оси» для отключения оси координат. На панели инструментов нажмите на кнопку «Многоугольник».

После этого нарисуйте треугольник, последовательно установив три вершины. При необходимости, вы можете ввести точные координаты. Для этого вам нужно будет кликнуть по точке правой кнопкой мыши.

Далее вы можете создать биссектрису угла. Для этого нажмите на треугольную кнопку под кнопкой «Перпендикулярная прямая», а затем выберите из выпадающего списка инструмент «Биссектриса угла». После этого, кликните по двум отрезкам образующих угол, биссектриса будет создана.

Вы можете обозначить угол. Для этого нажмите на кнопку инструмента «Угол» в Панели инструментов. Для отображения интересующего вас угла выберите три точки или две прямые.

Задачи на решение треугольников в системе GeoGebra
Построить окружность, описанную около треугольника

Построим треугольник АВС. На панели инструментов выберите «Многоугольник» . Щёлкните левой кнопкой мыши три раза в разные места на графическое представление, у вас отметятся три точки A, B, C. Щёлкните левой кнопкой мыши в точку А и вы получите треугольник. Удалите ненужные обозначения.

Выберите на панели инструментов «Серединный перпендикуляр» (нажмите левой кнопкой мыши на небольшой треугольник в четвёртой иконке слева) и постройте два серединных перпендикуляра нажав на две стороны треугольника.

Выберите на панели инструментов «Пересечение двух объектов» (вторая иконка слева). Нажмите на пересечение двух серединных перпендикуляров или на каждый из перпендикуляров по очереди. Мы получим центр окружности.

Выберите «Окружность по центру и точке» . Нажмите на точку пересечения двух серединных перпендикуляров и вершину треугольника.

Измените цвет окружности. Для этого кликаем правой кнопкой по окружности, выбираем «Настройки», «Цвет». Закройте окно настроек объекта.

Решение геометрических задач из школьного курса с помощью GeoGebra

Пример задачи взят из демонстрационного варианта ОГЭ по математике модуль геометрия.

Задача. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С известны катеты: AC=6, BC=8. Найдите медиану CD этого треугольника.

Построим треугольник АВС. На панели инструментов выберите «Точка» . Постройте три произвольные точки на полотне.

Кликнуть на полотно точку правой кнопкой мыши, зайти в свойства. Задать координаты точкам: A(0,6), B(8,0), C(0,0).

Создать треугольник ABC. Выбрав инструмент «Многоугольник» , кликнув по точкам ABC.

С помощью инструмента «Середина или центр» построить точку D, которая будет делить отрезок AB на два равных отрезка.

При помощи инструмента «Отрезок» построить отрезок CD, длину которого необходимо найти.

На панели объектов можно увидеть, что длина искомого отрезка CD будет равна 5.

Задача. Радиус OB окружности с центром в точке О пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD=2см, а радиус окружности равен 5 см.

При помощи инструмента «Окружность по центру» задаем окружность, радиус (OB) которой по условию задачи равен 5.

При помощи инструмента «Точка» , создаем точку D с координатой (3,0), т.к. по условию задачи BD=2.

При помощи инструмента «Перпендикулярная прямая» опускаем перпендикуляр, дважды щелкнув на точку D.

При помощи инструмента «Пересечение» ставим точки A и C на пересечении перпендикуляра с окружностью.

При помощи инструмента «Многоугольник» создаем треугольник AOC, кликнув по точкам A, O и C.

На панели объектов можно увидеть, что длина отрезка AC (на чертеже o) равна 8.

Заключение

Бесплатная программа GeoGebra предназначена для обучения математике. С помощью программы GeoGebra (ГеоГебра) можно обучаться или работать в динамической математической среде, включающей в себя геометрию, алгебру, другие разделы, с широкими функциональными возможностями.

Система GeoGebra поможет учителям для объяснения, а школьникам в ознакомлении с учебными материалами не только курса геометрии, но и алгебры, математического анализа, будет незаменима для формирования навыков наглядного представления геометрических ситуаций.

Возможности программы по математике не ограничиваются только построением графиков, программу GeoGebra можно использовать для интерактивных чертежей при решении геометрических задач. Программа GeoGebra обладает мощными и функциональными возможностями, которые позволяет наглядно и просто обучаться математике.

Таким образом, программа GeoGebra выступает как универсальный программный продукт, в котором сочетаются свойства систем динамической геометрии и систем вычислительной математики, которая дает основания для использования ее в обучении геометрии. Применение программной среды GeoGebra позволяет по-новому строить методику подготовки к основному государственному экзамену, повышая наглядность, увеличивая долю эмпирической составляющей в процессе познания геометрических теорий и расширяя сферу предметных и учебных задач.

Список использованных источников

1. Безумова, О. Л. Обучение геометрии с использованием возможностей GeoGebra : учебно-методическое пособие / О. Л. Безумова. – Архангельск : Изд-во «КИРА», 2011. – 140 с.

2. Блинков А. Д. Геометрические задачи на построение / А.Д. Блинков, Ю. А. Блинков. – 2-е изд.,стереот. – М.: МЦНМО, 2012. – 152 с.

3. Васильев Н. Б. Прямые и кривые / Н.Б. Васильев, В.Л. Гутенмахер. – М.: Наука, 1978. – 160 с.

4. Знакомство с системой GeoGebra [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://vellisa.ru/geogebra

5. Официальный сайт программы GeoGebra [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.geogebra.org

6. Шабанова М. В. Обучение математике с использованием возможностей GeoGebra / М. В. Шабанова, О. Л. Безумова, Е. Н. Ерилова и др. – Москва : Перо, 2013. – 128 с.

8