Метод от противного, как способ решения задач в школьном курсе планиметрии.

Метод от противного , как способ решения задач в школьном курсе планиметрии.

Метод от противного используется в доказаельстве некоторых теорем в школьном курсе геометрии. В учебнике Атанасяна Л.И. «Геометрия 7-9» есть краткое описание сути этого метода на конкретном примере доказательства. Но иногда этот метод можно успешно использовать в решении отдельных геометрических задач.

Суть метода доказательства от противного:

-предполагаем противоположное тому, что требуется доказать в задаче;

-исходя из этого предположения,путем рассуждений приходим к противоречию с какой-либо уже известной теорией (определение соответствующего понятия, аксиома, теорема);

-делаем вывод о том, что наше предположение не верно. А, значит, верно

то, что требовалось доказать.

Впервые описание этого метода в учебнике «Геометрия 7-9», Атанасяна Л.И.

встречается в доказательстве того, что две прямые не могут иметь двух и более общих точек. Далее он применяется в доказательстве некоторых теорем, например, в признаке параллельности двух прямых о накрест лежащих углах.

В помощь учащимся я выделила некоторые типы задач, в решении которых применяется метод от противного:

1. В формулировке задачи есть фраза:

а) лежат ли...

б)верно ли...

в)равны ли...

может (могут) ли...

Например:

Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АС=5см, АВ=3см, ВС=4см? (№36 из учебника Атанасян Л.И. Геометрия 7-9)

Градусные меры двух углов равны. Равны ли сами углы?

(№45 из учебника Атанасян Л.И. Геометрия 7-9)

Луч l является биссектриссой неразвернутого угла hk. Може ли угол hlбыть прямым или тупым?

(№53 из учебника Атанасян Л.И. Геометрия 7-9)

Еще подобные задачи №69, №70.

1. Если надо доказывать единственность.

Например:

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Единственность доказывается методом от противного.

Похожие задачи №326, 327.

1. При доказательстве параллельности прямых

№198, 199, 200, 218, 219 220.

1. Теоремы, обратные к данным:

а)признак параллельности прямых о накрест лежащих углах;

б) если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник- равнобедренный;

в)в теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника (против большего угла лежит большая сторона);

г)признак равнобедренного треугольника: если в треугольнике два угла равны, то треугольник-равнобедренный.

5. Если есть отрицание «не»

Например, (Атанасян Л.И. Геометрия 7-9) докажите , что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС НЕ равны, то медиана

АМ треугольника НЕ является высотой.

Еще №683

Учитель математики Наталья Матвеевна Миркина, МБОУ школа №105