Признаки равенства треугольников и их практическое применение в решешнии задач

ХIV городской научно-практическая конференция школьников «Первые шаги в науку» Возрастная категория: «Юный исследователь» Секция: прикладная математика Название работы: «Признаки равенства треугольников и их практическое применение»

Автор работы:

Копейкина Елизавета Евгеньевна

г. о. Тольятти, МБУ «Лицей 76», 7 класс

Научный руководитель:

Гуменчук Станислава Анатольевна

Учитель математики 1 категории, МБУ «Лицей 76»

Г. Тольятти

2018

Содержание:

1.Введение

2. Из истории

3.1.Формулировка теоремы «Первый признак равенства треугольников»

3.2. Доказательство «Первый признак равенства треугольников»

4.1. Формулировка теоремы «Второй признак равенства треугольников»

4.2. Доказательство «Второй признак равенства треугольников»

5.1. Формулировка теоремы «Третий признак равенства треугольников»

5.2. Доказательство «Третий признак равенства треугольников»

6. Решение задач:

6.1.«Первый признак равенства треугольников»

6.2. «Второй признак равенства треугольников»

6.3. «Третий признак равенства треугольников»

7. Задача «Докажите»

8. Задача

9. Вывод

10. Литература, которую использовали

Введение

• Человек, читающий что попало, редко может похвастаться глубиной своих знаний. Никто не станет обременять свою память мелкими подробностями, если на то нет достаточно веских причин.

А. Конан Дойл «Этюд в багровых тонах»

Историческая справка

• Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Формулировка теоремы «Первый признак равенства треугольников»

• Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

А

А1

С1

В

С

В1

Доказательство «Первый признак равенства треугольников»

• Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых AB=A1B1,AC=A1C1,∠A=∠A1.
• Докажем, что △ABC=△A1B1C1.
• Так как ∠A=∠A1, то согласно аксиоме треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, что вершина A совместиться с вершиной A1, а стороны AB и AC наложатся соответственно на лучи A1B1 и A1C1.
• В силу аксиомы, так как AB=A1B1 и AC=A1C1, то стороны AB и A1B1, AC и A1C1 совместиться.
• В частности совместятся точки B и B1, C и C1.
• Следовательно, по аксиоме совместятся и стороны BC и B1C1.
• Итак, треугольники ABC и A1B1C1 полностью совместились.
• Следовательно, согласно определению, они равны.

Формулировка теоремы «Второй признак равенства треугольников»

• Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

А1

А

В

С

В1

С1

Доказательство «Второй признак равенства треугольников»

• Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых AB=A1B1,∠A=∠A1,∠B=∠B1.
• Докажем, что △ABC=△A1B1C1.
• Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A, сторона AB – с равной ей стороной A1B1, а вершины C и C1 оказались по одну сторону от прямой A1B1.
• Так как ∠A=∠A1 и ∠B=∠B1, то по сторона AC наложится на луч A1C1, а сторона BC – на луч B1C1.
• Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – окажется как лежащей на луче A1C1, так и на луче B1C1 и, следовательно, совместиться с общей точкой этих лучей – вершиной C1.
• Значит, совместятся стороны AC и A1C1, BC и B1C1.
• Итак треугольники ABC и A1B1C1 полностью совместятся.
• Следовательно, они равны.

Формулировка теоремы «Третий признак равенства треугольников»

• Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

А

А1

С1

В

С

В1

Доказательство «Третий признак равенства треугольников»

• Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых AB=A1B1,AC=A1C1,BC=B1C1. Докажем, что △ABC=△A1B1C1.
• Приложим треугольник ABC к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, вершина B – C вершиной B1, а вершины C и C1 оказались по разные стороны от прямой A1B1.
• Возможны три случая: луч C1C проходит внутри угла A1C1B1, луч C1C совпадает с одной из сторон этого угла, луч C1C проходит вне угла A1C1B1.
• Рассмотрим первый случай.

По условию теоремы AB=A1B1,AC=A1C1,BC=B1C1, следовательно, треугольники A1C1C и B1C1C – равнобедренные. По теореме ∠1=∠2,∠3=∠4, поэтому ∠A1CB1=∠A1C1B1. Итак, AC=A1C1,BC=B1C1,∠C=∠C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников.

• Рассмотрим второй случай.

Пусть луч C1C совпадает со стороной C1B угла A1C1B1. Тогда, так как AC=A1C1, то треугольник СA1C1 равнобедренный, и ,следовательно, ∠C=∠C1. Тогда треугольники A1BC1 и ABC равны по первому признаку равенства треугольников.

• Рассмотрим третий случай.

Третий случай доказывается аналогично первому.

Решение задач: «Первый признак равенства треугольников»

• № 1

  Дано:

AB=AD,

∠ BAC=∠DAC

Доказать: ∆ABC=∆ADC

• Доказательство:

Рассмотрим треугольники АВС и ADC. AB=AD (По условию задачи), ∠BAC=∠DAC (По условию задачи). AC — общая сторона.

Следовательно, ∆ABC=∆ADC (по двум сторонам и углу между ними, то есть по  первому признаку равенства треугольников ).

• Ответ: Что и требовалось доказать.

Решение задач: «Второй признак равенства треугольников»

• № 2

     Дано:

AB∥CD,

AB=CD

Доказать: ∆AOB=∆DOC.

• Доказательство:

Рассмотрим треугольники АВО и СDО. AB=CD (По условию задачи), ∠ABO=∠DCO (как внутренние накрест лежащие при AB∥CD и секущей BC), ∠BAO=∠CDO (как внутренние накрест лежащие при AB∥CD и секущей AD).

Следовательно, ∆AOB=∆DOC (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

• Ответ: Что и требовалось доказать.

Решение задач: «Третий признак равенства треугольников»

• № 3

Дано:

AF=BK,

AK=BF

Доказать: ∆AFB=∆BKA

• Доказательство:

Рассмотрим треугольники AFB и BKA. AF=BK (По условию задачи), AK=BF (По условию задачи). AB — общая сторона.

Следовательно, ∆AFB=∆BKA по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

• Ответ: Что и требовалось доказать.

Задача № 4

• Дано:

AB=AC,

AF=AK

Доказать: ∆ABK=∆ACF

• Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABK и ACF. AB=AC (По условию задачи), AF=AK (По условию задачи). ∠A — общий.

Следовательно, ∆ABK=∆ACF (по двум сторонам и углу между ними (Первый признак)).

• Ответ: Что и следовало доказать.

Задача

Вывод

• Выполнив данный проект, я научилась находить решения практических задач, используя равенства треугольников.

Литература

1. Карпушина Н. М. «Любимые книги глазами математика»-Москва 2011 г.

2. Атасян Л. С. «Геометрия 7-9 класс» - Москва, 2017 г.

3. Зив Б.Г., Мейлер В.М. «Дидактические материалы по геометрии для 7 класса.»  М.: Просвещение, 1991

Спасибо за внимание!!!