Су ластануыны? халы? денсаулы?ына тигізетін ?сері

Тақырыбы: Функцияның шегі. Тамаша шектер.

Жоспары:

1. Функция шегінің анықтамасы.

2. Бірінші тамаша шек.

3. Екінші тамаша шек.

 функциясы Х нақты сандар жиынында анықталып, а нақты сан сол жиыннан алынған х_nтізбегінің шегі болсын

Егер х_n тізбектің мүшелеріне сәйкес сандық тізбектің де шегі бар және ол b санына тең болса, бұл b санын (х) функциясының а нүктедегі шегі деп аталады да,

деп белгіленеді.

Шегі бар функциялардың қасиеттері.

Егер , болса

1⁰.

2⁰.

3⁰.

4⁰. с  0 болғанда

5⁰.  - нақты сан,

Бірінші тамаша шек:

Екінші тамаша шек: немесе

1-мысал.

Жауабы:

2-мысал.

Жауабы:

3-мысал.

(Мұнда 1-тамаша шегінен пайдаландық). Жауабы:

4-мысал.

(екінші тамаша шектен алынды) Жауабы: =

Лекция 6.

Тақырыбы: Функцияның туындысы.

Жоспары:

1. Функция туындысының анықтама.

2. Туындылар кестесі.

3. Күрделі функцияның туындысы.

4. Туындының қасиеттері.

Анықтама: f функциясы [a,b] аралығында анықталсын. Егер x₀ [a,b] үшін нақты мәнді шегі бар болса, онда f функциясын x₀ нүктесінде дифференциалданады, ал шектің мәнің f функциясының x₀ нүктесіндегі туындысы дейді де, f '(x₀) cимволымен белгілейді.

1. Элементар функциялардың туындылары кестесі.

1. f(x)=C C=const =0

2. f(x)=x^p =px^p-1

3. f(x)=a^x ,

4.

5. f(x)=sin x ,

6. f(x)=cos x ,

7. f(x)=tg x ,

8. f(x)=ctg x ,

9. f(x)=arcsin x ,

10. f(x)=arcos x ,

11. f(x)=arctg x ,

12. f(x)=arcctg x ,

1. Күрделі фунцияның туындысы.

y=f(u) , u=g(x) болса,

Мысал y=sin(x³),

1. Туындының қасиеттері.

Мысал.

1. Дәрежелі – көрсеткіштік функцияның туындысын табуға мысалдар:

Дәрежелі – көрсеткіштік функция.

Бұл көріністегі функцияларды дифференциалдау үшін әуелі теңдікті логарифмнен алынады да одан кейін теңдікті дифференциалданады.

Мысал:

1. Функция графигінің жанамасын табу. у=ƒ(х) функция х₀ нүктеде анықталған, және туындысы ƒ^‛(х₀) бар болса, онда графиктің (х₀; ƒ(х₀)) нүктесіне сызылған жанама теңдеуі

у= ƒ^‛(х₀) (х-х₀)+ ƒ(х₀) көріністе болады

Мысал: у=х²+2 параболаның х=1 нүктесі арқылы өтетін жанама теңдеуін табу керек.

Шешуі: х₀=1, ƒ(х₀)=ƒ(1)=у(1)=1²+2=3

у^‛= ƒ^‛(х)=(х²+2)^‛=2х; ƒ^‛(1)= 2•1=2

у=2(х-1)+3=2х-2+3=2х+1 Жауабы: у=2х+1

6. Жылдамдық туралы есеп=() болса,

Материалдық нүкте S=S(t) заңмен түзу бойынша қозғалғанда, оның жылдамдығы =’S(t) (белгілі бір t₀ моменттегі жылдамдық), үдеуі а=^‛(t) = S’’(t) теңдеулері арқылы есептеледі.

Мысал: S=3t²+4t-1(м) заңмен қозғалған материалдық нүктенің t=2сек моменттегі жылдамдығын анықтау керек.

Шешуі: = S^'=(3t²+4t-1)=6t+4

(2) =6•2+4=12+4=16 Жауабы: 16 м/сек

7. Лопиталь ережесі

1. = болса, = орынды болады

Мысал =()=

2.

= болады.

Мысал.

Ескерту. анықталмағандықтарын немесе түріндегі анықталмағандықтарға келтіріп Лопиталь ержесін қолдауға болады.

Мысал.

Тақырыбы: Функцияны туынды арқылы зерттеу

және оның графигін сызу.

Жоспар:

1. Функцияның монотондық аралықтарын табу.

2. Функцияның экстремумдерін табу.

3. Асимптоталарды табу.

4. Функция графигін сызу.

Y=f(x) функциясын зерттеу үшін ол функцияның анықталу обылысының кейбір нүктелерінде, кейбір интервалдарында қандай қасиеттерге ие болуын функциянығ туындысы жәрдемінде оңай анықтауға болады екен.

Төменде берілген функцмяны туынды арқылы зерттеп соңында графигін сызамыз

Мысал .y=x+функциясын зерттеп оның графигін Эскизын сызу керек

1. Функцияның анықталу обылысын табамыз.

Берілген функция x=0 ден бөлек ох өсіндегі барлық нүктелерде анықталған, x=0 нүктесінде график түзіледі.

1. Функциянығ жұп –таұтығын анықтау f(-x)=f(x) болса жұп, f (-x)=-f(x) болса тақ функция болады

Y=f (x) =x+ f (-x)=-x+

F (-x)=-f (x) болғандыұтан ол тақ функция екен.

3. ox және oy өстерімен графиктің қиылысу нүктелерін табу

x²+4≠0 болғандықтан график ОХ өсімен қиылыспайды;

ОУ; х0 (1-пунктке қара), яғни ОУ - өсімен де функция графигі қиылыспайды.

4.Асимптоталарын табу.

1. Горизонтал асимптотаны табу үшін оны у=кх+в деп аламыз.

K=

Горизонтал асимтота теңдеуі: у=x

1. Вертикаль асимптота.

болғандықтан х=0 түзуі вертикаль асимптота болуы келіп шығады.

1. Функцияның max, min. нүктелерін, өсетін және кемитін аралықтарын анықтау.

Функция туындысын нөлге теңдей стационар нүктелерді анықтаймыз:

Табылған стационар нүктелер max немесе min нүкте болуы үшін бұл нүктелердің аймағында у’ тің таңбалары әр түрлі болуы керек.

де функция өспелі, де функция кемуші, x=2-max нүкте болады.

де кемуші, де өспелі, x=2-min нүкте болады.

6. Функция графигінің дөң немесе ойық болатын аралықтарын табу.

Екінші ретті туындыны табамыз.

де дөң,

де ойық.

Алынған мәліметтер жәрдемінде функция графигінің эскизын сызамыз:

Лекция 8.

Тақырыбы: Алғашқы функция. Анықталмаған интеграл.

Жоспары:

1. Алғашқы функцияның анықтамасы.

2. Анықталмаған интеграл, оның қасиеттері.

3. Анықталмаған интегралды есептеу формулалары.

Анықтама. Дифференциялданатын функциясы үшін теңдеу орындалса, функция функцияның алғашқы функциясы деп аталады.

Мысал. 1) болғандықтан функциясы функцияның алғашқы функциясы болады.

2) сондықтан ,

Анықтама. Егер функция функцияның алғашқы функциясы болса,

болады.

(c – const) өрнекті функцияның анықталмаған интегралы деп аталады да символымен белгіленеді.

Интегралдың негізгі формулалары.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

Интегралдың қасиеттері:

1⁰. , к – тұрақты

2⁰.

3. Егер орынды болса, да орынды болады.

Мысалдар:

1. 

2. 

3. 

Лекция 19

Тақырыбы: Функцияны дәрежелік қатарға жіктеу.

Жоспары:

1. Тейлор қатары.

2. Маклорен қатары.

3. Функцияны дәрежелік қатарды жіктеу.

1.Тейлор қатары.

f(x) функциясының

f(x)=f(a) +

түрінде жазылуын f(x) функциясының (х-а) айырымының дәрежелері бойынша Тейлор қатарына жіктелуі дейді.

2. Маклорен қатары.

Дербес жағдайда, егер f(x) функция х=0 нүкте және оның маңайында анықталған, дифференциалданатын (ақырсыз рет) функция болса, Тейлор қатарында а=0 деп алынса, Маклорен қатары деп аталатын дәрежелік қатар келіп шығады.

f(x)=f(0)+

1-Мысал: у=е^х функцияны Маклорен қатарына жіктеу керек.

Шешуі: f(0)=e⁰=1

f^’(x)=(e^x)^’=e^x, f^(k)(x)=e^x, k==2,3,4,…

2-Мысал: f(x)=sinx функцияны дәрежелік қатарға жіктеу керек.

Шешуі: sinx функция х=0 нүктеде анықталған, дифференцияланатын функция болғандықтан оны Маклорен қатарына жіктейміз:

f(0)=sin0=0

f^’(x)=cos х, f^’(0)=1

f^’’(x)=-sinx, f^’’(0)=0

f^’’’(x)=-cosx, f^’’’(0)=-1

f^(IV)(x)=sinx, f^(IV)(0)=0

. .

. .

. .

f^(2n-1)(х)=1, f⁽²ⁿ⁺¹⁾(0)=-1

sinx=x-

Тақырыбы: Анықтауыштар және матрицалар.

Жоспары:

1. Анықтауыштар және олардың қасиеттері.

2. Матрица түсінігі. Матрицаларға амалдар қолдану.

3. Кері матрица және оны табу.

Анықтама :

n белгісізі бар m сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі келесі түрде жазылады:

(1)

мұндағы:

-жүйе белгісіздері;

- жүйе коэффициенттері;

-бос мүшелер деп аталады.

Жүйе коэффициенттерінен тік бұрышты кесте құрауға болады. Ол кестені белгілеуге келесі

символдардың бірін қолданады.

Бұл кестені m жол және n бағаннан тұратын m×n өлшемді матрица деп атайды.

Мұндағы -матрица элеметтері деп атайды. Егер m=n болса, онда (2) кесте

(2^*)

түріне ие болады және ол n-ретті квадрат матрица деп аталады. Мұндағы -бас диагональ, -бүйір диагональ элементтері деп аталады.

Дербес жағдайда, n=m=2 болса,

- екінші ретті квадрат матрица болады.

Анықтама :

А матрицаның анықтауышы деп санды аламыз және оны төмендегідей белгілейміз:

- екінші ретті анықтауыш,

көріністе жазылып есептелінген кестені үшінші ретті анықтауыш деп аталады.

Анықтауыштардың төмендегі қасиеттерін атап өтуге болады:

1⁰ . Анықтауыштың жолдары мен бағандары орындарын алмастырылса, оның мәні сақталады.

2⁰. Анықтауыштың параллель қатарларын өзара орын алмастырылса, анықтауыш таңбасы өзгереді.

3⁰.

4⁰. =0

5⁰. =0

- үшінші ретті анықтауыш берілген болсын.

Анықтама :

Үшінші ретті анықтауыштың a_ij элементінің миноры деп, осы элемент тұрған i-жол және j-бағанды алып тастағанда пайда болатын екінші ретті анықтауышты айтамыз. Анықтауыштың a_ij элементтің минорын M_ij арқылы белгілейміз. А матрицаның элеметері үшін де минор түсінігі жоғарыдағыдай беріледі.

Мысалы, болса, онда

Анықтама : Анықтауыштың a_ij элементінің алгебралық толықтауышы деп

санын айтады.

6⁰. Анықтауыштың қандай да бір қатарының элементтері мен олардың сәйкес алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы осы анықтауыш мәніне тең.

Мысал :

Лекция-2

2.Тақырыбы: Сызықтық теңдеулер жүйелері.

Жоспар:

1. Сызықты теңдеулер жүйесін крамер әдісімен шешу.

2. Матрица әдісі.

3. Мысалдар.

Анықтама: Үш белгісізі бар үш сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін қарастырамыз.

(1)

мұндағы x,y,z – айнымалылары жүйенің белгісіздері; , - коэффициенттері; , - бос мүшелер.

Жүйенің барлық теңдеулерін тепе – теңдікке айналдыратын сандары жүйенің шешімі деп аталады. Егер шешім бар болса жүйені үйлесімді деп, шешім жоқ болса үйлесімсіз деп аталады.

Жүйені Крамер әдісімен шешу.

(1) жүйенің коэффициенттерінен құралған анықтауышты оның бас анықтауышы деп аталады.

Бас анықтауыштағы 1,2,3 – бағандарды (1) жүйенің бас мүшелерімен анықтауыштары арқылы жазылған анықтауыштарды , , әріптерімен белгілеп, оларды жүйенің жәрдемші анықтауыштары деп атайды

Егер болса, онда

болады.

Мысал

жүйені Крамер әдісімен шешу керек..

Жауабы: x=1, y=2.

Жүйені матрица әдісімен шешу.

(1) жүйенің матрицасын А арқылы белгілеп, оны жүйенің коэффициенттерінен құрастырамыз, бос мүшелер бағанын В деп, белгісіздер бағанын Х – деп белгілейміз:

, ,

Онда (1) жүйені қысқаша деп жазуға болады. Егер А матрицаның анықтауышы нолге тең болмаса (1) жүйенің шешімі болады.

- (1) – жүйенің А – матрицасына кері матрица деп аталады:

, - алгебралық толықтауыштар

Мысал.

жүйесін матрицалық әдіспен шешу керек.

, ,

, .

x = 1, y = 2. Жауабы: x = 1, y = 2

Лекция -3

3.Тақырыбы: Векторлар және оларға қолданылатын сызықтық амалдар.

Жоспары:

1. Вектор шамалар ұғымы. Оларды қосу, алу, санға көбейту.

2. Вектордың координаталары.

3. Векторлардың скаляр көбейтіндісі.

4. Векторлардың вектор көбейтіндісі.

5. Векторлардың аралас көбейтіндісі.

бас нүктесі, ұшы. AB кесінді ұзындығын вектордың модулі деп, арқылы белгілейді. - ноль вектор.

Бір түзуде немесе параллель түзулерде жататын векторлар коллинеар деп аталады.

, ,

векторына коллинеар, модулі тең, бағыты векторына қарама-қарсы бағытталған вектор векторына қарама-карсы вектор деп аталады және - арқылы белгіленеді.

1⁰. Векторды λ санына көбейту:

векторы мен λ санының көбейтіндісі дейміз, егер төмендегі шарттар қанағаттандырса:

1. модулі

2. 

3. болса, мен бағыттас, ал болса векторына бағыты қарама-қарсы векторын айтады.

2⁰. Векторларды қосу.

Қасиеттері:

1. сандар.

2. 

3. 

4. 

5. 

Анықтама: Бір жазықтыққа параллель векторлар компланар векторлар деп аталады.

Кеңістікте OXYZ тік бұрышты декарт координаталар жүйесі берілсін. OX, OY, OZ - өстерінің бойында орналасқан бірлік векторлары компланар емес векторлары болғандығынан оларды кеңістік базисін құрайды деп алуға болады. Онда кез келген - векторын олардың сызықтық комбинациясы арқылы жазуға болады.

сандарды вектордың координаталары деп атайды.

берілген болса, вектордың координаталары болады.

нүктелер берілген болса, онда екендігін көрсетуге болады,

Векторлардың скаляр көбейтіндісі

векторлар арасындағы бұрышты деп аламыз. - деп те белгіленеді.

Қасиеттері:

1⁰.

2⁰.

3⁰.

4⁰.

5⁰. сүйір бұрыш

6⁰. доғал бұрыш

7⁰.

4^0’.

Анықтама. Нол емес векторының бағыттаушы косинустары деп векторымен OX,OY,OZ өстерінің арасындағы сәйкес бұрыштарының косинустарын айтады

Векторлық көбейтінді және оның қасиеттері.

Анықтама. Бастары ортақ бір О нүктесіне келтірілген, компланар емес, реттелген векторлар үштігі берілсін. Егер вектор ұшынан қарағанда векторының векторына жақын тұспен бұрылуы сағат тіліне қарама қарсы бағытта болса, онда - оң үштік векторлар деп аталады.

а және в векторлардың вектор көбейтіндісін деп

төмендегі үш шартты орындайтын вектроға айтылады.

1. векторлар оң үштік құрайды.

2.

3. ,

S =

Қасиеттері.

1.

2.

3.

Мысал. Қабырғалары және болатын үшбұрыштың

ауданын табу керек.

Шешілуі:

болғандықтан кв.б. болады.

Векторлардың аралас көбейтіндісі.

вектор көбейтінді мен вектордың скаляр көбейтіндісін және векторларының аралас көбейтіндісі деп айтылад, оны немесе арқылы белгіленеді.

Егер болса,

онда екендігін көрсетуге болады.

1.Скаляр көбейтіндінің және вектор көбейтіндінің анықтамаларына сүйеніп , , векторларына салынған паралелепипед көлемі - осы үш вектордың аралас көбейтіндісінің модуліне тең болуын көрсетуге болады

2. , , векторлар клоинар болса вектор векторға перпендикуляр болады, сондықтанболады.

Егер болса , , векторлары колинар екендігі келіп шығады. Сондықтан , , векторлар компланар болуы үшін болуы қажетті және жеткілікті болады.

Лекция-4

4. Тақырыбы: Жазықтықтағы түзу теңдеулері.

Жоспары:

1. Түзудің жалпы теңдеуі.

2. Екі нүктеден өтетін түзу теңдеуі.

3. Екі түзу арасындағы бұрыш

Элементер математика курсынан

L түзуінің тендеуі y=kx+b (1)

түрінде жазылатыны белгілі. Мұндағы, k=tga - түзудің бұрыштық коэфициенті, ал шамасы L түзуі мен OX өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш, b шамасы –түзү мен OY өсінің қиылысу нүктесінің ординатасы (b=ОВ) (1-суретті қара.)

(1-сурет).

Aх+Bу+C=O (2) теңдеуін қарастырайық. Мұндағы A,B,C-белгілі сандар және А мен В бір мезгілде бірдей нөлге тең болмайды. Егер B≠O болса, онда (2) теңдеуді y = деп, немесе

b=- десек, y=-кx+b көріністе, яғни (1) тендеу түрінде жазуға болады екен.

Сондықтан (2) теңдеу жазықтықтағы түзудің жалпы теңдеуі деп аталады.

1. Бұрыштың коэфициенті k тең және нүктесі арқалы өтетін түзу теңдеуі :

(3)

2. және нүктелер арқылы өтетін түзу теңдеуі:

= (4)

y=k₁x+b₁ және y=k₂x+b₂ түзулердің арасындағы бұрышты табу формуласы:

tg= (5)

Екі түзудің перпендикулярлық белгісі

1+к₁ к₂=0 немесе =- (6)

Екі түзудің паралелдік белгісі

(): k₁-k₂=0 немесе k₁+k₂ (7)

M(x₀,y₀) нүктеден Ax+by+c=0 теңдеулі түзуге дейінгі қашықтықты табу формуласы:

D= (8)

Мысал 1. М(1;3) нүктесінен L: 3x+4y+10=0 түзуіне дейінгі қашықтықты табу керек

Шешімі: (8) формуладан табамыз: d=

Жауабы: d=5

Мысал 2 L₁: x+2y-3 және L₂: y=2x-5 түзулері арасындағы бұрышты табу керек.

Шешімі: L₁ түзудің бұрыштың коффиценттерін тауып аламыз.

2y=-x+3 немесе y = -

L₁: y=-

L_{2 :} y=2x-5, k₂=2

1+k₁k₂=1+(-)2=1-1=0 1+k₁k₂=0 яғни L₁L₂

Жауабы:

Лекция 5

5. Тақырыбы: Кеңістіктегі жазықтық және түзу теңдеулері.

Жоспары:

1. Жазықтықтың жалпы теңдеуі.

2. Үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі.

3. Екі жазықтықтың арасындағы бұрышты табу.

4. Кеңістіктегі түзу теңдеулері.

1. векторы π жазықтыққа перпендикуляр болса, оны жазықтықтың нормальды деп аталады. M₀€ π болсын. Егер , M₀(x₀;y₀;z₀;) болса, π жазықтықтың теңдеуін жазуға болады:

π: A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

Ax+By+Cz+D=0 - жазықтықтың жалпы теңдеуі деп аталады.

2. Егер π жазықтықтың ОХ өсін (а;0;0) нүктеде, ОУ өсін (0;в;0), Z өсін (0:0;с) нүктелерде қиятын болса, оның теңдеуі

көріністе болады.

3. M₁(x₁;y₁;z₁) , M₂(x₂;y₂;z₂), M₃(x₃;y₃;z₃), нүктелері арқылы өтетін π жазықтықтың теңдеуі

көріністе болады.

4. Екі жазықтық арасындағы φ бұрышты табу ушін олардың нормальды арасындағы бұрышты табу жеткілікті. Олардың параллельдік және перпендикуляр солай анықтауға болады.

5. Кеңістіктегі L түзудің теңдеуін анықтау үшін онда жатқан M₀(x₀;y₀;z₀) нүктені және оған параллель ǎ(m;n;p) векторын аламыз.

M(x;y;z) –L-де жататын кез-келген нүкте. Онда болғандықтан

t-параметр.

Бұл теңдіктер жүйесін түзудің канондық теңдеуі деп аталады. Бұл теңдіктерден

жүйені алуға болады. Бұл жүйені түзудің кеңістіктегі параметрлік теңдеуі деп аталады.Екі түзудің арасындағы бұрышты табу үшін олардың бағыттаушы векторлары арасындағы бұрыштарды табу жеткілікті болады. Олардың параллелльдік және перпендикулярлық шарттарын да анықтауға болады.

а(m;n;p) векторын L түзудің бағыттаушы векторы деп аталады.

Мысал : L₁ :x=1+2t L₂ :

y=-1+t

z=3t

түзулерінің арасындағы бұрыштық косинусын табу керек.

Шешуі: L түзудің бағыттаушы векторы a(2;1;3), L₂ түзудің бағыттаушы векторы а₂ (1;-2;3) болғандықтан

Лекция 6.

6. Тақырыбы: Екінші ретті қисықтар.

Жоспары:

1. Эллипс теңдеуі, параметрлері .

2. Гипербола теңдеуі.

3. Парабола теңдеуі.

4. Басқа екінші ретті қисықтар.

Жазықтағы тік бұрышты координаталар жүйесінде екінші дәрежелі айқындалмаған қисық

Ах²+2Вху+Су²+2Дх+2Еу+F=0 (1)

берілсін.

Мұндағы, А,В,С,Д,Е,F –берілген нақты сандар және А²+В²+С² ≠0.

Бұл қисықты - екінші ретті қисық деп атайды.

1. теңдеудің алты дербес жағдайын қарастырайық ;

ОА=а, ОВ=в – эллипстің жарты өстері (а)

F₁(-С;0), F₂(C;0) – эллипстің фокустері

, - экстриситеті. Эллипс теңдеуі:

болса, шеңбер теңдеуі.

ОА = a - нақты жарты өсі,

ОВ = в - жорамал жарты өсі,

F₁, F₂ – гиперболаның фокустері, , F₁(-с;0), F₂(с;0)

- экстриситеті.

Гиперболаның теңдеуі:

L₁: , L₂: - гиперболаның ассимптоталары.

- параболаның фокусы,

ВС: - параборланың директрисасы. Параболаның теңдеуі:

4. Қиылысатын теңдеулер жұбының теңдеуі

,

5. Нүктені анықтайтын теңдеу:

6. Параллель немесе беттесетін түзулер жұбының теңдеуі:

,

Мысал. 4х² + 9у² = 36 қисықтың теңдеуін және оның өстерін, фокустарын анықтау керек.

Шешуі: Теңдеуді 36 – ға бөлсек: . , болады екен, Яғни , болады. Бұдан = = . Жауабы: , , ,

Лекция 7.

7. Тақырыбы: Функцияның шегі. Тамаша шектер.

Жоспары:

1. Функция шегінің анықтамасы.

2. Бірінші тамаша шек.

3. Екінші тамаша шек.

 функциясы Х нақты сандар жиынында анықталып, а нақты сан сол жиыннан алынған х_nтізбегінің шегі болсын

Егер х_n тізбектің мүшелеріне сәйкес сандық тізбектің де шегі бар және ол b санына тең болса, бұл b санын (х) функциясының а нүктедегі шегі деп аталады да,

деп белгіленеді.

Шегі бар функциялардың қасиеттері.

Егер , болса

1⁰.

2⁰.

3⁰.

4⁰. с  0 болғанда

5⁰.  - нақты сан,

Бірінші тамаша шек:

Екінші тамаша шек: немесе

1-мысал.

Жауабы:

2-мысал.

Жауабы:

3-мысал.

(Мұнда 1-тамаша шегінен пайдаландық). Жауабы:

4-мысал.

(екінші тамаша шектен алынды) Жауабы: =

Лекция 8.

8.Тақырыбы: Функцияның туындысы.

Жоспары:

1. Функция туындысының анықтама.

2. Туындылар кестесі.

3. Күрделі функцияның туындысы.

4. Туындының қасиеттері.

Анықтама: f функциясы [a,b] аралығында анықталсын. Егер x₀ [a,b] үшін нақты мәнді шегі бар болса, онда f функциясын x₀ нүктесінде дифференциалданады, ал шектің мәнің f функциясының x₀ нүктесіндегі туындысы дейді де, f '(x₀) cимволымен белгілейді.

1. Элементар функциялардың туындылары кестесі.

1. f(x)=C C=const =0

2. f(x)=x^p =px^p-1

3. f(x)=a^x ,

4.

5. f(x)=sin x ,

6. f(x)=cos x ,

7. f(x)=tg x ,

8. f(x)=ctg x ,

9. f(x)=arcsin x ,

10. f(x)=arcos x ,

11. f(x)=arctg x ,

12. f(x)=arcctg x ,

1. Күрделі фунцияның туындысы.

y=f(u) , u=g(x) болса,

Мысал y=sin(x³),

1. Туындының қасиеттері.

Мысал.

1. Дәрежелі – көрсеткіштік функцияның туындысын табуға мысалдар:

Дәрежелі – көрсеткіштік функция.

Бұл көріністегі функцияларды дифференциалдау үшін әуелі теңдікті логарифмнен алынады да одан кейін теңдікті дифференциалданады.

Мысал:

Лекция 9

9. Тақырыбы: Функцияны туынды арқылы зерттеу

және оның графигін сызу.

Жоспар:

1. Функцияның монотондық аралықтарын табу.

2. Функцияның экстремумдерін табу.

3. Асимптоталарды табу.

4. Функция графигін сызу.

Y=f(x) функциясын зерттеу үшін ол функцияның анықталу обылысының кейбір нүктелерінде, кейбір интервалдарында қандай қасиеттерге ие болуын функциянығ туындысы жәрдемінде оңай анықтауға болады екен.

Төменде берілген функцмяны туынды арқылы зерттеп соңында графигін сызамыз

Мысал .y=x+функциясын зерттеп оның графигін Эскизын сызу керек

1. Функцияның анықталу обылысын табамыз.

Берілген функция x=0 ден бөлек ох өсіндегі барлық нүктелерде анықталған, x=0 нүктесінде график түзіледі.

1. Функциянығ жұп –таұтығын анықтау f(-x)=f(x) болса жұп, f (-x)=-f(x) болса тақ функция болады

Y=f (x) =x+ f (-x)=-x+

F (-x)=-f (x) болғандыұтан ол тақ функция екен.

3. ox және oy өстерімен графиктің қиылысу нүктелерін табу

x²+4≠0 болғандықтан график ОХ өсімен қиылыспайды;

ОУ; х0 (1-пунктке қара), яғни ОУ - өсімен де функция графигі қиылыспайды.

4.Асимптоталарын табу.

1. Горизонтал асимптотаны табу үшін оны у=кх+в деп аламыз.

K=

Горизонтал асимтота теңдеуі: у=x

1. Вертикаль асимптота.

болғандықтан х=0 түзуі вертикаль асимптота болуы келіп шығады.

1. Функцияның max, min. нүктелерін, өсетін және кемитін аралықтарын анықтау.

Функция туындысын нөлге теңдей стационар нүктелерді анықтаймыз:

Табылған стационар нүктелер max немесе min нүкте болуы үшін бұл нүктелердің аймағында у’ тің таңбалары әр түрлі болуы керек.

де функция өспелі, де функция кемуші, x=2-max нүкте болады.

де кемуші, де өспелі, x=2-min нүкте болады.

6. Функция графигінің дөң немесе ойық болатын аралықтарын табу.

Екінші ретті туындыны табамыз.

де дөң,

де ойық.

Алынған мәліметтер жәрдемінде функция графигінің эскизын сызамыз:

Лекция 10.

10. Тақырыбы: Функция туындысын қолдануға мәселелер.

Жоспары:

1. Функция графигіннің жанамасын табу.

2. Туындының механикалық мағынасы.

3. Лопиталь ережесі.

1. Функция графигінің жанамасын табу. у=ƒ(х) функция х₀ нүктеде анықталған, және туындысы ƒ^‛(х₀) бар болса, онда графиктің (х₀; ƒ(х₀)) нүктесіне сызылған жанама теңдеуі

у= ƒ^‛(х₀) (х-х₀)+ ƒ(х₀) көріністе болады

Мысал: у=х²+2 параболаның х=1 нүктесі арқылы өтетін жанама теңдеуін табу керек.

Шешуі: х₀=1, ƒ(х₀)=ƒ(1)=у(1)=1²+2=3

у^‛= ƒ^‛(х)=(х²+2)^‛=2х; ƒ^‛(1)= 2•1=2

у=2(х-1)+3=2х-2+3=2х+1 Жауабы: у=2х+1

2. Жылдамдық туралы есеп=() болса,

Материалдық нүкте S=S(t) заңмен түзу бойынша қозғалғанда, оның жылдамдығы =’S(t) (белгілі бір t₀ моменттегі жылдамдық), үдеуі а=^‛(t) = S’’(t) теңдеулері арқылы есептеледі.

Мысал: S=3t²+4t-1(м) заңмен қозғалған материалдық нүктенің t=2сек моменттегі жылдамдығын анықтау керек.

Шешуі: = S^'=(3t²+4t-1)=6t+4

(2) =6•2+4=12+4=16 Жауабы: 16 м/сек

3. Лопиталь ережесі

1. = болса, = орынды болады

Мысал =()=

2.

= болады.

Мысал.

Ескерту. анықталмағандықтарын немесе түріндегі анықталмағандықтарға келтіріп Лопиталь ержесін қолдауға болады.

Мысал.

16