Тема:КИНЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ КАЛИНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

КАЛИНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ

ПРОФЕССИОНАЛЬНая ОБРАЗОВАтельная организация

«колледж информационных технологий и строительства»

Методические указания

для решения задач по дисциплине «Физика»

Тема: Кинематика

для специальности 080201 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений

Разработал преподаватель К.В. Наливайко

Калининград, 2018

Тема: Кинематика

Цели:

Образовательная: Применение теоретических знаний для выполнения практических задач

Развивающая: развивать способности анализировать, сравнивать и делать необходимые выводы (ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их выполнение и качество).

Воспитательная: воспитывать устойчивый интерес к специальности (ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес)

Межпредметные связи: ОП 04 Техническая механика

1.Основные понятия, законы, формулы Механическое движение - это изменение положения тела относительно других тел в пространстве с течением времени. В любом механическом движении всегда участвуют не менее двух тел. Одно из них условно принимают за неподвижное тело отсчета и по отношению к нему определяют механическое состояние всех остальных тел. Материальная точка – тело, размеры и форму которого можно не учитывать при описании его движения и массу которого можно считать сосредоточенной в точке. Тело отсчета - тело, относительно которого определяется положение данного тела. Движение материальной точки характеризуют траекторией, длиной пути, перемещением, скоростью, ускорением. Траектория – это линия, вдоль которой движется тело в данной системе отсчета. Путь – скалярная величина, равная длине участка траектории между начальным и конечным положением тела. Перемещение – это вектор, соединяющий начальное и конечное положение движущейся точки.

Положение материальной точки в декартовой системе координат определяется кинематическими уравнениями движения: системой скалярных уравнений

или эквивалентным ей векторным уравнением

Поступательное движение тела – движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом и проведенная через две произвольные точки данного тела, остается параллельной самой себе.

Скорость – векторная величина, определяющая быстроту движения и его направление в данный момент времени. Средняя скорость – векторная величина, определяемая отношением приращения радиус-вектора Δr точки к промежутку времени Δt, в течение которого это приращение произошло. Мгновенная скорость - векторная величина, определяемая первой производной радиус-вектора движущейся точки по времени .

Ускорение – характеристика неравномерного движения, определяющая быстроту изменения скорости по модулю и направлению. Среднее ускорение – векторная величина, равная отношению изменения скорости _Δv к интервалу времени _Δt, в течение которого это изменение произошло . Мгновенное ускорение определяется первой производной скорости по времени .

Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по модулю, направлена по касательной к траектории . Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению, направлено к центру окружности .

Полное ускорение при криволинейном движении определяется геометрической суммой тангенциальной и нормальной составляющих ускорения.

Равномерное движение - движение, при котором тело за равные промежутки времени проходит равные расстояния.

Равномерное прямолинейное движение

а=0

Равнопеременное движение – движение, при котором скорость за одинаковые промежутки времени изменяется на одну и ту же величину.

Свободное падение тел – движение, которое совершало бы тело только под действием силы тяжести без учета сопротивления воздуха

Вращательное движение тела – движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Быстрота вращения тела характеризуется угловой скоростью, которая равна производной от угла поворота радиус-вектора по времени: .

Угловое ускорение - это производная от угловой скорости по времени: . Вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости: при ускоренном вращении угловое ускорение направлено так же, как и угловая скорость, при замедленном – противоположно ей.

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Связь между линейными (длина пути S, пройденного точкой по окружности радиуса R, линейная скорость υ, тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами ( угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε ) выражается следующими формулами:

S = Rφ, υ = Rω, =Rε, = ω²R.

Основные формулы кинематики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:

уравнение равномерного вращательного движения ;

уравнение равнопеременного вращательного движения ; зависимость угловой скорости от времени при равнопеременном движении . Эти формулы сопоставляются с аналогичными зависимостями для поступательного движения.

Как решать задачи по кинематике? Не существует универсального метода решения задач по физике, но существует универсальный подход к решению задач. Во – первых необходимо выделить три больших этапа: 1. Постановка задачи; 2. Решение задачи; 3. Анализ решения. Постановка задачи – наиболее важный, а в наших задачах, и наиболее трудный этап. Мы должны понять физику явления, сформулировать физическую модель, а затем перевести ее в математическую. Конечным результатом этого этапа должна быть система уравнений и неравенств. При решении задач по кинематике этот этап разбивается на четыре ступени: 1.Внимательно, не торопясь, прочитайте условие задачи. Подумайте, о каком физическом явлении идет речь. Какие физические величины известны, а какие надо найти? 2.Изобразите на рисунке (схематически) рассматриваемые тела, изобразите их движения.

3.Выберите систему координат. Удобно для решения одну из осей направлять по движению тела, т.е. она должна совпадать с направлением скорости.

Для описания прямолинейного движения достаточна одна координатная ось, совмещенная с траекторией движения. Если движение происходит в одной плоскости, то потребуются две оси, для 3-х мерного движения необходима 3^х мерная система координат.

Выбор системы отсчета произволен и не влияет на конечный результат решения задачи. Но удачный выбор системы отсчета упрощает решение задачи. 

4.Назовите вид движения тел. Запишите кинематические уравнения для каждого тела. Число уравнений должно быть равно числу неизвестных величин. Получится система уравнений.

5. Решите систему уравнений в общем виде. Затем найдите искомые величины в буквенном виде.

6. Подставьте в буквенный ответ числовые значения заданных физических величин с наименованием их единиц. Предварительно надо выразить все числовые значения в одной системе единиц С.И. Выполните вычисления и получите ответ.

7.Проанализируйте ответ, чтобы исключить ошибку в полученном результате.

Примеры решения задач

Задача 1 Тело движется равномерно вдоль оси Х. Со скоростью V=2 м/с противоположно положительному направлению оси Х. Найдите положение тела в момент времени t₁=10 с после начала движения, еслиначальная координата x₀=5 м. Чему равен путь, пройденный телом? 

Дано: Решение

v=2 м/с 

t₁=10 с 

x₀=5 м 

x(t₁)=s(t₁)=?

Из условия задачи видно, что физической моделью задачи является материальная точка, двигающаяся по прямой с постоянной скоростью. Математической моделью такого процесса является математическое уравнение для координат материальной точки: x=x₀+ v_xt. По условию задачи v_x=-v и формула для координаты принимает вид: x=x₀ - vt Пройденный телом путь равен s= vt. В этих уравнениях t – параметр, переменная величина. Уравнения показывают, как изменяется координата материальной точки и пройденный ею путь со временем t. Можно для большей ясности писать x(t) и s(t). Смотрим в условие задачи, что нам нужно найти.

Координату и пройденный путь в момент времени t₁. Надо подставить вместо t еечисленное значение t₁ и подсчитать численный ответ.

Обратите внимание, t - переменная величина, а t₁ – число.

Итак, мы имеем: x(t₁)= x₀ – vt₁=5 м – 2 м/с·10 с=-5м.

Пройденный телом путь равен s(t₁)= vt₁=2 м/с·10с=20 м.

Ответ: x(t₁)= -15м. Задача 2 Из пунктов А и В, расстояние между которыми  l=55 км, одновременно начали двигаться с постоянными скоростями навстречу друг другу по прямому шоссе два автомобиля. Скорость первого автомобиля v₁=50 км/ч, а второго v₂=60 км/ч. Через сколько времени после начала движения автомобили встретятся? Найдите пути, пройденные каждым автомобилем за это время. 

Дано: l=55 км  v1=50 км/ч  v2=60 км/ч
t1=? s1=?
Решение. Представим движение автомобилей как движение материальных точек.  Примем пункт А за начало координат и направим координатную ось Х в сторону пункта В (см.рис.). Движение автомобилей будет описываться уравнениями: x1(t)=x01 + v1xt, x2(t)=x02 + v2xt. Начальные условия: x01=0, x02=l. Так как вектор скорости первого автомобиля направлен в положительном направлении, а второго – в отрицательном, то v1x= v1, v2x=-v2. Поэтому первые два уравнения перепишем в виде: x1(t)=v1t, x2(t)=l – v2t. Когда в момент времени t1 автомобили встретятся, они будут иметь равные координаты: x1(t1)=x2(t1), или v1t1=l – v2t1. Откуда t1=l/(v1 + v2)=0,5 ч. Пройденные пути равны s1=v1t1=25 км, s2=v2t1=30 км. Ответ: t1=0,5 ч.

Задача 3 Движение точки на плоскости описывается уравнениями х=6 м + 3 м/с ·t, y=4 м/с ·t. Определить траекторию движения точки и построить ее на плоскости XOY.  Решение. Исключим из обоих уравнений параметр t. Для этого выразим время из первого уравнения и подставим во второе, получим: y=4x/3 – 8 м. Это уравнение прямой линии с угловым коэффициентом 4/3 и пересекающая ось OY в точке –8. Можно построить ее по точкам,  при х=0 y=-8 м, а при y=0 х=6 м.  Направление скорости движения точки укажем стрелкой. 

Задача 4 На рисунке изображен график зависимости координаты точки, движущейся вдоль оси Х, от времени. Как двигалась точка? Постройте графики модуля v и проекции vxскорости, а также пути в зависимости от времени.  Решение. В течение первых 3 с координаты точки изменялись от 2 м до – 4 м, следовательно, точка двигалась противоположно положительному направлению оси ОХ. Проекция скорости равнаV1x=(- 4 – 2 )/ 3 =- 2 м/c, А модуль скорости равен  v1=2 м/с.  Следующие 4 с точка не двигалась. Ёе координаты не изменялись, v2x= v2=0. Потом в течение 2 сточка двигалась в положительном направлении оси ОХ и пришла в начало координат (х=0). Проекция и модуль скорости соответственно равны: v3x= v3=(0 – (-4))/2 =2 м/с. На рисунке «а» изобразим график проекции скорости. На рисунке «б» – график модуля скорости, а на рисунке «в» - график пути. При построении графика пути не забывайте, что путь не может быть отрицательным и при движении не убывает.  а) б) в)

Задача 5 С подводной лодки, погружающейся равномерно, испускаются звуковые импульсы длительностью t₁=30,1 с. Длительность импульса, принятого на лодке после его отражения от дна, равна t₂=29,9 с. Определите скорость погружения лодки v. Скорость звука в воде с=1500 м/с.  Дано: Решение. t₁=30,1 с Звуковой импульс не является материальной частицей, однако уравнения t₂=29,9 с движения звукового импульса такие же, как и у материальной точки, с=1500 м/с. поэтому можно применять законы кинематики материальной точки.  V -? За время t₁ лодка переместится на расстояние vt₁, поэтому расстояние L=ct₁ – vt₁. Такая длина сигнала сохранится и после отражения от дна. Прием импульса закончится в тот момент, когда лодка встретится с задним концом импульса. Поскольку скорость их сближения равна с + v, то продолжительность приема будет равна t₂=L/(c + v). Решая эти уравнения совместно, получим: L=ct₁ – vt₁ = t₁(c– v) L= t₂* (c + v), следовательно, t₁(c– v) =(c + v) t₂. Выполнив математические преобразования получим v= с (t₁- t₂ ) / t₁+ t₂ = 1500(30,1 – 29,9)/30,1 + 29,9 =300/60 =5 м/с. Ответ: v= 5 м/с.

Задача №6

Опишите, как движутся автобусы, если их движение описывается графиками, изображенными на рисунке. Найдите начальные координаты, модули скоростей, напишите уравнения зависимости , найдите место и время встречи.

Определим вид движения каждого тела. Первое и второе тела движутся прямолинейно равномерно в соответствии с функцией Найдем место встречи и время встречи тел. Ответ:

Задача 7.

За какое время автомобиль, двигаясь из состояния покоя с ускорением 0,5 м/с², пройдет путь 100 м?

Дано: м/с2 м

Решение: Движение прямолинейное равноускоренное , т.к. Ответ:

Задача 8.

Скорость поезда, движущегося под уклон, возросла с 15 м/с до 19 м/с. Поезд прошел при этом путь 340 м. С каким ускорением двигался поезд, и сколько времени продолжалось движение под уклон?

Дано: м/с м/с м

Решение: Ответ:

Задача 9.

Камень свободно падает с высоты 80 м, какова скорость камня в момент падения на землю? Сколько времени продолжалось свободное падение?

Дано: м м/c2 м/с2 I способ. II способ.

Решение При решении задач на свободное падение удобно за началосистемыкоординат взять связанную с Землей точку, из которой началось падение,тогда при любой высоте падения начальная координата известна: . Ответ:

Задача10.

Тело падает с некоторой высоты и проходит последние 196 м пути за 4 с. С какой высоты и сколько времени падало это тело?

Дано:

м

c

м/c²

м/с²

- конечная скорость для первого участка

	Ответ:

Задачи для самостоятельного решения. 1.Сколько времени длится разгон автомобиля, если он, двигаясь с ускорением 0,5м/с², увеличил свою скорость от 10м/с до 20м/с? 2.Тело переместилось из точки с координатами Х₁ = 1м, У₁ = 3м в точку с координатами Х₂ = 4м, У₂ = -1м. Сделать чертеж, определить перемещение тела и его проекции на оси. 3.Движение двух велосипедистов заданы уравнениями: Х₁ = 4t + 0,4t² (м) и Х₂ = 160 – 8 t (м). Как двигались велосипедисты? Найти время и место встречи. 4.Движение точки на плоскости описывается уравнениями: Х= 8+4t(м), У=2t(м). Определить траекторию движения точки и построить ее на плоскости ХОУ. 5.Координаты точки при равномерном прямолинейном движении на плоскости ХОУ за время t=2с изменилось от начальных значений Х₀=6м и у₀= 8м до значений Х=-2м, У=2м. Определить скорость движения точки. Изобразить вектор скорости. 6. При свободном падении тело достигает поверхности земли через 5 с. Какова скорость тела в момент падения, и с какой высоты оно падало, если начальная скорость тела равна нулю? 7.Тело свободно падает из состояния покоя с высоты 80 м. Каково его перемещение в первую и последнюю секунду падения?

8. Трамвай, двигаясь равномерно со скоростью 15 м/с , начинает торможение. Чему равен тормозной путь трамвая, если он остановился через 10с?

9.Тело, двигаясь без начальной скорости, прошло за первую секунду 1 м, за вторую – 2м, за

Литература:

1. Дмитриева В.Ф. Физика: учебник. – М.: «Академия» 2015

2. Дмитриева В.Ф. Задачи по физике: учеб.пособие. – М.:«Академия» 2014

3. Шевцов В.П. задачи и вопросы по физике с решениями и ответами Ростов – на- Дону «Феникс» 2007

4. http://www.schoolbase.ru