Два способа решения одной непростой задачи динамики твердого тела

ГБОУ 517 СПБ Поздняк Н.И.

Два способа решения одной интересной задачи динамики твердого тела

В школьной физике почти не рассматриваются задачи о вращательном движении твердого тела в пространстве сразу в двух плоскостях. Методы решения подобных задач расширяют возможности учащихся при решении сложных задач физики.

Предлагаемую задачу можно решить, используя готовые формулы, не объясняя ничего. Однако, решая задачу подробно с доказательством всех шагов, имеет принципиальное значение для понимания всего раздела динамики твердого тела. Движение твердого тела в пространстве существенно сложнее, чем просто поступательное движение некой материальной точки. Решение подобных задач являются наиболее эффективным способом усвоения трудных теоретических разделов механики и физики вообще.

В предлагаемой задаче рассматривается вращательное движение конуса относительно двух осей: вертикальной и горизонтальной.

Задача о вращении конуса.

Круглый конус радиусом R и углом при вершине 2α катится по плоской поверхности без скольжения относительно неподвижной вертикальной оси и при этом сам вращается относительно собственной оси. Вершина конуса точка-О лежит на высоте R от горизонтальной плоскости на вертикальной оси. Линейная скорость движения центра основания конуса равна V. Найти

модули угловой скорости ω и углового ускорения β, если R=5см. α=30 град., V=10см⁄с.

Решение:

Вначале рассмотрим в общем виде вращение твёрдого тела вокруг

неподвижной вертикальной оси. Считается, что для описания движения

всего твердого тела достаточно рассмотреть движение его любой

материальной точки.

Пусть движение материальной точки М описывается радиусом вектора

r и эта точка за время dt совершит бесконечно малый поворот dφ,

Его модуль равен углу поворота |dφ|, а направление вектора dφ по вертикальной оси ОО₁ определяется правилом правого винта. Следует заметить, что dφ рассматривается как вектор лишь для бесконечно малого поворота. Его называют свободным псевдовектором, имеющим величину и направление, но не имеющим точки приложения.

Элементарное линейное перемещение произвольной точки М при повороте равно:

|dr|= r Sinα dφ, т.е. dr=dφ x r

Это равенство справедливо лишь для бесконечно малого поворота dφ, когда r почти не изменяется.

Действительно, для конечного поворота Δφ линейное перемещение

точки М равно:

|Δr|=r Sinα2SinΔφ/2,

т.к. ρ=r Sinα и Δr/2= ρ SinΔφ/2, где – расстояние по горизонтали от вертикальной оси до рассматриваемой точки М

Т.е. Δr нельзя представлять как векторное произведение Δφ и r.

Если твердое тело совершает одновременно два элементарных поворота dφ₁ и dφ₂ вокруг различных осей, проходящих через одну неподвижную точку О на вертикальной оси, тогда результирующее перемещение dr произвольной точки тела относительно точки О можно представить так:

dr = dr₁ + dr₂ = dφ₁ x r + dφ₂ x r или

dr = dφ x r, где dφ = dφ₁ + dφ₂

Т.е. два элементарных поворота dφ₁ и dφ₂ можно заменить на один dφ,

проходящим через точку О, что имеет место в нашей задаче.

Вектор dφ является аксиальным, ибо связан с направлением вращения.

По определению угловая скорость есть:

ω = dφ/dt

Направление вектора ω совпадает с направлением dφ и также является аксиальным псевдовектором.

По условию задачи угловая скорость вращения конуса вокруг собственной оси есть:

ω₁ =dφ₁/dt

Угловая скорость вращения самого конуса вокруг вертикальной оси есть:

ω₂= dφ₂/dt

Двойное вращение конуса можно рассматривать как вращение с одной

угловой скоростью ω равной

ω = ω₁ + ω₂

Образующая конуса и является мгновенной осью, так как

точка О неподвижна, а точка А лежит на горизонтальной плоскости и

также неподвижна по отношению к конусу.

Модуль угловой скорости можно найти из соотношения:

ω² = ω₁² + ω₂²

По условию, конус катится без проскальзывания, а, следовательно, линейная скорость перемещения точек конуса относительно вертикальной оси одинакова и равна V.

Связь линейной и угловой скоростей имеет вид:

V= ω R

В задаче: R – радиус основания конуса, а Rctgα высота конуса, которая является радиусом вращательного движения конуса по горизонтальной плоскости. При этом, псевдовектор dω₂ направлен вертикально по оси ОО_1, тогда:

ω₂ = V/Rctgα

Точки на окружности с радиусом R основания конуса имеет одинаковую линейную скорость V, так как нет проскальзывания конуса на горизонтальной поверхности стола, Тогда угловая скорость ω₁ равна:

ω₁ = V/R

и его псевдовектор dω₁ направлен по горизонтали.

Теперь можем получить первый ответ:

ω² = (V/R)² + (V/Rctgα)² или ω = V/Rcosα

Так как V = 10 см/с, R = 5см и α = 30 град.

Получим:

ω = 10см/5см Cos30⁰ = 4/√3, рад/с

Конус совершает одновременно два вращательных движения, поэтому

для нахождения модуля углового ускорения β следует связать его с

угловыми скоростями ω₁ и ω₂.

Вектор углового ускорения β, как и вектор угловой скорости ω, является

свободным аксиальным псевдовектором, имеющим величину и

направление, но не имеющий точки приложения. Его направление

совпадает с вектором угловой скорости.

По определению углового ускорения имеем:

β= dω/dt

Выведем формулу для вычисления модуля углового ускорения.

Выше, достаточно определенно, было получено соотношение:

dr = dφ x r

Сначала выведем аналогичное более общее соотношение для любого

вектора, совершающего вращение относительно оси.

Пусть в некоторой точке-О твердого тела связан ортонормированный

базис

е₁, е₂, е₃ ( т.е. векторы взаимно перпендикулярны и равны единице).

Движение твердого тела, а для упрощения движение материальной точки

А, можно задать функциями:

r(t), e₁(t), e₂(t), e₃(t), ρ(t), где r(t) = ρ + r₀ и

ρ(t) = a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃ и где а₁, а₂, а₃ - константы

Продифференцируем вектор r(t) по dt

dr/dt = dr_o/dt + dρ/dt

Из теоретической механики следует:

Лемма 1.

Для каждого базисного вектора e_k(k=1, 2, 3,) выполняется соотношение:

de_k/dt = ω x e_k

Лемма 2.

В любой момент времени существует такой вектор ω, что для любого

вектора, связанного с твердым телом (ρ = ОА) справедливо соотношение:

dρ/dt = ω x ρ

Докажем Лемму 2:

Продифференцируем ρ(t) по dt:

dρ/dt = d(a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃)/dt = a₁de₁/dt + a₂de₂/dt + a₃de₃/dt

с учетом Леммы 1 получим:

dρ/dt =k(ω х ρ) = ω х ke_к = ω х ρ

Используя Лемму 2, вычислим модуль вектора β:

β = dω/dt = dω₁/dt + dω₂/dt ,

но по условию задачи ω₂ = const (равномерное вращение вокруг

вертикальной неподвижной оси), а значит dω₂/dt = 0 и тогда:

β = dω₁/dt

Вектор ω₁ вращается с угловой скоростью ω₂ и в соответствии с

Леммой 2 имеем:

dω₁/dt = ω₂ х ω₁ ,

в итоге: β = ω₂ х ω₁ , или |β| = ω₂ω₁sin(ω₂^ω₁)

Так как: ω₁ и ω₂ - взаимно перпендикулярны между собой, то:

Sin(ω2^ω1) = 1

Окончательно получим формулу для модуля углового ускорения β:

|β| = ω₂ω₁ .

Ранее было получено:

ω₁ = V/R и ω₂ = V/Rctg α

Таким образом:

|β| = (V/R)(V/Rctgα)=(V/R)²tg α

Подставим численные значения:

|β| = (10/5)² tg 30° = 4/√3 = 2,3 рад/с

Ответ: |ω| = 2,3 рад/с, |β| = 2,3 рад/с

Задачу с конусом решим другим способом.

У конуса, при его относительном движении, имеется две неподвижные точки. Это точка касания основания конуса с горизонтальной плоскостью и точка вершины конуса, расположенной на высоте R неподвижной вертикальной оси, относительно которой вращается конус. Данные точки принадлежат образующей конуса, которую можно принять за мгновенную ось вращения, т.к. движение конуса происходит без проскальзывания.

Теперь представим, что заданный конус катится относительно вертикальной оси по горизонтально расположенному неподвижному второму конусу высотой R и радиусом основания равному Rctgα.

В результате, мгновенная ось перемещается по горизонтальному

аксоиду(конусу) и одновременно принадлежит, вращаемуся вокруг

собственной оси, конусу.

Пусть угловая скорость вращения конуса относительно вертикальной оси

равна ω₂ (переносное вращение), а собственная угловая скорость вращения конуса вокруг своей оси равна ω₁ (относительное вращение).

По условию задачи линейная скорость центра основания конуса (точка О₁)

равна V.

Элементарное угловое перемещение точек конуса вокруг горизонтальной

оси с угловой скоростью ω₁ можно характеризовать бесконечно малым

вектором dω₁ , который является псевдовектором.

Элементарное угловое перемещение конуса вокруг вертикальной оси можно

характеризовать бесконечно малым вектором dω₂ .

Вращательное движение конуса относительно сразу двух осей можно

описать с помощью всего одного вектора dω, который направлен вдоль

мгновенной оси.

Направление указанных векторов определяют по правилу правого буравчика

Так как конус перемещается без проскальзывания, то линейная скорость V для двух одновременных вращений одинакова и можно написать:

ω₁= V/R и ω₂ = V/Rctgα, а так как ω = ω₁ + ω₂ , то

|ω| =(ω²_{1 +} ω²₂)^0,5 и |ω|= = V/Rcosα

По определению угловое ускорение есть

dω/dt, где ω = ω₁ + ω₂

Пусть мгновенная ось ОА вращается по неподвижному аксоиду и повернется на конечный элементарный угол Δφ от точки А к точке В. Угловая скорость при этом изменится на величину Δω. По аналогии с понятным соотношением:

Δr = rΔφ,

можно записать: Δω = ωΔφ,

а так как Δφ = ω₂Δt - элементарный поворот относительно вертикальной

оси. В результате имеем:

Δω = ω₁ω₂Δt

Разделим на Δt и перейдем к пределу при Δt0

Lim Δω/Δt = dω/dt = ω₁ ω₂

Δt0

Так как ω₂ = const (не изменяется по величине и направлению), то:

= =

В итоге получен результат, что приведен выше:

|β| = = = ω₁ω₂, и окончательно:

|β| =()()

Ответ: |ω| = , |β| =()²

Не привожу ссылок, иначе пришлось бы в первую очередь сослаться на И.Ньютона. Тем не менее, спасибо всем авторам учебников по физике. Email: [email protected]

Поздняк Н.И. ГБОУ 517 СПБ.

8