Доклад на МО естественно-математического цикла по теме "Метод замощения в пространстве, как один из методов квазикристаллов на уроках физики"

Доклад с презентацией на МО по теме:

«Метод замощения плоскости в пространстве, как один из методов изучения квазикристаллов на уроках физики в 10-11 классах»

Шаронова С.М.

учитель физики

В словаре у Даля - замостить что, мостить сплошь или покрывать мостовою; застилать досками, брусьями, камнем. -ся , быть замащиваему. Я замостился, вымостился, замостил около себя или свой участок. Замащиванье ср. , длит. замощенье окончат. замост муж. замостка жен. , об. действие по глаг. Замостье ср. место или пространство за мостом.

Для своих учеников я предложила один способ решения задач о непериодичном замощении плоскости фигурами одной формы. Провела исследование двух ученых из Университета Дьюка (США) и мне понравилсв вариант непериодичной мозаики, полностью покрывающей плоскость, с использование плиток одной формы.

Впервые набор плиток состоял из 20426 фигур, которые представил Робетр Бергер в 1966 году. Через некоторое время их число он сократил до 104. В 70-х годах ХХ века Пенроуз представил решение своей мозаикой и использовал 2 различные фигуры. Нашла интересное решение у Дмитрия Сафина, который использовал для своей мозаики одну фигуру – правильный шестиугольник. При укладке таких плиток черные линии не должны прерываться, а флажки в вершинах шестиугольников, которые находятся на расстоянии, равном длине одной стороны плитки (на рисунке отмечены стрелками), должны смотреть в одну сторону. Здесь использовались две различные раскраски: вторая получается при отражении первой относительно вертикальной линии. Без второго варианта раскраски, впрочем, можно обойтись, если плитку сделать трехмерной. Замощение плоскости такими плитками (показано на одном из расположенных ниже рисунков) для удобства представления те флажки на шестиугольниках, которые смотрят влево, заменены здесь фиолетовыми линиями, а флажки другого типа — красными.

Также приведены примеры плиток, которые дают непериодичное замощение при учете одной лишь их формы: в этом случае пропадает необходимость устанавливать правила соединения, связанные с раскраской. В двумерном варианте такие плитки состоят из нескольких изолированных областей, но в трехмерной версии все их части связаны друг с другом.

Далее просмотрела ещё один интересный способ замощения у матеметиков из Австралии Джона Тэйлора и Джошуа Соколара. Они смогли решить задачу так называемой одной плитки. Один из самых простых примеров – гексагональное замощение, когда плоскость, подобно сотам, составляется из шестиугольников, которые соединяются по сторонам. В гексагональном случае это, к примеру, вектор, который соединяет центры соседних ячеек, которые имеют шесть углов. В процессе новой работы математики решали проблему строения непериодического замощения при помощи всего лишь одной плитки. Модель полученной ячейки шестиугольная, но благодаря особенной раскраске замощение получается непериодическим. Помимо задачи двумерной, математики предлагают 3-хмерный аналог своего собственного результата.

Помимо практических приложений теория замощения это источник вдохновения у художников. К примеру, Мауриц Эшер (художник из Нидерландов) при помощи необычных замощений создавал целые картины. В основе его картины «Восемь голов» лежит прямоугольное замощение. Этот художник выполнял рисунки по геометрическим фигурам, где можно проследить использование замощения фигур и не только одной фигурой, а множеством других. Ученики оценили всю прелесть замощения разными фигурами, принесли огромную подборку рисунков художника, пробовали выполнять работы по заданиям в виде рисунков.

Ниже представлены разные рисунки по заданной теме.

Из истории

Квазикристалл — твёрдое тело, характеризующееся симметрией, запрещённой в классической кристаллографии, и наличием дальнего порядка. Обладает наряду с кристаллами дискретной картиной дифракции.

Квазикристаллы наблюдались впервые Данoм Шехтманом в экспериментах подифракции электронов на быстроохлаждённом сплаве Al₆Mn, проведенных 8 апреля 1982 года, за что ему в 2011 году была присвоена Нобелевская премия по химии. Первый открытый им квазикристаллический сплав получил название «шехтманит» (англ. Shechtmanite). Статья Шехтмана не была принята к печати дважды и в сокращённом виде была в конце концов опубликована в соавторстве с привлечёнными им известными специалистами И. Блехом, Д. Гратиасом и Дж. Каном. Полученная картина дифракции содержала типичные для кристаллов резкие (Брэгговские) пики, но при этом в целом имела точечную симметрию икосаэдра, то есть, в частности, обладала осью симметрии пятого порядка, невозможной в трёхмерной периодической решётке. Эксперимент с дифракцией изначально допускал объяснение необычного явления дифракцией на множественных кристаллических двойниках, сросшихся в зёрна с икосаэдрической симметрией. Однако вскоре более тонкие эксперименты доказали, что симметрия квазикристаллов присутствует на всех масштабах, вплоть до атомного, и необычные вещества действительно являются новой структурой организации материи.

Позднее выяснилось, что с квазикристаллами физики сталкивались задолго до их официального открытия, в частности, при изучении дебаеграмм, полученных по методу Дебая-Шерера от зёрен интерметаллидов валюминиевых сплавах в 1940-х годах. Однако в то время икосаэдрические квазикристаллы были ошибочно идентифицированы как кубические кристаллы с большой постоянной решетки. Предсказания о существованииикосаэдрической структуры в квазикристаллах были сделаны в 1981 году Кляйнертом и Маки.

В настоящее время известны сотни видов квазикристаллов, имеющих точечную симметрию икосаэдра, а также десяти-, восьми- и двенадцатиугольника.

Атомная модель Al-Pd-Mn квазикристалла

СТРУКТУРА

Детерминистические и энтропийно-стабилизированные квазикристаллы

Существует две гипотезы о том, почему квазикристаллы являются (мета-)стабильными фазами. Согласно одной гипотезе, стабильность вызвана тем, что внутренняя энергия квазикристаллов минимальна по сравнению с другими фазами, как следствие, квазикристаллы должны быть стабильны и при температуре абсолютного нуля. При этом подходе имеет смысл говорить об определённых положениях атомов в идеальной квазикристаллической структуре, то есть мы имеем дело с детерминистическим квазикристаллом. Другая гипотеза предполагает определяющим вклад энтропии в стабильность. Энтропийно стабилизированные квазикристаллы при низких температурах принципиально нестабильны. Сейчас нет оснований считать, что реальные квазикристаллы стабилизируются исключительно за счёт энтропии.

Многомерное описание

Детерминистическое описание структуры квазикристаллов требует указать положение каждого атома, при этом соответствующая модель структуры должна воспроизводить экспериментально наблюдаемую картину дифракции. Общепринятый способ описания таких структур использует тот факт, что точечная симметрия, запрещённая для кристаллической решетки в трёхмерном пространстве, может быть разрешена в пространстве большей размерности D. Согласно таким моделям структуры, атомы в квазикристалле находятся в местах пересечения некоторого (симметричного) трёхмерного подпространства R^D (называемого физическим подпространством) с периодически расположенными многообразиями с краем размерности D-3, трансверсальными физическому подпространству.

«Правила сборки»

Многомерное описание не даёт ответа на вопрос о том, как локальные межатомные взаимодействия могут стабилизировать квазикристалл. Квазикристаллы обладают парадоксальной с точки зрения классической кристаллографии структурой, предсказанной из теоретических соображений (мозаики Пенроуза). Теория мозаик Пенроуза позволила отойти от привычных представлений о федоровских кристаллографических группах (основанных на периодических заполнениях пространства).

МЕТАЛЛУРГИЯ

Получение квазикристаллов затрудняется тем, что все они либо метастабильны, либо образуются из расплава, состав которого отличается от состава твёрдой фазы (инконгруэнтность).

НАТУРАЛЬНЫЕ

Породы с природными Fe-Cu-Al-квазикристаллами найдены на Корякском нагорье в 1979 году. Однако только в 2009 году учёные из Принстона установили этот факт. В 2011 году они выпустили статью^[5], в которой рассказали, что данный квазикристалл имеет внеземное происхождение^[6]. Летом того же 2011 года в ходе экспедиции в Россию минералоги нашли новые образцы природных квазикристаллов.

СВОЙСТВА

Первоначально экспериментаторам удалось попасть в очень узкую «температурную щель» и получить квазикристаллические материалы с необычными новыми свойствами. Однако позже обнаружены квазикристаллы в системе Al-Cu-Li и других системах, которые могут быть устойчивыми вплоть до температуры плавления и расти практически при равновесных условиях, как и обычные кристаллы.

Электрическое сопротивление в квазикристаллах, в отличие от металлов, при низких температурах аномально велико, а с ростом температуры уменьшается. В слоистых квазикристаллах, вдоль оси упаковкиэлектросопротивление ведет себя как в нормальном металле, а в квазикристаллических слоях — описанным выше образом.

• Магнитные свойства. Большинство квазикристаллических сплавов — диамагнетики, однако сплавы смарганцем — парамагнетики.

• Механические свойства. Упругие свойства квазикристаллов ближе к упругим свойствам аморфных веществ, чем кристаллических. Они характеризуются пониженными по сравнению с кристаллами значениями упругих модулей. Однако квазикристаллы менее пластичны, чем сходные по составу кристаллы и, вероятно, они смогут играть роль упрочнителей в металлических сплавах.

КВАЗИКРИСТАЛЛ

особый тип упаковки атомов в твердом в-ве,характеризующийся икосаэдрической (т. е. с осями 5-го порядка) симметрией, дальним ориентационнымпорядком и отсутствием трансляционной симметрии, присущей обычному кристаллическому состоянию.Квазикристалл им. упаковка атомов была открыта в быстро охлажденном металлическом сплаве Аl₆ Мn(1984) и затем обнаружена в системах Al-Fe, Ni-Ti и др. Обычные кристаллы обладают трехмернойпериодичностью в расположении атомов, исключающей возможность существования осей симметрии 5гопорядка. В аморфном (стеклообразном) состоянии возможны локальные группировки атомов с икосаэдрич.симметрией, но во всем объеме аморфного тела нет дальнего порядка в расположении атомов  нитрансляционного, ни ориентационного. К. может рассматриваться как промeжут. тип упорядоченностиатомов между истинно кристаллическим и стеклообразным. Двухмерной моделью К. являются упаковки("паркеты") ромбов с углом при вершине 360°/5 = 72° с осями симметрии 5го порядка: при этом промежуткизаполняются другими ромбами с углом при вершине 360°/10=36° (узор Пенроза, рис. 1); совокупности этихромбов дают равновеликие десятиугольники. Угловая ориентация всех элементов паркета повторяется навсей плоскости  это и есть дальний ориснтационный порядок, но истинного трансляционного дальнегопорядка нет (хотя есть приблизительная периодичность вдоль нек-рых направлений).

Рис. 1. Двухмерная модель квазикристалла (выделены десятиугольники).

Рис. 2. Элементы структуры квазикристалла из пяти тетраэдров: фрагмент икосаэдра (а),32 - вершинниктриаконтаэдр (6).

Упаковка атомов в трехмерном пространстве К. может быть описана на основе многогранников, содержащихоси 5го порядка, или фрагментов таких многогранников. На рис. 2,а показан характерный для К. фрагментикосаэдра

 (12-вершинника-двадцатигранника с точечной симметрией 53m), состоящий из 5 тетраэдров.Чтобы 6 вершинных атомов и центральный атом образовали плотную упаковку, радиус центрального атомадолжен быть несколько меньше, чем у вторичного атома; напр., в Аl₆ Мn атомный радиус Мn-0,130 нм, Аl-0,143 нм. Фрагментами атомной структуры К. могут быть также трехмерные аналоги узоров Пенроза -острый и тупой ромбоэдры с углами при вершинах 63,43° и 116,57°, из к-рых можно сложить полиэдр -триаконтаэдр с симметрией 53m, имеющий 32 вершины (рис. 2,6). В упаковке атомов в К. могутнаблюдаться нарушения, аналогичные дислокациям (см. Дефекты). К. типа Аl₆ Мn можно рассматриватькак метастабильные фазы. Однако существует структура К. типа сплава Al-Li-Cu-Mn, получаемая примедленном охлаждении расплава, к-рая является, по-видимому, равновесной. В настоящее времяразвиваются физ. теории квазикристаллич. состояния. 

Несложно замостить плоскость паркетом из правильных треугольников, квадратов или шестиугольников (под замощением мы понимаем такую укладку, при которой вершины каждой фигуры прикладываются только к вершинам соседних фигур и не возникает ситуации, когда вершина приложилась к стороне). Примеры таких замощений приведены на рис. 1.

Никакими другими правильными n-угольниками покрыть плоскость без пробелов и наложений не получится. Вот как можно это объяснить. Как известно, сумма внутренних углов любого n-угольника равна (n – 2) · 180°. Поскольку все углы правильного n-угольника одинаковые, то градусная мера каждого угла есть . Если плоскость можно замостить такими фигурами, то в каждой вершине сходится k многоугольников (для некоторого k). Сумма углов при этой вершине должна составлять 360°, поэтому . После нескольких простых преобразований это равенство превращается в такое: . Но, как легко проверить, последнее уравнение имеет только три пары решений, если считать, что n и k натуральные числа: k = 3, n = 6; k = 4, n = 4 илиk = 6, n = 3. Этим парам чисел как раз и соответствуют приведенные на рис. 1 замощения.

А какими другими многоугольниками можно замостить плоскость без пробелов и наложений?

а) Докажите, что любым треугольником можно замостить плоскость.

б) Докажите, что любым четырёхугольником (как выпуклым, так и невыпуклым) можно замостить плоскость.

в) Приведите пример пятиугольника, которым можно замостить плоскость.

г) Приведите пример шестиугольника, которым нельзя замостить плоскость.

д) Приведите пример n-угольника для какого-либо n  6, которым можно замостить плоскость.

Подсказки

1) В пунктах а), в), д) можно попытаться составить из одинаковых фигур «полоски», которыми потом легко замостить всю плоскость.

Пункт б): сложите из двух одинаковых четырехугольников шестиугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Такими шестиугольниками замостить плоскость уже достаточно просто.

Пункт г): используйте тот факт, что сумма углов при каждой вершине должна быть равна 360°.

2) В пункте д) можно попробовать действовать и по-другому: немного менять уже имеющиеся фигуры, чтобы получались новые замощения.

Решение

Примеры ответов изображены на рисунках.

а): 

б): 

в) Подойдет пятиугольник в форме домика:

г) Такими шестиугольниками плоскость замостить не получится: в «вырезанный» угол просто не влезет полностью никакая часть такого шестиугольника. По клеточкам это хорошо видно:

Можно придумать еще множество других шестиугольников, которыми нельзя замостить плоскость.

д) Вот пример двенадцатиугольника, которым можно замостить плоскость. Этот способ замощения получен как модификация обычной квадратной решетки (см. рис. 1, ii из условия):

Задача замощения плоскости одинаковыми фигурками без пробелов и наложений известна с древних времен. Один из ее частных случаев — вопрос о том, какими могут быть паркеты (то есть замощения плоскости правильными многоугольниками, причем не обязательно одинаковыми) и, в частности, правильные паркеты. Правильный паркет обладает таким свойством: при помощи параллельных переносов (сдвигов без вращений), которые переводят паркет в себя, можно совместить заранее выбранный узел с любым другим узлом паркета. На рис. 1 из условия изображены как раз правильные паркеты.

Не слишком сложно доказать, что существует всего 11 различных типов правильных паркетов (см.List of uniform tilings). Доказывается это примерно так же, как мы в условии задачи доказывали, что есть всего три типа паркета из одинаковых правильных многоугольников — градусные меры углов каждого правильного многоугольника известны, нужно лишь подобрать их так, чтобы в сумме получалось 360°, а это делается просто небольшим перебором вариантов. Существует много древних мозаик, в основу которых положены эти паркеты.

Мозаики из глины, камня и стекла (и паркеты из дерева и кафеля) — наиболее известное и понятное применение данной теории в жизни. Многие из нас могут убедиться в этом, зайдя к себе на кухню или в ванную. Будущие дизайнеры специально изучают математические паркеты, ведь они и их вариации часто используются в архитектуре и декоре.

Замощения встречаются и в природе. Кроме всем известных пчелиных сот наиболее яркие примеры — это геологические образования на мысе Столбчатом (остров Кунашир, большая гряда Курильских островов) и «Дорога гигантов» в Северной Ирландии.

Обобщение нашей задачи — замощение пространства — современный важный раздел кристаллографии, играющий важную роль в интегральной оптике и физике лазеров.

Как ни странно, до относительно недавних времен были известны только периодические замощения (которые полностью совмещаются с собой при некотором сдвиге и его повторениях). Однако в 1974 году английский ученый Роджер Пенроуз придумал непериодические мозаики, которые теперь называют в его честь мозаиками Пенроуза. Позднее (в 1984 году) подобные непериодические структуры были открыты в квазикристаллах.

На странице Penrose Tilings можно найти много примеров мозаик Пенроуза с подробным описанием всех тонкостей их получения.

Паркеты и мозаики встречаются и в изобразительном искусстве. Пожалуй, наиболее известны работы голландца М. К. Эшера (M. C. Escher).