Урок по теме: «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена»

Урок по теме: «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена»

Цель: Расширить знания учащихся о числовых последовательностях, рассмотрев числовую последовательность особого вида – арифметическую прогрессию, вывести формулу n-го члена арифметической прогрессии; вырабатывать умения применять формулы n-го члена арифметической прогрессии; развитие памяти, внимания, интуиции, аналогии, логического мышления; умений преодолевать трудности при решении математических задач; развитие познавательного интереса учащихся; способствовать совершенствованию навыков индивидуальной, фронтальной работы.

Ход урока

1.Организационный этап

Чтобы спорилось нужное дело,

Чтобы в жизни не знать неудач,

В путешествие отправимся смело,

В мир примеров и разных задач.

2. Мотивация урока. Притча.

Эта история произошла давным – давно. В древнем городе жил добрый мудрец и злой человек, который завидовал славе мудреца. И решил он придумать такой вопрос, чтобы мудрец не смог на него ответить. Пошёл он на луг, поймал бабочку, сжал между сомкнутыми ладонями и подумал: « Спрошу – ка я: о, мудрейший, какая у меня бабочка – живая или мертвая? Если он скажет, что мертвая, я раскрою ладони – бабочка улетит, а если скажет, что живая, я сомкну ладони, и бабочка умрёт». Так завистник и сделал. Поймал бабочку, посадил между ладоней, отправился к мудрецу и спросил его: «Какая у меня бабочка живая или мертвая»? Мудрец ответил: «Всё в твоих руках!»

Как часто, ребята, нам кажется, что ничего не понимаю, ничего не знаю, ничего не решу! Но я хочу повторить слова мудреца «все в твоих руках». Пусть эти слова будут девизом нашего урока.

3.Проверка д/з. Актуализация опорных знаний.

С каким понятием мы познакомились на прошлом уроке?

Наши познания в курсе алгебры похожи на подъём по лестнице. «Последовательность» - это только одна ступенька. Сегодня мы поднимемся еще на одну. Какую – узнаете чуть позже. А сейчас проверим, как вы усвоили материал по теме «последовательность»

Выполним тестовые задания с последующей самопроверкой.

Тест

№1 Является ли конечной последовательность делителей числа 1500?

а) да б) нет

№2 Является ли бесконечной последовательность кратных числа 8?

а) да б) нет

№3 Запишите последний член последовательности всех трёхзначных чисел

а)78 б)100 в)7424 г)999

№4 Выпишите пять первых членов последовательности двузначных чисел взятых в порядке возрастания

а)7,8,9,10,11

б)11,14,19,21,45

в)10,11,12,13,14

г)99,98,97,96,95

№5 Последовательность (а_n) задана формулой а_n = 5 n – 2. Найти а₁₀. а) 48 б)21 в)7 г)342

№6 Последовательность (а_n) задана формулой а_n = 55 - 4 n . Найти номер члена последовательности, равного 15.

а)19 б)2 в)10 г)3

№7 Последовательность (а_n) задана формулой а_n = n² -2 n + 3. Является ли число 66 членом последовательности.

а) да б) нет

Объясните, как вы понимаете, что такое последовательность? Приведите примеры последовательности.

а) последовательность четных положительных чисел 2,4,6,8…

б) последовательность нечетных положительных чисел 3,5,7…

в) дроби с числителем 1 в порядке убывания ½,1/3, ¼,1/5….

Какими могут быть последовательности? Последовательности могут быть конечными и бесконечными.

Как называются числа образующие последовательность? Числа, образующие последовательность называются членами последовательности.

4. Изучение нового материала.

Куда стремится человек?

Изучены космос и море,

Строенье звезд и вся земля.

Но математиков

зовет известный лозунг:

«Прогрессио – движение вперёд!»

Эти слова, ребята, написаны не случайно. Мы начинаем изучать одну из интереснейших тем алгебры «Арифметическая прогрессия». Сегодня на уроке мы познакомимся с определением арифметической прогрессии, формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Назовите номера последовательностей, которые можно объединить в одну группу.(1,3,4)

1) 1; 3; 5; 7; 9…

2) 6; 12; 24; 48; …

3) 2; 7; 12; 17…

4) -16; -13; -10; -7…

5) 50; 25; 5; 1…

По какому признаку вы их объединили? Каждый следующий член последовательности больше предыдущего на одно и то же число.

Такие последовательности называются арифметической прогрессией.

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Значит, в арифметической прогрессии выполняется условие: а_{n + 1} = а_n + d

Посмотрим на арифметические прогрессии, чему равно d? d = 2

Как вы его нашли? Из следующего члена отняли предыдущий (аналогично с 3 и 4)

Это правило можно записать в виде формулы d = а_n+1 - а_n, d – называют разностью арифметической прогрессии.

Проверим, какие из следующих конечных последовательностей являются арифметическими прогрессиями. В арифметической прогрессии указать а₁ и d.

Какое условие должно выполняться? Разность арифметической прогрессии должна быть постоянна.

а) 1;4;7;10; а₂ – а₁ = 3 разность постоянна, значит последовательность

а₃ – а₂ = 3 является арифметической прогрессией.

а₄ – а₃ = 3 а₁ = 1, d = 3

б) 1;-1;-3;-5; а₂ – а₁ = -2 разность постоянна, значит последовательность

а₃ – а₂ = -2 является арифметической прогрессией.

а₄ – а₃ = -2 а₁ = 1, d = -2

в) 4;4;4;4; а₂ – а₁ = 0 разность постоянна, значит последовательность

а₃ – а₂ = 0 является арифметической прогрессией.

а₄ – а₃ = 0 а₁ = 4, d = 0

Какой вывод из этих прогрессий можно сделать?

Можно сказать, что если разность арифметической прогрессии положительна, то прогрессия возрастает, отрицательна – убывает, разность равна нулю – постоянна.

Ребята, как вы думаете, что необходимо знать, чтобы найти любой член арифметической прогрессии. Необходимо знать а₁ и d.

В арифметической прогрессии известны а₁ и d.. Найти а₂, а₃, а₄, а₅, а₁₀₀.

Дано: (а_n) - арифметическая прогрессия, а₁ и d.

Найти: а₂, а₃, а₄, а₅, а₁₀₀.

Решение: а₂ = а₁ + d;

а₃ = а₂ + d = а₁ + d + d = а₁ + 2d;

а₄ = а₃ + d = а₁ + 2d + d = а₁ + 3d;

а₅ = а₄ + d = а₁ + 3d + d = а₁ + 4d;

Какую закономерность вы увидели? Число перед d на 1 меньше номера.

а₁₀₀ = а₁ + 99 d

Как бы вы записали формулу для нахождения n – го члена арифметической прогрессии?

а_n = а₁ + d(n – 1)

Как найти из этой формулы , , d , n?

,

,

, .

Для обозначения арифметической прогрессии словосочетание «арифметическая прогрессия» заменяют значком и пишут:

.

Значок заменяет словосочетание «арифметическая прогрессия».

Найти первые пять членов арифметической прогрессии 4; -12…

а) 4;-12; -26; 41; 18; б) 4;-12;-28;-44;-60;

в) 4;-12; -22;-38;-49; г) 4;-12;4;-12;4

5. Динамическая пауза. ( Направлена на профилактику остеохондроза.)

Сесть на краешек стула.

Поднять руки, потянуться, напрячь мышцы.

Вытянуть руки перед грудью, потянуться.

Руки в стороны, потянуться, напрячь мышцы.

Обхватить себя руками, выгнуть спину.

Принять рабочее положение.

6. Закрепление нового материала.

Решить № 663(устно), 665, 667, 669, 670, 672, 674, 675.

7. Самостоятельная работа

№2 Найдите первый член арифметической прогрессии, двенадцатый член которой равен 5, а разность арифметической прогрессии -3. а)16 б) 46 в) 52 г)38

№3 Найти разность арифметической прогрессии, если а₁ =16, а₈ = 37. а) 5 б)3 в)7 г)14

№4 В арифметической прогрессии (b _n) b₁ = -0,8 и d = 4. Найти b₁₇. а)63,2 б)36,2 в)17,5 г) 23,4

№5 В арифметической прогрессии (х_n) х₁ = 14 и d = 0,5. Найти номер члена прогрессии равного 19. а)6 б) 12 в)9 г)64

8. Подведение итогов урока

Итак, наш урок подходит к концу. Достигли ли мы поставленных целей?

Да достигли, но научились находить не все компоненты, входящие в формулу n-го члена арифметической прогрессии. Какую задачу поставим на последующие уроки?

- Научиться находить номер члена арифметической прогрессии, доказывать, что последовательность, заданная формулу n-го члена является арифметической прогрессии, выяснять является ли число членом арифметической прогрессии.

Выучить п. 21, вопросы с.222, решить № 666, 668, 671, 673, 676.

Подготовить презентацию «Числа Фибоначчи».

9. Рефлексия.

Поговорки – зеркало настроения

1. Смелость города берет

2. Если я хочу осушить болото, то мне не стоит спрашивать лягушек о их согласии на это;

3. Старая песня на новый лад;

4. Тому, кто хочет вверх, не следует забывать о теплых вещах для спуска вниз;

5. Через тернии к звездам;

6. Человек предполагает, а бог располагает;

7. Перепрыгивающему пропасть не следует делать два шага

8. Ах, как я устал от этой суеты:

9. Без труда не вытащишь рыбку из пруда.