Урок по алгебре и началам математического анализа "Интеграл и его применение", 11 класс

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

Обучающие и развивающие задания каждого этапа

Планируемые результаты УУД

Предметные умения

УУД

Организационный момент

- Объединяются в гетерогенные группы (теоретиков, практиков, физиков, экономистов).

- Находят источники информации и самостоятельно используют их соответственно поставленным целям.

- Находят «смайлик», соответствующий настроению

Создает условия для возникновения у учащихся внутренней потребности включения в учебную

деятельность

Обратите внимание на высказывание, записанное на доске. Сегодня каждый из вас, готовясь к уроку, сделал для себя открытие: кто –о выводе формулы для вычисления объемов тел вращения, кто – о применении интеграла. Какие, мы увидим на уроке.

А от меня вам совет не только на сегодняшний урок, а и на будущее известного шведского писателя Иоганна Гаспара Лафатера: «Хочешь быть умным, научись разумно ставить вопросы, внимательно слушать, спокойно отвечать и перестать говорить, когда нечего больше сказать.»

Перед началом работы

Предлагаю вам выбрать «смайлик», который соответствует вашему настроению в данный момент. Я вам желаю хорошего настроения и успехов в работе на уроке

Приветствие учителя, гостей

Подготовка рабочих мест

Включение в деловой ритм урока

Формулируют цели урока

Личностные: самоопределение, доброжелательное отношение к сверстникам.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

Включаемость в коллективное обсуждение вопросов.

Выделение и формулирование познавательной цели.

Развитие познавательных интересов, учебных мотивов.

Актуализация опорных знаний

-Вписывают слова, затем осуществляют взаимопроверку между группами с дальнейшим зачитыванием ответов

-Раздает текст каждой группе, необходимый для проверки степени усвоения обязательного теоретического материала. В нем пропущены слова.

- Зная уравнение окружности, уметь находить координаты центра окружности и ее радиус.

- Уметь написать уравнение прямой, проходящей через начало координат; уравнение прямой, параллельной оси Ох.

- Уметь написать формулу пути, пройденного телом за промежуток времени ; работу переменной силы F(х) во время перемещения тела из точки а в точку в через интеграл.

Планирование действий по достижению цели

- Каждая группа мотивирует необходимость умения вычислять интегралы для решения прикладных задач (задания подготовить такой материал группы получили ранее)

- Акцентирует внимание на значение определенного интеграла для решения прикладных задач

Каждой группе предоставляется возможность на подготовленных примерах показать применение интеграла при решении прикладных задач

Теоретический тест.

1.Формула Ньютона – Лейбница:

2.Задачи, в которых используются математические понятия, называют …

3.Уравнение х²+ у²= R² задает … с центром …, где

R - …

4. Прямая, которая проходит через начало координат, задается уравнением у = …

5. Прямая, параллельная оси Ох, задается уравнением у = …

6. Путь, пройденный телом за промежуток времени выражается через интеграл так: S=…

7. Работу переменной силы F(x) во время перемещения тела из точки а в точку в можно найти по формуле А=…

8. Электрический заряд, который проходит через поперечное сечение проводника за промежуток времени от до можно найти по формуле q =…

Познавательные действия:

Уметь ориентироваться в системе полученных ранее знаний

Усовершенствование умений и навыков

Группа «теоретиков» подготовила теоретическую базу для вычисления объемов тел вращения.

Три группы «практиков» работают над решением задач на вычисление объема шара, объема цилиндра, объема конуса с дальнейшим объяснением у доски.

Условия задач проектируются на мультимедийную доску

Корректирует ответы учащихся у доски.

Группа «теоретиков».

Пусть дано тело, ограниченное замкнутой поверхностью и двумя плоскостями х=а, х=в, перпендикулярными к оси Ох. Известно, что S- площадь сечения. Разобьем отрезок на n равных частей, через каждую проведем плоскость, перпендикулярную к оси Ох.

S (x_o), S(x₁)_{, .}Эти плоскости делят тело на n равных тел. (Рис.1)

Объем тела, которое находится между плоскостями и , при условии достаточно больших n приблизительно равен площади S ( ₁) сечения, умноженной на высоту ∆х.

Поэтому V= S(x_o)∆x + S(x)∆x +…+S(x_n-1)∆x = V_n.

Таким образом,

V_т.в.=

Если тело образовано вращением криволинейной трапеции с основанием , ограниченной кривой у=f(x), вокруг оси Ох, то площадь сечения(круга) равна πf²(x). Таким образом,

V_т.в.=π (x)dx

Группа «практиков».

1.Объем шара.

х²+ у²= R², у= R²-х². Если

у 0, то у= . (Рис. 2)

V=π )dx = π(R²x- ) =π(R³- +R³- ) =

=π (2R³- R³) = πR³.

Таким образом, V_ш= πR³.

2.Объем цилиндра.

Цилиндр – тело, образованное вращением прямоугольника ОАВС вокруг оси Ох.

(Рис. 3)

Уметь применять интеграл для вычисления объемов тел

вращения

Уметь вычислять интеграл при помощи первообразной и ее свойств.

Познавательные действия:

-Уметь переносить добытые знания в новую ситуацию.

- Уметь развивать навыки использования каждой рабочей минуты.

Коммуникативные действия:

-Уметь точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.

- Уметь формулировать и аргументировать свое мнение

Группа «физиков» работает над решением задачи по физике с дальнейшим объяснением у доски.

Группа «экономистов»

Составим уравнение образующей цилиндра АВ: у= R.

V_ц = π dx = π x = π

Таким образом, V_ц = π

3.Объем конуса.

Треугольник ОАВ вращается вокруг оси Ох. Составим уравнение образующей конуса

(Рис. 4)

ОА: у = к х, где к = tg α = .

V_k= π dx = ∙ = = π H.

Таким образом, V_k= π H.

Группа «физиков».

Задача. Работа силы F(x) во время перемещения тела из точки а в точку в равна А= Вычислите работу, которую надо выполнить для откачивания воды из ямы глубиной 10м, которая имеет квадратное сечение со стороной 4м. Плотность воды ρ=10³кг/м³.

Решение. Направим ось Ох вдоль действующей силы F(x).

(Рис. 5)

Сила F(x), которая действует на сечение прямоугольного параллелепипеда площадью

16ρ q (10 – х), где х∈ ; g=9,8м/с².

А= =

=16p g (10 –x) dx =

= 16p g (10x - ) =16∙10³∙9,8∙50= 7,84∙10⁶(Дж).

Ответ: 7,84∙10⁶Дж.

Группа «экономистов».

Задача. Продуктивность труда рабочего приблизительно выражается формулой f(x)=

Уметь использовать интеграл в физике, используя некоторые практические ситуации

Уметь применять

Уметь использовать

Личностные действия:

-Уметь осознавать собственные достижения при освоении темы.

Познавательные действия:

-Развивать представление о математике как прикладной науке.

Работает над решением задачи экономического содержания с дальнейшим объяснением у доски.

= - 0,0033 – 0,089t +20,96, где t-рабочее время (в часах). Вычислить объем продукции, выпущенной в течение месяца, считая, что рабочий день 8 часов, а на месяц приходится 22 рабочих дня.

Решение. Объем выпуска продукции в течение дня является первообразной от функции, которая выражает продуктивность труда. Таким образом,

V = 22 - 0,089t + 20,96)dt = 22(-0,0033∙ -0,089∙ +20,96t) =

=22(-0,001∙512 – 2,848 +167,68)

=22∙164, 27 ≈ 3614(ед).

Ответ: 3614ед.

интеграл в экономике.

Уметь применять формулу Ньютона – Лейбница.

-Уметь понимать связь интеграла с реальными процессами жизни.

Рефлексия

Рецензируют выступления групп

- Предлагает учащимся оценить выступления групп.

- Организует учащихся на самооценку

- Довольны ли вы своей работой на уроке?

- Какие задания были для вас сложными? Легкими?

- Как изменилось ваше настроение в конце урока (воспользуйтесь «смайликами»)?

Регулятивные действия:

Уметь владеть навыками самоконтро ля и самооценки своей деятельно сти.

Итоги урока

Учитель подводит итоги урока, оценивает выступления учащихся, акцентирует внимание на важность полученных знаний для успешного выполнения контрольной работы