Разработка урока "Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля", 10 класс

Разработка урока по теме «Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля».

Альберт Эйнштейн (немецкий физик – теоретик); « Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Цели урока: создать условия для:

образовательные:

-обобщения и закрепления умений решать уравнения с переменной под знаком модуля;

-промежуточного контроля и оценки качества усвоения учащимися способов решения уравнений;

развивающие:

-формирование устной и письменной речи, познавательной активности, творческих способностей учащихся;

-развития логического мышления;

воспитателные:

-воспитание навыков самоконтроля;

-воспитание ответственного отношения к учебному труду.

Тип урока: урок открытия новых знаний.

Ход урока

1. Организационный этап.

2. Постановка целей и задач урока.

Девиз урока: « Расскажи мне и я забуду.

Покажи мне и я запомню.

Дай мне попробовать и я научусь».

( китайская мудрость ).

Вместе с учащимися формулируем тему урока, ставим цели и задачи урока, определяем основные этапы урока.

- Что такое модуль числа?

Модуль числа а -это расстояние от начала отсчёта до точки с координатой а.

ǀ х ǀ =

Основные свойства модуля числа:

ǀ х ǀ≥0; ǀ -х ǀ = ǀ х ǀ; ǀ х ǀ²=х²; ǀх·уǀ = ǀх ǀ·ǀуǀ; |

Повторение( работа устно ): решить уравнения-

а) ǀхǀ = 6; б) ǀхǀ = 0; в) ǀхǀ= -5; г) ǀх + 4ǀ = 3.

3. Объяснение нового материала.

Способы решения уравнений с модулем.

1способ: Уравнение вида ǀf(х)ǀ = a, а 0 f(х)=±а;

примеры:

а) ǀхǀ = 6 б) ǀхǀ = 0 в) ǀх + 4ǀ = 3

х=-3 или х=3 х=0 х+4 = 3 или х+4 = ̵ 3

Ответ: -3, 3 Ответ:0 х = ̵ 1 х = ̵ 7

Ответ: -7; -1

г) ǀ5-хǀ = 0 д) ) ǀ2х-1ǀ = ̵ 2 е) 5ǀхǀ - 2ǀхǀ = 9 ж) 2ǀх-1ǀ +3 = 9- ǀх-1ǀ

5-х = 0 нет корней 3ǀхǀ = 9 3ǀх-1ǀ = 6

Х = 5 Ответ: нет корней ǀхǀ = 3 ǀх-1ǀ = 2

Ответ: 5 х =±3 х-1 = 2 или х-1 = -2

Ответ: ±3 х = 3 х= -1

Ответ:-1; 3

2способ: Уравнение вида ǀf(х)ǀ = g(х) ОДЗ: g(х) 0 ∩ f(х) = ± g(х)

а) ǀ3х-2ǀ = 2х ОДЗ: 2х 0

х 0 .

3х-2 = 2х 3х-2 = ̵ 2х

3х- 2х = 2 3х+2х = 2

х = 2 - корень 5х = 2

х = 0,4 – корень

Ответ: 0,4; 2

б) ǀх³ - 3х² + хǀ = х ̵ х³ ОДЗ: х ̵ х³ 0

х³ - 3х² + х = х ̵ х³ или х³ - 3х² + х = -(х ̵ х³) х€(-∞; -1]˅[0;1]

2х³ - 3х² = 0 -3х² + 2х = 0

х =0-корень; х =1,5-не корень х=0; х = - корень

Ответ: 0;

3способ: Уравнение вида ǀf(х)ǀ = ǀg(х)ǀ f(х) = g(х) ˅ f(х) = - g(х)

ǀх-1ǀ = ǀ х² – 3х +2 ǀ

х-1 = х² – 3х +2 или х-1 = -(х² – 3х +2)

х² – 4х +3 = 0 х² – 2х +1= 0

х = 1; х = 3; х = 1

найдём объединение ответов 2-х уравнений

х = 1; 3 – корни уравнения

Ответ: 1; 3

Другие подходы к решению уравнений с модулем:

а) ǀх-х³ǀ + ǀ х² + х -2 ǀ = 0 – применяем определение модуля

ǀх-х³ǀ = 0 и ǀ х² + х -2 ǀ = 0

х-х³ = 0 х² + х -2 = 0

х(1-х)(1+х) = 0 х = -2; х = 1

х =-1; х = 0; х = 1

найдём пересечение ответов 2-х уравнений

х = 1 - корень

Ответ: 1

б) ǀх - 1ǀ + ǀх + 2ǀ = 1 решим уравнение методом интервалов

х - 1 = 0 х + 2 = 0

х = 1 х = -2

Двумя точками разбиваем ось ОХ на 3 интервала.

Раскроем знак модуля на каждом интервале и решим уравнение в каждом из этих случаев.

1) на интервале х ˂ -2

-х+1-х-2=1

-2х=2

х=-1-не корень

1. на интервале -2≤х˂1

1-х+х+2=1

0∙х=-2 – нет корней

3) на интервале х≥1

х-1+х+2=1

2х=0

х=0 не корень

Ответ: нет корней

в) можно рассмотреть решение уравнений с модулем графическим способом:

1) ǀх + 3ǀ + ǀх + 1ǀ = 2

2) ǀх - 1ǀ + ǀх + 2ǀ = 1

г) х² + 2 ǀхǀ - 3 = 0 - введение новой переменной

Замена: ǀхǀ = m

m² + 2m -3 = 0

m₁ = -3

m₂ = 1

Вернёмся к переменной х

ǀхǀ = -3 ǀхǀ =1

Ø х = ±1

Ответ: -1; 1

4. Рефлексия, итоги урока.

-какими навыками , умениями овладели?

-какими понятиями , приёмами воспользовались при решении уравнений?

-решение уравнения каким способом оказалось самым понятным, сложным?

-чему надо уделить особое внимание.

1. Закрепление умений учащихся решать уравнения с модулем.

Уравнения для с.р. и решения дома: 1) ǀ2х-6ǀ = 10; 2) ǀ3-хǀ = ̵ 2; 3) 4ǀхǀ + 4 = 2ǀхǀ + 10;

4) ǀ4х-1ǀ = 2х; 5) ǀхǀ = -х² – 1; 6) ǀ6 – 4х – х² ǀ = х+4; 7) ǀ2х + 3ǀ = ǀ2х - 7ǀ;

8) ǀх² - 1ǀ + ǀх + 1ǀ = 0.