Разработка конференции по теме "Производная в народном хозяйстве"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Отрадненская средняя общеобразовательная школа № 2»

ПРОЕКТНОЕ ЗАДАНИЕ

Внеклассная работа по математике.

Разработка конференции по теме «Производная в народном хозяйстве»

Работа выполнена слушателем годичных курсов

повышения квалификации - учителем математики

Голубовой Викторией Витальевной

Санкт-Петербург

2012

Содержание работы

ПРЕДИСЛОВИЕ К ВЫПОЛНЕННОЙ РАБОТЕ 3

ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ 4

КОНФЕРЕНЦИЯ НА ТЕМУ «ПРОИЗВОДНАЯ В НАРОДНОМ ХОЗЯЙСТВЕ» 5

ПЛАН КОНФЕРЕНЦИИ 5

1. Вступительное слово 6

2. Задачи на оптимизацию. 7

3. Применение производной в строительстве. 8

4. Производная и транспорт. 8

5. Производная помогает мелиорации. 9

6. Космос и производная. 10

7. Случай в заповеднике. 12

Заключение. 13

Рекомендуемая литература 13

ПРЕДИСЛОВИЕ К ВЫПОЛНЕННОЙ РАБОТЕ

Надо ли учить школьников решать прикладные задачи с физическим, техническим, экономическим содержанием?

Если вообще отказаться от задач с реальным предметным содержанием, то ученик не сможет решить ничего, кроме теоретических упражнений.

Современная педагогика видит три цели математического образования. Первая – общеобразовательная. Без математики невозможно понять ряд других предметов, нельзя продолжить образование в вузе по многим специальностям. Ядро математического знания давно стало общечеловеческой культурной ценностью.

Вторая цель – прикладная. Школьник, как правило, еще не знает, чем он будет заниматься, поэтому у учителя остается одна реальная возможность – научить детей принципам математического моделирования каких-либо реальных процессов.

Третья цель – воспитательная. Математика развивает логическое, пространственное и алгоритмическое мышление; формирует такие качества, как трудолюбие, настойчивость, усидчивость; учит ценить красоту мысли. Но еще важнее другое: математика – это мировоззрение. Человек, владеющий математическим методами исследования, иначе подходит к жизненным проблемам, иначе смотрит на мир.

Прикладная направленность преподавания математики связана со всеми тремя названными целями: с общеобразовательной (легче учить другие предметы), с прикладной ( будущий специалист еще в школе получает необходимые навыки прикладного математического исследования), с воспитательной ( мир един, и именно в содружестве с другими науками математика формирует у ребенка основы научной картины мира)

ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

Чтобы достичь хороших результатов по математике, необходимо осуществлять хорошо спланированную внеклассную работу по предмету. При этом очень важно, чтобы работа, осуществляемая на уроках, и работа, проводимая во внеурочное время, представляли собой единое целое, были взаимосвязаны, имели логическое продолжение. Умело организованная, систематическая внеклассная работа даёт возможность развивать и углублять профессиональные интересы и склонности учащихся; значительно обогащать их знания о различных областях приложения математики, её роли в производстве; способствует развитию творческих способностей учащихся, усиливает их интерес к математике.

Для осуществления внеклассной работы можно использовать самые разнообразные формы. Со старшеклассниками можно готовить и проводить интересные вечера, конференции, посвящённые различным приложениям математики.

В качестве примера такого мероприятия предлагаю разработку конференции на тему «Производная в народном хозяйстве», которую можно провести при повторении темы «Производная и её применение». Особое внимание при подготовке основных понятий на смотре следует обратить на геометрический и механический смысл производной. В разработке конференции приводятся решения большинства встречающихся в ней задач. Чтобы не утомлять внимание учеников громоздкими выкладками во время конференции, при подготовке к ней можно подготовит презентации, таблицы с чертежами к задачам с обозначениями; функции, появляющиеся в результате решений, данные, полученные в ответах. Выступающие в ходе своих сообщений могут обращаться к этим презентациям и проводить по ним соответствующие объяснения.

КОНФЕРЕНЦИЯ НА ТЕМУ «ПРОИЗВОДНАЯ В НАРОДНОМ ХОЗЯЙСТВЕ»

Цель конференции: закрепить и развить знания учащихся по теме «Производная и её применение», продолжить формирование знаний о мире труда и мире профессий.

Оформление зала:

Стенгазеты:

« Из истории дифференциального исчисления»

« Математика в народном хозяйстве»

Портреты: Исаак Ньютон, Готфрид Вильгельм Лейбниц, Леонид Витальевич Канторович

Таблицы:

Алгоритм решения задач на оптимизацию:

1. Найти критические точки.

2. Вычислить значение функции в каждой критической точке.

3. Вычислить значение функции на концах отрезка.

4. Из полученных чисел выбрать наибольшее ( наименьшее).

Этапы решения прикладных задач:

1. Построение математической модели.

2. Решение внутри модели.

3. Интерпретация полученного результата.

ПЛАН КОНФЕРЕНЦИИ

1. Вступительное слово учителя.

2. Задачи на оптимизацию.

3. Применение производной в строительстве.

4. Производная и транспорт.

5. Производная помогает мелиорации.

6. Космос и производная.

7. Случай в заповеднике.

8. Заключение.

Ниже приводится некоторый материал к каждому пункту плана конференции, который может быть использован как учителем так и учащимися.

1. Вступительное слово

Сегодня на конференции мы с вами с некоторыми видами трудовой деятельности в которых используется важное понятие математики – производная.

Математика является одной из самых древних наук. Она зародилась на заре человеческой цивилизации пол влиянием потребностей практики. Когда-то была объявлена большая премия за книгу на тему: « Как человек без математике жил ». Премия осталась не выданной. По-видимому. Ни один писатель не сумел изобразить жизнь человека, лишенного всяких математических понятий. Математические знания в далеком прошлом применялись для решения повседневных задач, и именно практика в значительной степени руководила всем дальнейшим развитием математики.

И в наше время, как и в далёком прошлом, практика выдвигает перед математикой сложные задачи. Именно в этом причина современного бурного развития математики, появление многих её новых областей, позволяющих глубоко изучать явления окружающего нас мира и решать конкретные практические задачи. В настоящее время математические методы становятся необходимым орудием расчета буквально всех важнейших процессов в народном хозяйстве. Без знаний математики невозможно представить себе работу многих специалистов: инженеров, экономистов, организаторов производства, агрономов, квалифицированных рабочих.

Когда-то королева Англии пригласила к себе великого Ньютона. Она попросила побывать на монетном дворе и подсчитать, сколько дополнительных помещений, станков и рабочих нужно добавить, чтобы выпускать в 1,5 раза больше монет. Ньютон, вникая в производство, провёл на монетном дворе полдня. Остальное время суток он просидел за письменным столом, занимаясь расчетами. Утром он предложил королеве следующее решение: можно, не производя никаких добавлений, увеличить выпуск монет в два раза. Для этого достаточно произвести лишь некоторые изменения в организации производства: переставить станки, по-иному распределить рабочих, изменить последовательность операций.

2. Задачи на оптимизацию.

С задачами, подобной той, которую решал Ньютон, в настоящее время приходится встречаться представителям разных профессий: инженер-технолог стремится так организовать производство, чтобы на имеющимся станочном парке сделать как можно больше продукции; конструктор «ломает» голову, стремясь сделать наилегчайшим прибор на космическом корабле; экономист старается так спланировать прикрепление заводов к источникам сырья, чтобы транспортные расходы оказались наименьшими; рабочий-металлист старается из куска металла получить как можно больше деталей.

За разработку общих методов решения задач на наименьшее и наибольшее значение, или, как их еще называют, задач на оптимизацию, русский математик Леонид Витальевич Канторович в 1975 году стал лауреатом Нобелевской премии.

Следует различать два вида задач на оптимизацию. В задачах первого вида улучшение достигается за счет коренных качественных изменений (выбор новых конструктивных решений, переход на новую технологию изготовления данной продукции). В задачах второго рода качественная сторона дела остается неизменной, но меняются количественные показатели, например, размеры прибора, соотношение веществ, используемых для химической реакции, начальная скорость ракеты. С математической тоски зрения в этих задачах отыскивается наибольшее и наименьшее значения функций. Один из способов решения таких задач основан на применении производной.

3. Применение производной в строительстве.

При монтаже промышленных зданий небольшой высоты используется автомобильный кран. При выборе крана необходимо иметь сведения о сооружаемом объекте. В частности. Габаритные данные объекта позволяют заранее определить требуемую длину стрелы крана. Рассмотрим задачу: «Для строительства здания высоты Н и длины 2L с плоской крышей нужно выбрать автомобильный кран. Вывести формулу для определения длины стрелы крана».

Решение задачи.

Пользуясь обозначениями, указанными на

чертеже, получим формулу, выражающую длину

стрелы крана L=+, где α- угол наклона

стрелы. Из формулы видно, длина стрелы крана

зависит от угла α, который меняется изменением

положения крана. Выгодного положение

крана является такое место, с которого заданная

работа может быть выполнена краном с

наименьшей длиной стрелы.

В результате отыскание выгодного положения крана сводится к нахождению наименьшего значения функции L=+, на промежутке (0; ). С помощью производной установим, что наименьшее значение длины стрелы получается при α =

arctg. Эта формула используется на практике.

4. Производная и транспорт.

Производная находит применение и при проектировании мостов. Имеются мосты, профиль которых очерчен двумя прямыми, наклоненными к горизонту и сопряженными в заданных точках с дугой параболы (в целях создания благоприятных условий для водоотвода). Для нормальной эксплуатации моста необходимо, чтобы переход от прямолинейных участков к параболическому был плавным. Обеспечение этого условия способствует большей долговечности моста. В связи с этим можно рассмотреть следующую задачу: «Тангенс угла наклона прямых АМ и BN к горизонту равен m, стрела провеса моста равна С. Каким должно быть уравнение параболы АОВ, чтобы профиль моста не имел изломов?».

Решение задачи.

Выберем систему координат так, как показано на рисунке.

Уравнение параболы АОВ будем искать в виде у = ах, где х и у- координаты произвольной точки параболы, а - параметр. Рассмотрим точку А (х,С). Так как точка А лежит на параболе АОВ, то С = ах(1). По условию m = 2ах(2), где 2ах= у(х). Выразив х из уравнения (2) и подставив в равенство (1), получим выражение параметра а = m/4С. В результате уравнение параболы АОВ примет вид: у = x.

5. Производная помогает мелиорации.

В мелиоративной практике часто сооружаются каналы с поперечным сечением в форме прямоугольника, трапеции и сегмента круга. Рассмотрим некоторые характеристики канала: живое сечение, смоченный периметр, которые обозначаются соответственно через ω, λ. Положим для простоты, что канал полностью заполнен водой. Живое сечение – площадь поперечного сечения. Смоченный периметр – длина границы соприкосновения потока со стенками канала.

При проектировании каналов пытаются их приблизить к гидравлически выгодным, т. е. пытаются добиться наименьшего смоченного периметра при заданной площади живого сечения. В этом случае трение жидкости о дно и стенки канала, количество просачивающейся через них воды, расходы на содержание канала пропорциональны площади соприкасающейся с водой поверхности. Поэтому минимум этой площади обусловливает наименьшее трение, а значит, наибольшее скорости течения и пропускную способность, наименьшие фильтрацию и расходы на содержание канала. Рассмотрим задачу на расчет гидравлически выгодного профиля: «Сечение канала – сегмент круга. Каким должен быть центральный угол λ (острый), чтобы канал имел гидравлически выгодный профиль?».

Решение задачи.

Пользуясь обозначениями, принятыми на чертеже, получим равенство λ=Rα, ω=(α-sinα ), где ω – задано. Поскольку λ зависит от двух переменных, то из второго равенства выразим R и подставим в первое, получим функцию, зависящую от α: λ = . С помощью производной установим, что функция λ принимает наименьшее значение при α = π, т. е. в сечении канала должен быть полукруг.

6. Космос и производная.

Дифференциальное и интегральное исчисления являются теоретическим базисом космонавтики. Без понятий производная, интеграл, решение дифференциального уравнения были бы невозможны расчеты прочности корпуса ракеты – носителя, тех скоростей, которые необходимо придавать космической станции, чтобы она могла выполнить порученное ей задание; невозможно осуществить управление ее полетом. Рассмотрим одну из задач такого рода: «Ракета – носитель движется прямолинейно по закону

S = ν₀t +

Через время t после начала движения от нее отделяется для выполнения задания пилотируемый аппарат, который продолжает двигаться по инерции.

В какой момент времени и какую постоянную скорость надо ему придать для того, чтобы, двигаясь дальше равномерно, он догнал ракету в момент t, имея при этом одинаковую с ней скорость?».

Решение задачи.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию задачи (смотри рисунок). Обозначим скорость пилотируемого аппарата V. По условию задачи

V(t) = S´(t), с этой скоростью пилотируемый аппарат будет двигаться до момента ее изменения. В этом случаи графиком закона его движения является касательная, проведенная к параболе в точке (t, S(t)). В момент t V(t)=S´(t) . Поэтому в некоторый момент t t аппарату необходимо придать скорость S´(t) и, начиная с момента t до t момента, графиком его движения является касательная, проведенная к параболе в точке (t, S(t)). Легко видеть, что момент t будет найден, если будет найдена точка пересечения касательных. Найдем уравнения касательных, проведенных к параболе соответственно в точках: (t, S(t)), (t, S(t)).

S = S (t) + S´(t)(t - t) и S = S (t) + S´(t)(t - t), где S´(t) = V + at.

Найдем точку пересечения касательных:

S (t) + (V + at)( t - t) = S (t) +(V + at)(t - t) или

V t+ + (V + at)( t - t) = V t+ + +(V + at)(t - t).

Отсюда: t = (t+ t)/2. Таким образом, для того, чтобы пилотируемый аппарат догнал ракету – носитель, ему нужно придать скорость V= V + at в момент времени : t = (t+ t)/2.

7. Случай в заповеднике.

При обходе заповедника два егеря обнаружили тушу убитого дикого кабана. Осмотр показал, что кабан убит наповал точным выстрелом браконьера. Рассудив, далее, что браконьер обязательно вернется за добычей, егеря решили дождаться его, укрывшись неподалеку. Вскоре появились два человека, прямо направившиеся к убитому животному. Задержанные всячески отрицали свою причастность к браконьерству. Однако у егерей уже были косвенные улики их виновности, но для ее полного доказательства следовало уточнить время, когда был убит кабан. Это удалось с помощью производной. Согласно закону излучения тепла скорость охлаждения «тела» в воздухе пропорциональна разности между температурой «тела» и температурой воздуха, т. е. x´= -k( x – a ), где х – температура «тела» в момент времени t, а – температура воздуха, k – коэффициент пропорциональности. В момент задержания неизвестных температура воздуха составляла 21º С. Считая, что в момент выстрела в кабана его температура была равна 37ºС, полагая t = 0 временем задержания неизвестных, из уравнения, в которое входит производная, удалось определить время выстрела. Оказалось, что между моментом выстрела и моментом задержания неизвестных прошло 2 часа 6 минут. Найденное время и косвенные улики полностью доказали виновность задержанных.

Заключение.

Мы увидели сегодня как широко применяется производная. Какие профессии требуют хорошего знания математики. И поэтому, если вы хотите участвовать в большой жизни, то пополняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность.

Рекомендуемая литература

1. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях.

2. Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике.

3. Гуткин Л. И. Сборник задач по математике с практическим содержанием.

4. Детская энциклопедия.

5. Карпелевич Ф. И., Садовский Л. Е. Элементы линейной алгебры и линейного программирования.

6. Нагибин Ф. Ф. Экстремумы.

7. Перельман Я. И. Занимательная алгебра.

13