"Понятие корня n-ой степени из действительного числа"

Степени и корни. Степенные функции

Урок 1. Понятие корня n-й степени из действительного числа

Цель: рассмотреть корень n-й степени из числа.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

Обсуждение с учащимися понятие квадратного корня из числа а: это такое число, квадрат которого равен числу а. Другими словами, х - квадратный корень из числа а, если выполнено равенство х² = а.

По аналогии ученики вводят понятие корня n-й степени из числа а. Обобщение совершенно очевидно: корнем n-й степени из числа а называется такое число х, n-я степень которого равна а. Другими словами, х - решение уравнения хⁿ = а.

Пример 1

а) Число 4 является корнем уравнения х³=64, т. к. выполнено равенство 4³=64.

б) Числа 2 и -2 являются корнями уравнения х⁴=16, т. к. выполнены равенства: 2⁴=16 и (-2)⁴=16.

Вообще, при рассмотрении уравнения хⁿ = а, как правило, получаем решения, которые являются иррациональными числами. Такое решение обозначают символом   (читают: корень n-й степени из числа а). Например, решением уравнения х³=2 является иррациональное число, которое обозначают символом 

При решении уравнения хⁿ =а (где а 0, n ∈ N, n ≥ 2) получаем в случае четного n два корня:   в случае нечетного n - один корень   Это проиллюстрировано рисунком, на котором приведен график функции у = хⁿ и приведено решение уравнения хⁿ = а.

Приведем теперь строгое определение корня.

Определение 1. Корнем n-й степени (n = 2, 3, 4, 5, ...) из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, при возведении которого в степень получают число а. Таким образом, если a ≥ 0 и n = 2, 3, 4, 5, то: 1)   и 2)   Приняты термины:   - корень n-й степени из числа а, число а - подкоренное число, число n - показатель корня.

Для наиболее часто встречающихся корней приняты специальные названия: при n = 2 говорят «квадратный корень» и обозначают символом √a, при n = 3 говорят «кубический корень» и обозначают символом 

Вообще, зависимости   обозначают одну и ту же связь между неотрицательными числами а и b. Операцию нахождения корня называют извлечением корня. Такая операция является обратной по отношению к операции возведения в соответствующую степень, что видно из данных таблицы.(см в учебнике)

Возведение в степень	Извлечение корня
43 = 64
0,54 = 0,0625

Обратите внимание, что в таблице фигурируют только положительные числа, т.к. это оговорено в определении 1.

Пример 2

Используя определение, вычислим:

а)   так как 125 ≥ 0, 5 ≥ 0 и 5³ = 125;

б)   так как 0,0081 ≥ 0, 0,3 ≥ 0 и 0,3⁴ = 0,0081;

в)   так как 

г)   так как 

д)   так как 0 ≥ 0 и 0⁹ = 0.

Операцию извлечения корня можно ввести и для отрицательного числа а, но только в случае нечетного показателя n корня. Например, равенство (-4)³ = -64 можно записать в виде   Для этого случая определение корня аналогично уже приведенному.

Определение 2. Корнем нечетной степени n (n = 3, 5, 7, ...) из отрицательного числа а называют такое отрицательное число, при возведении которого в степень n получают число а. Таким образом, если а  и 2) 

Пример 3

Используя определение, вычислим:

а)   так как -32 ⁵ = -32;

б)   так как -0,125 ³ = -0,125;

в)   так как 

Таким образом, корень четной степени имеет смысл (т. е. определен) только для неотрицательных подкоренных чисел; корень нечетной степени имеет смысл для любых подкоренных чисел.

Пример 4

Решим уравнение:

а)   Корень четной степени - число неотрицательное и не может равняться числу -1. Поэтому данное уравнение решений не имеет.

б)   Обе части уравнения - неотрицательные выражение и число. Поэтому обе части возведем в четвертую степень и получим линейное уравнение 5х-14=1 или 5х=15, корень которого х=3. Итак, данное иррациональное уравнение имеет единственное решение х=3.

в)   Уравнение содержит корень нечетной степени. Возведем в куб обе части и получим линейное уравнение 3х+10=-8 или 3х=-18, корень которого х=-6. Таким образом, данное уравнение имеет единственное решение х=-6.

III. Контрольные вопросы

1. Определение корня n-й степени из неотрицательного числа.

2. Корень нечетной степени из отрицательного числа.

IV. Задание на уроках

§ 33 № 1 (а, б); 2 (в, г) и 3 (а, в) – устные; 4 (а, б); 9 (а, в);№ 11 (а, б) и 12 (в, г) - устно; 14 (а, б); 15 (а, г).

V. Задание на дом

§ 33 № 4 (в, г)-у; 9 (б, г); 11(в, г)-у; 12 (а, б); 14(в, г); 15(б, в).

VI. Подведение итогов урока

Урок 2. Нахождение корня n-й степени из действительного числа.

Цели урока:  формировать навыки решения n- степени вида f(x)=g(x); отработать навыки вычисления корней n-степени; формировать навыки решения неравенств n-степени.

Ход урока:

I. Организационный момент.

II. Повторение и закрепление пройденного материала:

1. Проверка домашнего задания: С места №15(в).

III. Объяснение нового материала.

Пример 1

 Левая часть уравнения - неотрицательное выражение, т. к. является квадратным корнем. Поэтому правая часть также должна быть неотрицательным выражением, т. е. х+1≥0 (откуда х≥-1). Возведем в квадрат обе части данного уравнения 11-х=(х+1)². При этом очевидно, что подкоренное выражение 11-х≥0, т. к. (х + 1)²≥0. Получим квадратное уравнение 11-х=х²+2х+1 или 0=х²+3х-10. Его корни x₁=2 и х₂=-5. Однако условию х≥-1 удовлетворяет только значение х=2. Поэтому корень х=-5 посторонний. Итак, данное иррациональное уравнение имеет единственное решение х = 2.

Вывод:

Иррациональное уравнение, как правило, сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства.

1.  - из двух систем выбирают ту, которая решить проще.

2.  . Тогда: Если а

Если  , уравнение равносильно уравнению  .

3.  

Рассмотрим решение простейших иррациональных неравенств.

Пример 2

Решим неравенство:

а)   Левая часть неравенства - неотрицательное выражение, правая часть - отрицательное число. Поэтому неравенство выполнено для всех значений х из ОДЗ неравенства. Решим неравенство   например, методом интервалов. Получаем х∈[1,5; 4). Этот промежуток является решением данного иррационального неравенства.

б)   Левая часть неравенства - неотрицательное выражение, правая часть - положительное число. Поэтому возведем обе части неравенства в квадрат: х² + 3х ≥ 4. При этом подкоренное выражение положительно. Решим полученное квадратное неравенство х³ + 3х - 4 ≥ 0 и получим: х ∈ (-∞; -4] U [1; +∞).

в)   ОДЗ неравенства задается условием х²+8х≥0. Решение этого неравенства х∈(-∞;-8]U[0;+∞). Обе неотрицательные части неравенства  возведем в квадрат. Получаем квадратное неравенство х²+8х²+8х-9∈(-9;1). С учетом ОДЗ находим решение данного иррационального неравенства: х∈(-9; -8] U [0; 1).

IV.Решение задач:

§ 33 №19(а), 16 (б, в), резервные задачи: 17(а,б), 18(а)

V. Контрольные вопросы

1) Рассмотрим уравнения вида: . В каких случаях данные уравнения имеют решения? Не имеют решений?

2) Как решать данные уравнения?

V. Задание на дом

§ 33 16 (а, г); 17 (в, г); 18 (а), 19(г), учить определения

VI. Подведение итогов урока

Урок 3. Функции   их свойства.

Цель: закрепить умение решать задачи на вычисления корня  степени; рассмотреть свойства функций 

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию.

2. Разбор задач № 19(г)

III. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Определение корня n-й степени из неотрицательного числа.

2. Решите уравнение (неравенство):

3. Сравните числа и

Вариант 2

1. Определение корня нечетной степени из отрицательного числа.

2. Решите уравнение (неравенство):

3. Сравните числа 2 и

IV. Изучение нового материала

Сначала обсудим свойства функции   для неотрицательных значений аргумента. Степенная функция у=хⁿ при х∈[0; +∞) монотонна. Поэтому такая функция обратима. Найдем обратную функцию. Из равенства у=хⁿ выразим переменную х и получим   Поменяем переменные х и у местами и получим функцию  , обратную для функции у=хⁿ. Поэтому график функции   симметричен графику функции у=хⁿ относительно прямой у=х для х≥0. (рис.1)

Перечислим основные свойства функции   (х ≥ 0):

1) область определения D(f) = [0; +∞).

2) функция не является ни четной, ни нечетной;

3) функция возрастает на [0; +∞);

4) функция ограничена снизу и не ограничена сверху;

5) наименьшее значение функции у_наим=0 при х=0, наибольшего значения функция не имеет;

6) функция непрерывна;

7) область значений E(f) = [0; +∞);

8) функция выпукла вверх;

9) функция дифференцируема (имеет производную) в любой точке х 0 и не имеет производной в точке х = 0.

Пример 1

Построим график функции 

Построим вспомогательную систему координат с началом в точке (2; 1) и осями – прямыми y = 1 и х = 2. В этой новой системе координат построим график функции 

Можно было также сместить график функции   на две единицы вправо и на одну единицу вверх.

Остановимся теперь на свойствах функции   в случае нечетного значения n и любых значений аргумента x. Очевидно, что такая функция является нечетной. Действительно, получаем:   Так как выполнено равенство у(-х) = -у(х), то функция   нечетная и ее график симметричен относительно начала координат. На рисунке приведен график этой функции. (рис.2)

Перечислим основные свойства функции   для нечетного значения n:

1) область определения D(f) = (-∞; +∞);

2) функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат;

3) функция возрастает на (-∞; +∞);

4) функция не ограничена;

5) функция наименьшего и наибольшего значения не имеет;

6) функция непрерывна;

7) область значений E(f) = (-∞; +∞);

8) функция выпукла вниз на промежутке (-∞;0] и выпукла вверх на промежутке [0; +∞);

9) функция дифференцируема (имеет производную) в любой точке х ≠ 0 и не имеет производной в точке х = 0.

IV. Контрольные вопросы

1. Приведите свойства и график функции 

2. Перечислите свойства и приведите график функции   для нечетных n.

V. Задание на уроке

§ 34, № 3 (а); 4 (б); 5 (г), 6(б,в); 8 (а, б);

VI. Задание на дом

§ 34, № 1 (в, г); 3 (в); 4 (в, г); 5 (а, б), 7; 8 (в, г)

VII. Подведение итогов урока

Урок 4. График функции 

Цель: закрепить свойства функции , отработка умения строить график функции , свойства функции  при решении иррациональных уравнений и неравенств. 

Ход урока:

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Анализ Самостоятельной работы. Обсуждение наиболее сложных заданий.

Вариант 1:

№2 а) Решение: x₁=0, x₂=1

б) Решение: x

в) Решение: , т.к. 20, методом интервалов: xϵ(1;5]

№3 Решение: ,

Вариант 2:

№2 а) Решение: x₁=0, x₂=1

б) Решение: x

в)Решение: , т.к.20, методом интервалов: xϵ[-2,5;-1)

№3 Решение: 2 ,

Теоретический опрос: 1. Приведите свойства и график функции 

2. Перечислите свойства и приведите график функции   для нечетных n.

III. Объяснение нового материала:

Как можно использовать свойства функции  при решении иррациональных уравнений и неравенств? Рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 1

Решим уравнение  графическим методом

В одной системе координат построим графики функций   и у = х + 1. Видно, что графики функций пересекаются в единственной точке А(0; 1). Проверка показывает, что эта точка принадлежит и графику функции  , и графику функции у = х + 1. Тогда данное уравнение имеет единственный корень: х = 0 - абсцисса точки А.

Графический способ решения подсказывает и аналитическое решение. Легко проверить, что x = 0 — корень данного уравнения. При этом функция у = х + 1 возрастает, а функция   убывает. Тогда данное уравнение имеет только один корень.

Пример 2

Решим неравенство 

В одной системе координат построим графики функций   и у = 2х - 1. Графики функций пересекаются в единственной точке А(1; 1), и данное неравенство выполняется на промежутке х ∈(-∞; 1].

Пример 3

Построим и прочитаем график функции у = f(х), где 

Сначала построим график функции у=-х-2 на промежутке (-∞; -1). Затем строим график функции   на промежутке [-1; +∞). С учетом построенного графика перечислим основные свойства функций:

1) область определения D(f) = (-∞; +∞);

2) функция не является ни четной, ни нечетной;

3) функция убывает на (-∞; 1] и возрастает на [-1; +∞);

4) функция ограничена снизу и не ограничена сверху;

5) наименьшее значение функции у_наим = -1 при х = -1, наибольшего значения функция не имеет;

6) функция непрерывна;

7) область значений E(f) = [-1; +∞);

8) функция выпукла вниз на промежутке [-1;0] и выпукла вверх на промежутке [0;+∞);

9) функция дифференцируема (имеет производную) в любой точке х, кроме х=-1 и х=0. Не имеет производной в точках х=-1 и х=0.

Пример 4

Найдем область определения и область значений функции:  

а) Область определения функции задается условием 4х² - 9 ≥ 0. Решение этого неравенства D(f) = (-∞; -1,5] U [1,5; +∞). В этих промежутках функция принимает значения E(f) = [0; +∞).

б) Функция определена при всех значениях х, т. е. D(f) = (-∞; +∞). При этом сама функция также принимает все значения, т. е. E(f) = (-∞; +∞).

в) Область определения функции задается условиями х - 2 ≥ 0 и х² + 5 ≥ 0. Решение этой системы неравенств D(f) = [2; +∞). В этом промежутке функции х – 2 ≥ 0 и х² + 5 возрастающие. При этом х - 2 ≥ 0 и х² + 5 ≥ 9, тогда   и   Поэтому область значений данной функции E(f) = [12; +∞).

IV. Задание на уроках

§ 34, № 10 (в, г), 12; 15 (а)-устно; 16 (в); 17 (б); 19 (а, б)-устно; 21 (б).

V. Задание на дом

§ 34, №; 10 (а, б), 13; 15 (б); 16 (г); 17 (г), 19 (в, г); 21 (а).

VI. Подведение итогов урока

Урок 5. Свойства корня n-й степени

Цель: проверить знания по пройденному материалу, обсудить свойства корней по Теоремам 1 и 2, применять их к решению задач.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Найдите область определения функции:

2. Постройте график функции:

Вариант 2

1. Найдите область определения функции:

2. Постройте график функции:

III. Изучение нового материала

Для вычисления иррациональных выражений необходимо знать свойства корней n-й степени и уметь ими пользоваться.

Теорема 1. Корень n-й степени (n = 2, 3, 4, ...) из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней n-й степени из этих чисел, т. е. 

Докажем это утверждение. Для удобства введем обозначения:   Надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполнено равенство х = y ∙ z. При введенных обозначениях имеем:   тогда   или  откуда х=y∙z. Это и требовалось доказать.

Пример 1

Вычислим: 

Разумеется, приведенную формулу можно применять слева направо и справа налево.

Пример 2

Вычислим:   

Теорема 2. Корень n-й степени из отношения неотрицательного числа а и положительного числа b равен отношению корней n-й степени из этих чисел, т. е. 

Докажем такое утверждение. Пусть 

Надо доказать, что для неотрицательных чисел х и у и положительного числа z выполнено равенство  . При введенных обозначениях получаем: тогда  или   откуда  . Таким образом, утверждение доказано.

Пример 3

Вычислим: 

Пример 4

Найдем: 

Пример 5

Вычислим 

Прежде всего обратим смешанное число   в неправильную дробь: Теперь, используя теорему 2, найдем: 

Разумеется, теоремы 1 и 2 являются обобщениями аналогичных свойств квадратных корней (8 класс).

IV. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Сформулируйте (и докажите) теорему о корне из произведения чисел.

2. Сформулируйте (и докажите) теорему о корне из частного двух чисел.

V. Задание на уроках

§ 35, № 1 (а, г)-устно; 4 (а, б); 9 (а, г); 10 (б); 12 (а, б); 13 (б).

VI. Задание на дом

§ 35, № 1 (б,в); 4 (в,г); 9 (б,в); 10 (г); 12 (в,г); 13 (а), теоремы 1 и 2 с доказательством.

VII. Подведение итогов урока

Урок 6. Применение свойств корня n-й степени при решении задач.

Цель: обсудить свойства корней по Теоремам 3 и 5, применять их к решению задач.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Проверка домашнего задания у доски: 1 ученик - №10(г), теорема 1

2 ученик - №13(а), теорема 2

2. Анализ самостоятельной работы. Разбор наиболее сложных заданий:

Вариант 1

1. Найдите область определения функции:

а) Решение: (x+3)(x-1)≤0, xϵ[-3;1]

б) Решение: xϵ[-3;1.5]

2. Постройте график функции:

а) переносим начало координат в т.(2;1) и строим у=

б) преобразуем: у= , у= , х≠1⇒строим у= –это смещенный график функции у= по оси ОХ вправо на 3 единицы.

Вариант 2

1. Найдите область определения функции:

а) Решение: (x+5)(x-1)≤0, xϵ[-5;1]

б) Решение: xϵ[-0,5;2]

2. Постройте график функции:

а) переносим начало координат в т.(-3;-2) и строим у=

б) преобразуем: у= , у= , х≠1⇒строим у= –это смещенный график функции у= по оси ОХ вправо на 2 единицы.

III. Изучение нового материала

Рассмотрим теперь другие свойства радикалов.

Теорема 3. Чтобы возвести корень n-й степени из неотрицательного числа а в натуральную степень k, надо в эту степень возвести подкоренное выражение, т.е.   Очевидно, что такое утверждение является следствием теоремы 1. Действительно, получаем: 

Пример 1

Вычислим: 

Теорема 5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т. е. 

Обозначим   (тогда по определению корня выполнено равенство x^np = a^kp) и   (тогда имеем уⁿ = а^k). Возведем в степень р обе части последнего равенства: у^nр =а^kp. Сравнивая равенства х^nр = а^kр и у^nр = а^kp, получаем х^nр = у^nр, откуда х = у (что и требовалось доказать).

Пример 2

а)   (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 4);

б)   (показатели корня и подкоренного выражения умножили на 2).

Пример 3

Упростим выражение 

Каждый корень, входящий в выражение, представим в виде корня степени 12 (теорема 5) и учтем теорему 1. Получаем:   

IV. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Возведение корня из числа в натуральную степень.

2. Формулировка Теоремы 5.

V. Задание на уроках

§ 35, № 14 (а, в) - устно; 15(б); 16(а); 19 (б, в); 20 (а, б); 22 (в, г).

VI. Задание на дом

§ 35, № 14(б,г); 15(а); 16(б); 19(а,г); 20(в,г); 22(а,б), теоремы 3 и 5 с доказательством.

VII. Подведение итогов урока

Урок 7. Свойства корня n-й степени.

Цель: рассмотреть особенности Теоремы 5, изучить Теорему 4, применять свойства корней n-й степени к решению задач.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Проверка домашнего задания у доски: 1 ученик – теорема 5, №19(г).

1. ученик – теорема 3, №20(г), 22(б).

III. Изучение нового материала

Теорема 4. Чтобы извлечь корень n-й степени из корня k-й степени из неотрицательного числа а, надо извлечь корень степени nk из этого числа, т. е. 

Докажем это утверждение. Обозначим   Надо доказать, что для неотрицательных чисел х и у выполнено равенство х = у. Возведем в n-ю степень х и получим:   Теперь такое равенство возведем в степень k. Имеем: (хⁿ)^k = а или х^nk = а. Также возведем в степень nk величину у и получим: у^nk = а. Очевидно, что x^nk = у^nk, и тогда х = у.

Утверждение доказано.

Пример 1

Упростим выражение:

Вернемся к Теореме 5. Используя ее при решении задач можно попасть в «ловушку». Рассмотрим пример:

Пример 2

Упростить выражение: .

Если бездумно применить теорему 5 и формально разделить показатели корня и подкоренного выражения на 4, получится под корнем четной степени отрицательное число: =

Еще один пример, где легко ошибиться:

Пример 3

Вычислить:

Недопустимы следующие преобразования: = , т.к. в результате перемножения отрицательного первого множителя с положительным вторым множителем получили положительное число. Правильнее будет так:

=-

Вывод: В случае умножения или деления показателей на одно и то же четное число необходимо контролировать, чтобы а было всегда положительным:

IV. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Свойства корня n-степени.

V. Задание на уроках

§ 35, № 24 (а, в); 26 (б); 28; 30 (а, б).

VI. Задание на дом

§ 35, № 24(б,г); 26(а); 29; 30(в,г), теорема 4, повторить теоремы 1-3, 5.

VII. Подведение итогов урока

Урок 8. Решение задач.

Цель: закрепить свойства корней и их использование для преобразования выражений, сравнения иррациональных чисел, проверить уровень усвоения пройденного материала.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Проверка домашнего задания у доски: 1 ученик: доказательство теоремы 4, №24(б)

2 ученик: №29, 30(г)

2. Решение задач:

Пример 1

Сравним числа:

а)  Представим данные корни в виде корней одной и той же степени, используя свойство 5. Получаем:   и   Так как 9 8 0, то имеем   или 

б)   (при a 1, n ∈ N и n ≥ 2). Используя свойство 5, представим данные корни в виде корней одинаковой степени. Получаем:   Так как   то имеем   или 

3. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Корень из произведения двух чисел (с доказательством).

2. Сравните числа: 

3. Вычислите: а)

4. Упростите выражение: а)   (при а ≤ 0); б)

Вариант 2

1. Корень из частного двух чисел (с доказательством).

2. Сравните числа: 

3. Вычислите: 

4. Упростите выражение: а)  (при а ≤ 0); б)

III. Задание на дом:

§ 35, № 23(в,г), 25(а), 26(в), 27(а,г)

IV. Подведение итогов урока

Урок 9. Свойства корня.

Цель: закрепить свойства корней и их использование для решения задач; ввести понятия вынесения и внесения множителя из-под корня.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Проверка домашнего задания у доски: 1 ученик - № 25(а), 27(г)

2. Остальные учащиеся: Анализ самостоятельной работы. Разбор наиболее сложных заданий:

Вариант 1

1. а) , ,

б) , ,

3. а) ; б)

4. а) 3

б)

Вариант 2

2. а) , = , 125

б) , ,

3. а) ; б)

4. а) 4

б)

3. Решение задач (у доски):

№ 1150(а)

а) = - =-25

№6.31

Докажите, что 2 , если = .

Доказательство: 2 =2 . Ч.т.д.

III. Изучение нового материала

Во многих случаях требуется выполнять операции вынесения из-под корня и внесения под корень некоторых выражений. В случае корней четной степени, как правило, допускаются ошибки.

Еще раз напомним, что   , если n - четное натуральное число, т.е .

Пример 1

а) Вынесем множитель за знак корня 

Учтем ОДЗ данного выражения: a - любое действительное число, b ≥ 0. Используя свойства корней, получаем:     (учтем, что 

б) Внесем множитель под знак корня 

ОДЗ данного выражения: b ≥ 0 и a - любое действительное число. Поэтому необходимо рассмотреть два случая:

если a ≥ 0, то 

если а  

Итак, данное выражение 

№ 6.25 (а,б)

Внесите переменные под знак корня:

а) ad²

б) –p³q =

Так как

№ 6.26 (а)

Вынесите переменные из-под знака корня:

а) .

Так как Значит,

IV. Задание на дом:

№1150(б): ,

№1152(б,г): б) ; г)

№6.25(в,г): в) –mn³

№6.26(б):

V. Подведение итогов урока

Урок 10. Иррациональные выражения.

Цели урока: ввести понятие иррационального выражения, формировать умение решать задания на преобразование выражений, содержащих радикалы; формировать умение решать задания на освобождение знаменателя дроби от иррациональности. 

Ход урока

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Проверка домашнего задания у доски: 1 ученик - № 6.25(в,г), 6.26(б)

2. Остальные учащиеся: Теоретический опрос с выписыванием свойств корня n-степени на доске:

III. Изучение нового материала

Приведенные формулы используют для преобразования выражений, содержащих корни (радикалы). Такие выражения называют иррациональными. Рассмотрим наиболее типичные примеры.

Пример 1

Упростим числовое выражение:

а) Вынесем множители за знаки корней. Получаем: 

б) Используем свойство произведения корней и формул разности квадратов. Имеем: 

в) Предположим, что подкоренное выражение   является квадратом разности, т.е.   где а и b - некоторые положительные числа. Возведем в квадрат правую часть равенства:   Приравняем целую и иррациональную части. Получаем систему уравнений   Решением этой системы являются числа а = 4 и b = 3. Таким образом, 

 Было учтено, что √2 ≈ 1,4 и 

В ряде случаев полезно избавляться от корней (иррациональности) в знаменателях дробей. Для этого используют формулы сокращенного умножения.

Пример 2

Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби 

Запишем знаменатель дроби в виде   Очевидно, что такое выражение является неполным квадратом разности чисел   Поэтому умножим числитель и знаменатель данной дроби на сумму   (сопряженную величину) и учтем формулу суммы кубов. Получаем:

IV. Задание на уроке

§ 36, № 1-устно; 6 (а, б); 8 (в, г); 9 (а, г); 11 (а, б); 12 (г).

V. Задание на дом

§ 36, № 2; 6 (в, г); 8 (а, б); 9 (б, в); 11 (в, г); 12 (б).

VI. Подведение итогов урока

Урок 11. Преобразование выражений, содержащих радикалы.

Цели урока: формировать умение решать задания на преобразование выражений, содержащих радикалы; формировать умение решать задания на освобождение знаменателя дроби от иррациональности. 

Ход урока

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Разбор домашнего задания: Учитель отвечает на вопросы по домашнему заданию.

2. Самостоятельная работа:

III. Изучение нового материала

На прошлом занятии мы использовали формулы сокращенного умножения, чтобы избавляться от корней (иррациональности) в знаменателях дробей.

Этот же прием можно использовать и для решения более сложных задач.

Пример 1

Найдем сумму дробей 

Избавимся в сумме А от иррациональности в знаменателях дробей:

Так как в рассматриваемой сумме сокращаются все слагаемые, кроме первого и последнего, то она равна 

Пример 2

У простим выражение 

Для того чтобы A было определено, необходимо выполнить условия: 1 - х ≥ 0, 4х² - 12х + 9 ≥ 0. Первое из них выполнено для х ≤ 1, второе - для всех х, так как 4х² – 12x + 9 = (2х - 3)² ≥ 0. Тогда выражение А имеет вид:  Раскрывая знак абсолютной величины для х ≤ 1 (а при таких х выражение 2х - 3

Из приведенного примера видно, что в рассматриваемых выражениях успешно используются формулы сокращенного умножения. Рассмотрим еще один пример.

IV. Задание на уроке

§ 36, № 13 (б); 14 (в); 16 (г); 17 (а); 19 (б); 23 (г).

V. Задание на дом

§ 36, № 13 (г); 14 (а); 16 (б); 17 (в); 19 (г); 23 (б).

VI. Подведение итогов урока

Урок 12. Преобразование выражений.

Цели урока: формировать умение решать задания на преобразование выражений, содержащих радикалы методом замены переменной. 

Ход урока

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Проверка домашнего задания у доски: 1 ученик - № 23(б), 19(г), 16(б)

2. Остальные уч-ся: Анализ самостоятельной работы. Разбор наиболее сложных заданий:

Вариант 1

1. а) ,

б)

1. 

2. 

Вариант 2

1. а) ,

б)

1. 

2. 

III. Изучение нового материала

Иногда для решения задачи с радикалами проще использовать новую переменную

Пример 1

Упростим выражение   Под каждым из радикалов, входящих в А, находится полный квадрат суммы чисел, что, однако, является неочевидным. Чтобы убедиться в этом, введем новую переменную     Подставив это выражение в А, получим: 

 Так как арифметический корень у ≥ 0, то выражения у+1 и 2у+1 положительны. Поэтому  Это выражение определено при х ≥ 5/3.

Заметим, что во многих случаях выражения, содержащие радикалы, с помощью простейших замен сводятся к алгебраическим рациональным выражениям.

Пример 2

Упростим выражение 

Введем очевидные замены   тогда х = у² и а = z². Подставив х и а в выражение А, получим: 

Возвращаясь к исходным переменным х и а, найдем А = 3x. Это выражение А определено при х ≥ 0, а ≥ 0, х ≠ а.

IV. Задание на уроке

§ 36, № 29 (а); 30 (б); 24 (а, б); 27 (в, г).

V. Задание на дом

§ 36, № 24 (в, г); 27 (а, б); 29 (б); 30 (а).

VI. Подведение итогов урока

 Урок 13. Обобщающее повторение по теме «Преобразование выражений, содержащих радикалы».

Цели урока: закрепить умение решать задания на преобразование выражений, содержащих радикалы различными методами. 

Ход урока

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала:

1. Решение задач у доски с объяснением:

Пример1:

Решите уравнение

-2х-5=-32; -2х=-27; х=13,5.

Пример 2:

Преобразуем:

Пусть t= , t . Получим: t²+t-12=0; t₁=-4 – не подходит, t₂=3 ⇒

Пример 3:

Т.к. х то получим: -5х-2х+6х=-х. значит исходное выражение равно 0,25.

Пример 4:

Вычислите:

Оценим m: 3⁶=81*9=729. Так как ⇒ ⇒ m .

Преобразуем исходное выражение: -2m-4m+5m+ =-m+ =3

Пример 5:

Построить графики функций: а) y= б) y=-

а) строим постепенно путем преобразований графики функций: y₁=

б) строим постепенно путем преобразований графики функций: y₁=

.

Пример 6:

Вычислить:

а)

б) =

№ 36.23(в)

III. Задание на дом:

§ 33-36, №36.23(а), 35.11(б,г), 35.27(в),

1. Построить графики функций: а) y=- , б) y=-

2. Вычислить:

3. Найти значение выражения:

IV. Подведение итогов урока.

Урок 14. Контрольная работа №1 по теме «Преобразование выражений, содержащих радикалы»

Цель: проверка знаний учащихся по изученной теме.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Варианты контрольной работы

Урок 15. Обобщающее повторение по теме «Преобразование выражений, содержащих радикалы».

Цели: сообщить результаты работы; рассмотреть наиболее типичные ошибки; разобрать трудные задачи.

Ход урока

I. Сообщение темы и целей урока

II. Итоги контрольной работы

III. Ответы и решения

Вариант 1

1. а) 3,5; б) 108

2. 

3. График симметричен относительно Ох графику . Начало системы координат смещено в точку(1;3).

4. 

5. х²-х-131=-125 ⇒ х²-х-6=0 ⇒ х₁=3, х₂=-2

6. b +

7. Преобразуем уравнение: -6=0, 3 +3 .

Пусть t= ⇒

Вариант 2

1. а) 2,3; б) 968

2. 

3. График симметричен относительно Ох графику . Начало системы координат смещено в точку(-3;-5).

4. 

5. х²-х-44=-32 ⇒ х²-х-12=0 ⇒ х₁=4, х₂=-3

6. 

7. Преобразуем уравнение: =0, 2 2 .

Пусть t= ⇒

IV. Решение задач:

№1(17егэ).

Число   равно   Каж­до­му из четырёх чисел в левом столб­це соответствует отрезок, ко­то­ро­му оно принадлежит. Уста­но­ви­те соответствие между чис­ла­ми и от­рез­ка­ми из пра­во­го столбца.

 

НЕРАВЕНСТВА		РЕШЕНИЯ
А)  Б)  В)  Г)		1) [−2; −1] 2) [0; 1] 3) [2; 3] 4) [4; 5]

 Впишите в приведённую в от­ве­те таблицу под каж­дой буквой со­от­вет­ству­ю­щий отрезку номер.

А	Б	В	Г

Заметим: = 0,7. Используя данное приближение, оценим приведённые в условии выражения.

А)   значит,   принадлежит первому промежутку.

Б)   значит,   принадлежит второму промежутку.

В)   Заметим:   Значит,  принадлежит третьему промежутку.

Г)   Значит,   принадлежит четвёртому промежутку.

 Ответ: 1234.

№2(9егэ-п). 

Найдите значение выражения   при 

Выполним преобразования:

При   имеем   Тогда 

 Ответ: 2.

№3(9егэ-п). 

Найдите  , если   при 

Решение: Подставим аргументы в формулу, задающую функцию:

⇒ Ответ: 1.

V. Задание на дом

№1(9егэ-п). 

Найдите значение выражения   при 

Воспользуемся тождеством   и раскроем модули на отрезке [6; 10]:

Ответ: 4.

№2(9егэ-п). 

Найдите  , если 

Решение.

Подставим аргументы в формулу, задающую функцию:

Следовательно,  Ответ: 0.

№3(17егэ). 

На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны точки A, B, C, и D.

Каждой точке со­от­вет­ству­ет одно из чисел в пра­вом столбце. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ука­зан­ны­ми точ­ка­ми и числами.

ТОЧКИ		ЧИСЛА
А) A Б) B В) C Г) D		1)  2)  3)  А Б В Г         4)

 В таб­ли­це под каж­дой бук­вой ука­жи­те со­от­вет­ству­ю­щий номер. 

Решение: Чтобы опре­де­лить числа на ко­ор­ди­нат­ной оси при­мер­но посчитаем, что пред­став­ля­ет собой каж­дое из них:

1) , что со­от­вет­ству­ет точке D

2) , что со­от­вет­ству­ет точке A

3) , что со­от­вет­ству­ет точке С

4) , что со­от­ветст­ву­ет точке B

VI. Подведение итогов урока

 Урок 16. Показатель степени

Цели: обобщить понятие степени числа; рассмотреть свойства степеней.

Ход урока

I. Сообщение темы и целей урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Разбор домашнего задания: Учитель отвечает на вопросы по домашнему заданию.

III. Изучение нового материала

В более ранних классах было определено понятие степени числа с целым показателем. Выражение аⁿ имеет смысл при всех целых n и любых значениях а, кроме а = 0 и n ≤ 0.

Пример 1

а) Выражения   и т. д. определены.

б) Выражения 0^-3, 0^-7, 0⁰ не имеют смысла.

Напомним свойства таких степеней. Для любых чисел а, b и любых целых чисел m и n выполнены равенства:

7) если m n, то а^m  аⁿ при а 1 и а^m n при 0

Теперь необходимо понять смысл выражений   и т. д. Для этого надо таким образом обобщить понятие степени, так чтобы выполнялись все или часть перечисленных свойств степеней. Рассмотрим равенство   Тогда по определению корня q-й степени разумно считать, что   будет корнем q-и степени из числа а^p.

Итак, степенью числа а 0 с рациональным показателем   (где р - целое число, q - натуральное (q 1)) называется число   т. е.   При этом степень числа 0 определена только для положительных показателей, т. е. 0^r = 0 для любого r 0.

Пример 2

По определению степени с рациональным показателем и свойствам корней получаем: 

Сделаем ряд замечаний, связанных с понятием степени с рациональным показателем.

1) Для любого а 0 и любого рационального числа r число а^r  0.

2) По основному свойству дробей рациональное число можно записать в виде   для любого натурального числа k. Тогда значение степени не зависит от формы записи рационального числа, т. к. 

3) При а . Поясним это примером. Рассмотрим С другой стороны, и тогда Получаем противоречие.

Для приведенного определения степени с рациональным показателем выполняются все приведенные ранее основные свойства степеней, но только для положительных оснований.

И так, для любых рациональных чисел s и t и любых положительных чисел а и b справедливы равенства:

6) если 0 ^s sпри s 0 и a^s  b^sпри s

7) если s t, to a^s  b^tпри a a^tи a^s tпри 0

Перечисленные свойства доказываются исходя из определения степени с рациональным показателем, свойств корней и свойств степени с целым показателем.

Пример 3

Докажем свойство 1.

Пусть   где n и l - натуральные числа, m и k - целые. Тогда получаем: 

Аналогично доказывают свойства 2-5.

Пример 4

Докажем свойство 6.

Запишем число S 0 в виде   где m и n - натуральные числа. Из неравенства 0 ^m m. По свойству корней из такого неравенства получаем:   или   или а^ss.

Случай S

III. Задание на уроке

§ 37, 1 (а, б); 2 (г); 5 (в, г); 7 (а, б); 9; 14 (а, в); 19 (в, г).

IV. Задание на дом

§ 37, № 1 (в, г); 2 (а); 6 (б, в); 7 (в, г); 10; 14 (б, г); 19 (а, б).

V. Подведение итогов урока

Урок 17. Обобщение понятий о показателе степени

Цели: закрепить свойства степеней, научиться применять их в решении задач.

Ход урока

I. Сообщение темы и целей урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Проверка домашнего задания у доски: 1 ученик - № 10(а), 7(в)

2 ученик -№ 19(б), дополнительно: №24(а)

2. Теоретический опрос для остальных учащихся:

1. Дайте определение степени числа с рациональным показателем.

2. В каком случае определена степень числа 0?

3. Запишите на доске основные свойства степеней числа.

III. Изучение нового материала

Обсудим применение приведенных свойств.

Пример 1

Вычислим выражение 

Используя свойства степени с рациональным показателем, запишем выражение в виде 

Пример 2

Упростим выражение 

Перейдем к рациональным показателям степени и получим:

IV. Задание на уроке

§ 37, №24 (г); 26 (б); 27 (а, б); 28 (в, г).

V. Задание на дом

§ 37, №24 (б, в); 26 (г); 27 (в, г); 29 (б).

VI. Подведение итогов урока

Урок 18. Понятие степени с любым рациональным показателем

Цели: закрепить навыки решения задач, содержащих степени с любым рациональным показателем.

Ход урока

I. Сообщение темы и целей урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Разбор домашнего задания: Учитель отвечает на вопросы по домашнему заданию.

2. Решение задач:

Пример 1

- разбирает учащийся у доски

III. Изучение нового материала

Пример 1

Вычислим выражение 

Используем определение рационального показателя степени и свойства степеней. Имеем:   Для удобства введем новые переменные   и получим:

В этом примере оказалось целесообразным использование новых переменных, т. к. это сразу позволило перейти к выражению с натуральными показателями степени, с которым удобнее проводить преобразования.

Пример 2

Сравним числа 

Число   запишем в виде степени с рациональным показателем   Так как   то по последнему свойству степеней   или 

Пример 3(13егэ-п)

Решите уравнение 

Сделаем замену переменной:  , причем . Получаем:

Раскроем первый модуль:  т.к. , получаем:

Воспользуемся определением модуля. Получаем:

Ответ: 

IV. Задание на уроке

§ 37, №30 (а, б); 32 (а); 33 (б).

V. Задание на дом

§ 37, № 30 (в, г); 32 (б); 33 (а),

№1(13егэ-п): Решите уравнение  ,

№2

VI. Подведение итогов урока

Урок 19. Степенные функции, их свойства и графики

Цели: обобщить понятие степенной функции; рассмотреть свойства и графики таких функций.

Ход урока

I. Сообщение темы и целей урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Проверка домашнего задания у доски: 2 ученика – №1 и №2

2. Контроль усвоения материала (Самостоятельная работа):

Вариант 1

1. Найдите значение выражения:

2. Упростите выражение:

3. Сократите дробь:

а) , б)

4. Известно, что f(x)= g(x)= . Докажите, что f(4 )=g(2x).

Вариант 2

1. Найдите значение выражения:

2. Упростите выражение:

3. Сократите дробь: 

а) , б)

4. Известно, что f(x)= g(x)= . Докажите, что f(8 )=4g(x).

III. Изучение нового материала

Функции вида у = x^r (где r - любое действительное число (в том числе и иррациональное)) называют степенными функциями. Пока будем рассматривать только рациональные показатели r. Многие такие функции изучались ранее. Если r - натуральное число (r = n), то получаем функцию у = хⁿ. При n = 1; 2; 3 получаем графики прямой (n = 1), параболы (n = 2) и кубической параболы (n = 3). График степенной функции у = хⁿ в случае четного n (n = 4, 6, 8) похож на параболу (у = х²), а в случае нечетного n (n = 5, 7, 9, ...) - на кубическую параболу (у = х³).

Если r = -n, то получаем степенную функцию у = х^-n или   Вид таких функций при четных и нечетных n представлен на рисунке.

При r = 0 имеем функцию у = х⁰ или у = 1 (где х ≠ 0). Графиком такой функции является горизонтальная прямая у = 1 с выколотой точкой х = 0 (х 0).

V. Задание на уроке

§ 38, № 3 (а); 7(а), 8(в).

VI. Задание на дом

§ 38, № 3 (б); 7(в), 8(а),

№1(13егэ-п)

а) Решите уравнение  .

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  ,

VII. Подведение итогов урока

Урок 20. Свойства функции , где

Цели: рассмотреть свойства и графики таких функций , где и сравнить со свойствами и графиком функции , где

Ход урока

I. Сообщение темы и целей урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Проверка домашнего задания у доски: 2 ученика – №7(в) и 8(а); №1

2. Остальные учащиеся теоретический опрос:

1. Определение степенной функции у = x^r.,

2. Как выглядят графики функций у = хⁿ, n ϵ N при четном и нечетном n

3. Как выглядят графики функций у = х^-n, n ϵ N при четном и нечетном n

III. Изучение нового материала

Рассмотрим теперь степенные функции   с рациональными показатели степени. Их свойства и графики существенно зависят от показателя степени 

Свойства функции   для 

1. Область определения D(f) = [0; +∞).

2. Определенной четности не имеет.

3. Возрастает на промежутке [0; +∞).

4. Ограничена снизу и не ограничена сверху.

5. Наименьшее значение y_наим = 0, наибольшего значения не имеет.

6. Непрерывна.

7. Область значений E(f) = [0; +∞).

8. Выпукла вниз.

Свойства функции   для 

1. Область определения D(f) = [0; +∞).

2. Определенной четности не имеет.

3. Возрастает на промежутке [0; +∞).

4. Ограничена снизу и не ограничена сверху.

5. Наименьшее значение у_наим = 0, наибольшего значения не имеет.

6. Непрерывна.

7. Область значений E(f) = [0; +∞).

8. Выпукла вверх.

Урок 21. Свойства функции

Свойства функции   для 

1. Область определения D(f) = (0; +∞).

2. Определенной четности не имеет.

3. Убывает на промежутке (0; +∞).

4. Ограничена снизу и не ограничена сверху.

5. Наименьшего и наибольшего значений не имеет.

6. Непрерывна.

7. Область значений E(f) = (0; +∞).

8. Выпукла вниз.

Наконец обсудим производную степенной функции.

Теорема (без доказательств). Если х 0 и r - любое рациональное число, то производная степенной функции у = х^rвычисляется по формуле y' = rx^r-1.

Пример 1

Найдем производную функцию:

При этом было использовано правило дифференцирования 

Пример 2

Исследуем функцию   на монотонность и экстремумы и построим ее график.

1. Найдем производную данной функции: 

2. Функция существует при х ≥ 0, производная существует при х 0. Поэтому критических точек у функции нет. Стационарную точку найдем из условия у' = 0 или   откуда х = 1.

3. Очевидно, что при х ∈ (0; 1], значение у' ≤ 0 и функция у(х) убывает на этом промежутке. При х ∈ [1; +∞) значение у' ≥ 0 и функция у(х) возрастает. В точке х = 1 функция у(х) имеет минимум 

4. График функции у(х) пересекает ось абсцисс в точке, которая является решением уравнения   или  откуда х = 0 или х = 3.

5. Построим график функции у(х).

Пример 3

Найдем наименьшее и наибольшее значения функции   на:

а) отрезке [0; 27]; б) интервале (0; 27); в) отрезке [8; 27].

1. Найдем производную данной функции: 

2. Функция существует при х ≥ 0, производная существует при х 0. Поэтому критических точек у функции нет. Стационарную точку найдем из условия у' = 0 или   откуда   и х = 1.

3. При х ∈ (0; 1] значение у' ≥ 0 и функция у(х) убывает на этом промежутке. При x ∈ [1; +∞) значение у’ = 0 и функция y(х) возрастает. В точке х = 1 функция у(х) имеет минимум 

а) Найдем значения функции на концах промежутка [0; 27]. у(0) = 0,   Точка минимума лежит на данном промежутке, и   Тогда наименьшее значение функции на отрезке   наибольшее значение 

б) Так как концы промежутка 0 и 27 интервалу (0; 27) не принадлежат, то функция у(х) наибольшего значения не имеет. Точка х = 1 лежит на данном интервале, и наименьшее значение функции 

в) На промежутке [8; 27] функция у(х) возрастает. Поэтому наименьшее значение функции   и наибольшее значение 

Пример 4

Напишем уравнение касательной к графику функции   в точке a = 1.

Напомним общий вид уравнения касательной: 

1. Найдем значение функции: 

2. Найдем производную функции:  и ее значение f'(1) = 1.

3. Подставим значения f(a), f’(а) и а в уравнение касательной и получим: у = 1 + 1 ∙ (х - 1) или у = х.

IV. Контрольные вопросы

1. Определение степенной функции у = x^r.

2. Свойства функции   и ее график для:   

3. Производная степенной функции.

V. Задание на уроке

§ 38, № 3 (а); 7; 11; 12 (а, г); 15(6); 17; 20 (а, б); 26 (а, в); 27 (в, г); 28 (б); 30 (а, б); 31 (а); 32 (г); 33 (а); 39 (б).

VI. Задание на дом

§ 38, № 3 (б); 8; 10; 12 (б, в); 15 (в); 18; 21 (в, г); 26 (б, г); 27 (а, б); 28 (г); 30 (в, г); 31 (б); 32 (а); 33 (б); 39 (а).

VII. Подведение итогов урока

Урок 22. Зачет по теме «Степени и корни. Степенные функции»

Цель: проверка знаний учащихся по вариантам одинаковой сложности.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Характеристика зачетной работы

Работа составлена в двух равноценных вариантах. По сравнению с контрольной работой увеличено количество заданий. Соответственно» У учащихся возрастает возможность выбора задач. Все задания разбиты на три блока А, В и С. Самые простые задачи находятся в части А, более сложные - в части В, еще сложнее - в части С. Каждая задача из А оценивается в 1 балл, из В - в 2 балла, из С — в 3 балла. Поэтому за правильное решение всех задач блока А можно получить 7 баллов, блока В - 8 баллов и блока С - 9 баллов (всего 24 балла). Оценка 3 ставится за 6 баллов, оценка 4 - за 10 баллов, оценка 5 - за 14 баллов.

Так как эта работа является зачетной, то в нее не включены принципиально новые задачи. Поэтому разбору заданий работы отдельного задания можно и не посвящать (решения задач могут быть вывешены на стенде). Для стендового размещения разбор вариантов приводится.

III. Варианты зачетной работы

Вариант 1

А

1. Вычислите значение числового выражения 

2. Расположите числа   в порядке возрастания.

3. Найдите области определения и значений функции 

4. Постройте график функции 

5. Определите число решений системы уравнений   Найдите эти решения.

6. Упростите выражение 

7. Найдите производную функции 

В

8. Найдите значение выражения 

9. Упростите выражение 

10. Решите уравнение 

11. Постройте график функции 

C

12. Даны две функции:   Докажите тождество f(g(x)) = g(f(x)) и найдите значение выражения f(g(2)).

13. Решите уравнение 

14. Прямая касается графика функции   и проходит через точку (-11/3; 0). Найдите координаты точки пересечения этой прямой с осью ординат.

Вариант 2

А

1. Вычислите значение числового выражения 

2. Расположите числа   в порядке возрастания.

3. Найдите области определения и значений функции 

4. Постройте график функции 

5. Определите число решений системы уравнений   Найдите эти решения.

6. Упростите выражение 

7. Найдите производную фикции 

В

8. Найдите значение выражения 

9. Упростите выражение 

10. Решите уравнение 

11. Постройте график функции 

С

12. Даны две функции:   Докажите тождество f(g(x)) = g(f(x)) и найдите значение выражения f(g(-2)).

13. Решите уравнение 

14. Прямая касается графика функции   и проходит через точку (-15/4; 0). Найдите координаты точки пересечения этой прямой с осью ординат.

Ответы

Вариант 1

4. График построен.

5. Одно решение (1; 1).

11. График построен.

Решения

12. Функции f(x) и g(x) взаимообратные. По свойству таких функций f(g(x)) = g(f(x)) = х Так как обычно такого свойства не помнят, то вычислим значения данных функций непосредственно:

 Таким образом, тождество доказано и f(g(2)) = 2.

Ответ: тождество доказано, f(g(2)) = 2.

13. Введем новые переменные   Получаем первое уравнение: a - b = 3. Возведем в куб переменные а и b: а³ = х + 5 и b³ = х - 4. Вычтем эти выражения и получим второе уравнение: а³ - b³ = 9, или (a - b)(a² + ab + b²) = 9, или a² + ab + b² = 3. Имеем систему двух уравнений:   Из первого уравнения выразим а = b + 3 и подставим во второе уравнение. Получаем квадратное уравнение: (b + 3)² + (b + 3)b + b² = 3 или b² + 3b + 2 = 0, корни которого b₁ = -1 и b₂ = -2. Учтем, что х = b³ + 4 и найдем x₁ = 3 и х₂ = -4.

Ответ: x₁ = 3 и х₂ = -4.

14. Напишем уравнение касательной. Найдем производную функцию   и получим:  Предположим, что касание происходит в точке х = а. Получаем уравнение касательной:   или  Для нахождения величины а учтем, что касательная проходит через точку (-11/3; 0). Получаем уравнение:   или   откуда а = 13/3. Тогда уравнение касательной имеет вид:   или   Подставим значение х = 0 и найдем точку пересечения касательной с осью ординат: у = 11/12. Таким образом, координаты этой точки (0; 11/12).

Ответ: (0; 11/12).

Ответы

Вариант 2

4. График построен.

5. Одно решение (1; 1).

11. График построен.

Решения

12. Функции f(x) и g(x) взаимообратные. По свойству таких функций f(g(x)) = g(f(x)) = х. Так как обычно такого свойства не помнят, то вычислим значения данных функций непосредственно:

 Таким образом, тождество доказано и f(g(-2)) = -2.

Ответ: тождество доказано, f(g(-2)) = -2.

13. Введем новые переменные   Получаем первое уравнение: a - b = 1. Возведем в куб переменные а и b: а² = х - 3 и b² = х - 10. Вычтем эти выражения и получим второе уравнение: а³ - b³ = 7, или   или a² + ab + b²= 7. Имеем систему двух уравнений:   Из первого уравнения выразим а = b + 1 и подставим во второе уравнение. Получаем квадратное уравнение:   или b² + b - 2 = 0, корни которого b₁ = -2 и b₂ = 1. Учтем, что х = b³ + 10, и найдем x₁ = 2 и х₂ = 11.

Ответ: x₁ = 2 и х₂ = 11.

14. Напишем уравнение касательной. Найдем производную функцию   и получим:  Предположим, что касание происходит в точке х = а. Получаем уравнение касательной:   или   Для нахождения величины а учтем, что касательная проходит через точку (-19/4; 0). Получаем уравнение:   или 0 = -19 + 8а + 9, откуда а = 5/4. Тогда уравнение касательной имеет вид:   или   Подставим значение х = 0 и найдем точку пересечения касательной с осью ординат: у = 3/4. Таким образом, координаты этой точки (0; 3/4).

Ответ: (0; 3/4).