Мастер-класс "Решение уравнений и неравенств с параметром"

Аннотация: Разработка представляет собой мастер – класс по алгебре и началам анализа с применением информационно – коммуникационных технологий. Он проводился в 11 классе (с изучением математики на профильном уровне). Продолжительность – 90 минут.

Тема занятия: «Решение систем уравнений и неравенств с параметром».

Цель занятия: в рамках подготовки к ЕГЭ рассмотреть решение систем уравнений и неравенств с параметром.

Задачи занятия:

а) образовательная: формировать умение учащихся решать системы уравнений и неравенств с параметром с использованием графических иллюстраций;

б) развивающая: создать условия для развития таких аналитических способностей для учащихся как умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, обобщать, делать выводы;

в) воспитательная: содействовать развитию интереса к изучению математики.

Оборудование:

Компьютер, проектор, экран.

Ход занятия:

1. Организационный момент.

Сообщение темы занятия, постановка целей и задач.

Каждый учащийся получает карту с заданиями, которые будут рассмотрены в ходе занятия (см. приложение 1).

1. Актуализация знаний.

1. Сообщение учащегося по теме «О задачах с параметром» (см. приложение 2)

2. Опрос:

-Каким уравнением задается прямая, окружность, парабола, две пересекающиеся прямые.

- Какие линии задают предложенные уравнения

а) 3х+2у-4=0; б) 2ху=-3; в) х²+2х –у=0;

г) (2у-4х+1)(3х-4у-5)=0; д) (х-3)²+(у+5)²=6.

3) Перед вами задания, взятые из вариантов ЕГЭ (см. приложение 1). Разбейте их на группы по внешним признакам.

3. Изучение материала и его закрепление.

В ходе выполнения предыдущего задания учащиеся разбили задания на группы:

1 группа: №1, 2

2 группа: № 7, 8

3 группа: № 9, 10, 11

4 группа: № 12, 13, 14

Сначала один учащийся объясняет как решается одно из заданий из каждой группы (Этот ученик заранее разобрал решение). В ходе объяснения он так же применяет иллюстрации из презентации «Системы уравнений и неравенств с параметрами» (см. приложение 3). Учащиеся задают ему вопросы, выясняют сложные моменты.

Затем учащимся предлагается решить аналогичное задание самостоятельно. В это время один ученик решает его на задней доске. После выполнения заданий происходит проверка и обсуждение результата.

Решение задания группы 1:

C5 №2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система  имеет ровно два решения. 

Решение.
Неравенство (1) задает пару вертикальных углов на координатной плоскости Oxy (см. рисунок). Графиком уравнения (2) является окружность радиуса , центр которой ― точка ― лежит на прямой . Поскольку оба графика симметричны относительно прямой , система будет иметь ровно два решения тогда и только тогда, когда расстояние PK от центра окружности до прямой 
 будет равняться радиусу  данной окружности. Из треугольника POK находим: , где  ― угловой коэффициент прямой . Таким образом, , 
, , откуда 

.

Окончательно получаем: , ,  или . 

Ответ:  или . 

Решение задания группы 2:

C5 № 8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений  имеет а) ровно четыре решения, б) ровно 8 решений.

Решение.
Преобразуем данную систему: 

Сделав замену переменной , получаем систему 

Заметим, что количество решений полученной системы совпадает с количеством решений исходной системы. Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oxt. 

График первого уравнения — ромб, диагонали которого, равные 24 и 10, лежат соответственно на осях х и Ot, а графиком второго уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом  (см. рисунок). 

Графики уравнений системы имеют ровно четыре общих точки, и, следовательно, система имеет ровно четыре решения, тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо ее радиус удовлетворяет соотношению , где  — половины меньшей и большей диагоналей ромба соответственно. Радиус вписанной в ромб окружности равен высоте прямоугольного треугольника с катетами, равными 5 и 12, откуда 

Таким образом, система имеет 4 ровно решения, если  или , откуда  или  

Графики имеют 8 общих точек, если радиус окружности удовлетворяет условию , где  — радиус окружности, вписанной в ромб. Тогда , откуда 

.

Ответ: 
а)  
б) .

Решение задания группы 3:

C5 № 11. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  имеет ровно 8 решений.

Решение.
Преобразуем систему: 

Первое уравнение задает части двух парабол: 

(см. рисунок). 

Второе уравнение задает окружность радиусом  с центром . На рисунке видно, что система имеет восемь решений, только если радиус окружности меньше 2 и окружность дважды пересекает каждую ветвь каждой из парабол. Это условие в силу симметрии равносильно тому, что окружность пересекает правую ветвь параболы  в двух точках с положительными ординатами. 
Получаем уравнение , откуда 

,

которое должно иметь два различных положительных корня. Следовательно, дискриминант и свободный член этого уравнения должны быть положительны: 

 откуда  

Ответ: , .

Решение задания группы 4:

C5 № 13. Найдите все положительные значения , при каждом из которых система уравнений 

имеет единственное решение.

Решение.

Первое уравнение задаёт на плоскости окружности  и  радиуса ,симметричные относительно оси ординат. Центры этих окружностей — точки  и Второе уравнение — уравнение окружности радиуса  с центром . 

Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность  касается одной из окружностей  и , но не имеет общих точек с другой окружностью. 

Из точки  проведём лучи  и  и обозначим  точки их пересечения с окружностями  и  (см. рис.). 

Заметим, что , поэтому и . Значит, если  то касается  но не имеет общих точек с  Если то  касается  но не имеет общих точек с  

 

Сравним  и : 

 

Получаем  Значит, если  касается  в точке  то  пересекает  в двух точках. Аналогично, если  касается  в точке  то  пересекает  в двух точках. Следовательно, других решений, кроме двух найденных, система не имеет. 

Ответ:  или 

4. Итог занятия.

Учащиеся делают выводы об уровне достижения цели, выставляют оценки, получают домашнее задание, которое заключается в выполнении заданий, не рассмотренных в ходе занятия.

Приложение 2.

О задачах с параметром

I. Что такое параметр?

В школьных учебниках нет определения параметра, мы предлагаем взять за основу следующий его простейший вариант.

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

II. Что означает «решить задачу с параметром»?

Если требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

III. Какие основные типы задач с параметрами?

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

IV. Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Комментарий. По мнению авторов, аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Приложение 3.

Приложение 1.

Системы уравнений и неравенств с параметрами (задания С5)

C5 № 1. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система  имеет ровно два решения. 

C5 № 2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система  имеет ровно два решения. 

C5 № 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений  имеет ровно два решения. 

C5 № 4. При каких значениях параметра а система  имеет решения?

C5 № 5. При каждом а решите систему уравнении  

C5 № 6. При каких значениях параметра а система  имеет четыре решения?

C5 № 7. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений  имеет ровно четыре решения.

C5 № 8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений  имеет а) ровно четыре решения, б) ровно 8 решений.

C5 № 9. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  имеет ровно 6 решений.

C5 № 10. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  имеет ровно 4 решения.

C5 № 11. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  имеет ровно 8 решений

C5 № 12. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система  имеет единственное решение.

C5 № 13. Найдите все положительные значения , при каждом из которых система уравнений 

имеет единственное решение.

C5 №14 . Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений 

имеет три решения.

C5 №15. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств

имеет решения.

Ответы:

1. и 2.  или . 14.

3. 15.

4.

5. , , ,

6. , 

7. ; ;  

8. а)   б) .

9. -4 , 4.

10. , , , .

11. , .

12. 3; .

13.  или