Просмотр содержимого документа
«Конспект урока алгебры в 8 классе теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств»
8 класс алгебра У р о к № 62 Дата 15.03.2021 Теоремы о почленном сложении и умножении неравенств
Цели: изучить формулировки и доказательства теорем о почленном сложении и умножении неравенств; формировать умения применять данные теоремы при решении задач. Развивать вычислительную культуру, познавательный интерес и логическое мышление учащихся, развивать умение делать выводы. Воспитывать самостоятельность, честность в оценке своих знаний, расширять кругозор учащихся.
Планируемые результаты:
Личностные: умение контролировать, оценивать и анализировать процесс и результат учебной и математической деятельности; критичность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач.
Метапредметные :
познавательные УУД: развивать основы логического и алгоритмического мышления; расширять кругозор учащихся; учить произвольно и осознанно владеть приемами решения задач.
регулятивные УУД: формировать способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию в преодолении препятствий, к осознанию уровня и качества усвоения результата.
коммуникативные УУД: учить строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения.
личностные УУД: формировать устойчивую мотивацию к изучению и закреплению учебного материала; формировать навыки самоанализа и самоконтроля, взаимоконтроля
Предметные : знать: правила сравнения чисел,определение понятия числового неравенства, теоремы о почленном сложении и умножении неравенств; уметь: использовать данное определение и теоремы для сравнения чисел, доказательства неравенств и оценки выражений
1. Известно, что аb 0. Поставьте вместо * знак или
а) 8а * 6b; в) –6а * –4b;
б) 12а * b; г) –11а * –3b.
2. Известно, что аb. Расположите в порядке возрастания числа: а – 2; b + 3; а – 17; а; b + 23; b.
Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Известно, что 10 a
а) a; б) –3а; в) а – 16.
2. Известно, что 2,2
а) 5 ; б) – ; в) 3 + ; г) 3 – .
В а р и а н т 2
1. Известно, что 5 m
а) т; б) –2т; в) т – 6.
2. Известно, что 2,6
а) 2 ; б) – ; в) 2 + ; г) 3 – .
III. Объяснение нового материала.
1. Для мотивации изучения теорем о сложении и умножении числовых неравенств предложить учащимся для решения задачи практического характера.
З а д а ч а 1. Длина прямоугольника больше 12 см, а его ширина больше 3 см. Можно ли утверждать, что периметр этого прямоугольника больше 30 см?
Р е ш е н и е
Пусть a и b – длина и сторона прямоугольника соответственно, тогда периметр равен 2a + 2b.
a 12; 2a 24;
b 3; 2b 6.
Доказать, что 2a + 2b 30.
Учащиеся могут интуитивно сложить почленно неравенства и получить следующий результат:
2a + 2b 24 + 6;
2a + 2b 30.
Следует отметить, что так можно поступать, но необходимо провести доказательство, используя известные теоремы, выражающие свойства числовых неравенств.
: 2a 24; 2a + 2b 24 + 2b.(1).
2b 6; 2b + 24 6 + 24; 24 + 2b 30. (2).
Из неравенств (1)и (2) по теореме 2 следует, что 2a + 2b 30.
Учащиеся формулируют «открытое» ими утверждение в общем виде и записать его аналитическую модель:
Если ab и cd, то a + cb + d.
Теорема 5.
Доказательство теоремы разобрать по учебнику, так как в нём повторяется ход рассуждений для решения задачи 1.
З а д а ч а 2. Длина прямоугольника больше 15 дм, а его ширина больше 6 дм. Можно ли утверждать, что его площадь больше 90 дм2?
Р е ш е н и е
Предложить учащимся провести доказательство утверждения самостоятельно по аналогии с предыдущей задачей.
Пусть a и b – длина и сторона прямоугольника, тогда его площадь равна a · b.
a 15;
b 6.
Доказать, что ab 90.
: a 15; b 0, значит, a · b 15 · b. (1).
b 6; b · 15 6 · 15; 15b 90. (2).
Из неравенств (1) и (2) по теореме 2 следует, что ab 90.
Замечаем, что теорема о почленном умножении неравенств справедлива для положительных чисел. Если среди чисел есть отрицательные, то при почленном умножении неравенств может получиться неверное неравенство. Привести контрпримеры. На доску выносится запись:
Если ab и cd, где a, b, c, d – положительные числа, то acbd.
Теорема 6.
Доказательство разбираем по учебнику.
2. Следствие из теоремы 6 также разбираем по учебнику.
IV. Первичное закрепление изученного материала
Обратить внимание учащихся, что для почленного сложения или умножения неравенств удобнее их записывать друг под другом.
1. № 765, № 766.
2. № 767 (а); № 768.
Р е ш е н и е
№ 767.
а) а2b2, значит, а2 – b2 0; (a – b)(a + b) 0.
a и b – положительные числа, значит, a + b 0. Разделим обе части неравенства на a + b, получим a – b 0, значит, ab.
Имеем:
а2b2
ab
а2 · аb2 · b, то есть а3b3.
№ 768.
а) 3 a
4 b
7 a + b
в) 3 a
4 b
12 ab
б) a – b = а + (–1) · b
4 b
–5 b
3 а
3 + (–5) а + (–b)
–2 а – b
г)
4 b
3 а
3. № 776. Задание повышенной сложности на «прямое» применение теорем 5 и 6.;
Р е ш е н и е
Запишем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим для всех пар чисел:
2 ≤ а + b
2 ≤ b + c
2 ≤ а + c
2 ∙ 2 ∙ 2 ≤ (а + b)(b + c)(а + c);
8 ≤ (а + b)(b + c)(а + c);
8 ∙ | abc | ≤ (а + b)(b + c)(а + c).
Так как а ≥ 0, b ≥ 0, с ≥ 0, то | abc | = abc, значит,
8abc ≤ (а + b)(b + c)(а + c), то есть (а + b)(b + c)(а + c) ≤ 8abc.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Сформулируйте теорему о почленном сложении неравенств.
– Сформулируйте теорему о почленном умножении неравенств. Какие ограничения накладываются на числа?
– Сформулируйте следствие из теоремы о почленном умножении неравенств.
– Можно ли применить данные теоремы к более чем двум неравенствам указанного вида?