Брошюра для подготовки к ГИА по теме: "Решение неравенств"

Пояснительная записка

Успешная сдача ГИА требует серьезного подхода к систематизации и обобщению знаний по математике. «Решение неравенств» – тема очень актуальная и требует особого внимания, потому что вызывает затруднения у обучающихся. При решении неравенств, школьник должны свободно владеть понятием числового неравенства, знать, что такое решение неравенства, что значит решить неравенство, помнить свойства неравенств. То же относится и к системам числовых неравенств. Все эти сведения можно найти в этой брошюре в первой части, где представлены основы теоретического курса алгебры и анализа 9-11 классов

Вторая часть представлена в виде тестирования по каждой теме практической работы. Тематические тесты содержат задания разных форм.

Работа с тестовыми заданиями требует от обучающегося стандартного применения программного материала. Они предусматривают один правильный ответ из предложенных пяти и указать их в бланке. В тестах № 1, № 4 дано задание на установление соответствия. При выполнении его, ученик должен установить соответствие (образовать логические пары).

Работая с этим пособием, обучающиеся найдут разные способы решения неравенств, рассмотрят все возможные случаи, критически оценят их с целью выделения наиболее рационального, красивого, что является важным фактором развития, математического мышления.

Данное пособие поможет обучающимся получить успешную подготовку к сдаче ГИА по теме «Неравенства и их решение»

Неравенства с одной переменной

Два выражения или числа, объединенные знаком , , или образуют неравенства.

Неравенства, которые содержат знаки или , называются строгими, а неравенства, которые содержат знаки или , называются нестрогими.

Область определения — множество допустимых значений аргумента функции. Обозначается как D(y), если указывается область определения функции y=f(x).

Если заданы: числовое множество и правило , которое позволяет поставить в соответствие каждому элементу из множества определенное число, то говорят, что задана функция с областью определения .

То есть, определение области значений является необходимым условием определения функции.

Определение. Значения переменных, на которых задается функция называют допустимыми значениями переменных.

Определение. Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. Множество всех допустимых значений переменных называют областью допустимых значений переменных .

Определение. Областью определения уравнения называют множество всех тех значений переменной x, при которых алгебраические выражения и одновременно имеют смысл.

Если функция задана формулой, то область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых формула имеет смысл.

Примеры

Ниже представлены условия на области определения алгебраических выражений от некоторых элементарных функций действительного аргумента.

Указания к решению неравенств с одной переменной

І. Неравенства с одной переменной имеют вид:

,

,

,

.

Решением неравенства называется множество значений переменной, при которых данное неравенство будет правильным числовым неравенством.

Два неравенства называются равносильными, если множество их решений совпадает.

Основная идея решения неравенства состоит в замене неравенством более простым, или равносильным заданному.

1. При решении неравенств используются такие правила преобразования неравенств в равносильные:

1. любой член неравенства можно перенести с одной ее части в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства;

2. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства;

3. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число, сменивши при этом знак неравенства на противоположный;

4. если для одних и тех же самых значений справедливы неравенства

и ,

то для тех же самых значений выполняется неравенство

1. Пусть заданное неравенство имеет вид

(вместо знака могут быть знаки , , , а функция в знаменателе может быть постоянной) или она приведена к этому виду с помощью правил указание 1.

Для решения неравенства используется метод интервалов (метод промежутков), который состоит в том, что:

1. на числовую ось наносят точки которые разбивают ее на промежутки, где выражение определено и сохраняет знак (плюс или минус). Такими точками могут быть корни уравнений

и .

Соответствующие этим корням точки обозначают на числовой оси: закрашенными кружками – точки, которые удовлетворяют заданному неравенству, а светлыми кружками – точки, которые не удовлетворяют ему;

1. отсчитывают и обозначают на числовой оси знак выражения

,

для значений х, которые принадлежат каждому с полученных промежутков. Если функции

и

являются многочленами и не содержат множителей вида

, где ,

то достаточно определить знак функции

в каком-нибудь промежутке, а в остальных промежутках знаки плюс и минус будут чередоваться.

Если же в числителе и знаменателе дроби

есть множитель вида

, где ,

то, полагая , делят обе части заданного неравенства на множитель , положительный при всех значениях , и непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет ли значение заданному неравенству.

Решение неравенств с одной переменной

Решить неравенство с одной переменной означает найти все его решения или доказать, что решений нет.

Ниже в таблице приведены несколько числовых подмножеств, их обозначение, изображения на координатной прямой и запись в виде:

ІІ. Рассмотрим решение квадратного неравенства

(1) ax²+bx+c