MATLAB – высокоуровневая система программирования, позволяющая резко сократить затраты труда при проверке алгоритмов и проведении прикидочных расчетов. Возможность проведения больших расчетов на MATLAB'е определяется в основном теми затратами времени, на которые может пойти пользователь: здесь приходится выбирать между легкостью и наглядностью программирования и представления результатов, с одной стороны, и затратами времени на счет – с другой.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Особенности работы в matlab r2013b»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОРДОВСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»
Факультет физико-математический
Кафедра информатики и вычислительной техники
РЕФЕРАТ
«ОСОБЕННОСТИ РАБОТЫ В MATLAB R2013B»
Выполнила: Ходжамбердиева Д,
студентка III курса группы МДИ-117
Саранск 2020
Введение
MATLAB – матричная лаборатория – наиболее развитая система программирования для научно-технических расчетов, дополненная к настоящему времени несколькими десятками более частных приложений, относящихся к вычислительной математике, обралботке информации, конструированию электронных приборов, экономике и ряду других разделов прикладной науки. Изучение MATLAB'а по фирменной документации, которая теперь прилагается на инсталляционном компакт-диске, занимает у начинающих пользователей слишком много времени не только из-за необходимости читать ее на английском языке со специфическим слэнгом, но, главным образом, ввиду неизбежного для таких руководств последовательного и достаточно формального изложения большого объема информации, а имеющиеся на русском языке пособия в основном следуют этому стереотипу. Даже для опытного специалиста по расчетам на компьютере такое изучение сопряжено с неоправданно большими затратами труда.
MATLAB предназначен прежде всего для программирования численных алгоритмов. Он разрабатывается уже более 15 лет и возник на основе более ранних прикладных пакетов LINPACK и EIGPACK, созданных в 1970-е гг. в США, и в свою очередь повлиял на появление таких систем, как MathCad, MAPLE и Mathematica. Совершенствование системы MATLAB происходило как в связи с достижениями в вычислительной математике, так и в связи с изменениями в архитектуре персональных компьютеров и развитием общесистемных средств. Со временем MATLAB был дополнен целым рядом уже упоминавшихся приложений (toolboxes), далеко раздвинувших границы его применимости. Далее речь пойдет лишь о ядре MATLAB'а, которое мы будем называть системой, и конкретно о ее версии 5.2, выпущенной фирмой MathWorks в январе 1998 г.
MATLAB – система программирования высокого уровня, работающая как интерпретатор и включающая большой набор инструкций (команд) для выполнения самых разнообразных вычислений, задания структур данных и графического представления информации. Команды эти разбиты на тематические группы, расположенные в различных директориях системы. Теперь в системе около 800 команд, и примерно половина из них вполне доступна начинающему пользователю. Команды с большим возможным объемом вычислений написаны на С, но много и таких команд, которые представлены в терминах этих первых. Поэтому система оказывается почти открытой для пользователя. Имеются большие возможности для вывода двумерной и трехмерной графики и средства управления ею. Пользователь может без особых затруднений добавлять свои команды и писать программы в терминах уже существующих команд; несколько сложнее делать это в рамках Фортрана и С. Можно обмениваться данными с программами на этих языках, а из них обращаться к системе. Краткость и наглядность программирования и исключительные возможности визуализации результатов делают систему очень эффективной при поисках и апробации новых алгоритмов, при проведении разовых расчетов и в учебном процессе, поскольку ее можно осваивать без предварительного знакомства с основами программирования и выполнять такие сложные примеры, которые невозможно делать с использованием других систем.
Документация по системе и ее приложениям содержит много тысяч страниц, и поэтому естественно встает вопрос о том, как ее осваивать. Работа с системой требует определенной математической подготовки, так что обучение можно начинать на втором курсе вуза. Основные сведения о системе изложены в руководствах /1/ – /2/: /1/ – это учебник с описанием вычислительных возможностей и архитектуры системы, /2/ – описание ее графических возможностей. Конечно, можно читать подряд /1/, /2/ и при необходимости обращаться за уточнениями к команде help или справочнику /3/, в котором описаны почти все команды. Но гораздо более эффективным, на наш взгляд, является изложение основных вычислительных процедур с помощью наиболее употребительных команд системы. Именно так мы и познакомимся с MATLAB'ом, а точнее примерно с 30-40 его командами. После этих занятий пользоваться документацией /1/ и /2/ будет гораздо легче.
Приложений к системе мы здесь не касаемся, а изучать их можно только после предварительного ознакомления с ней, а также с тем разделом науки, которому посвящено конкретное приложение. Отметим только, что большинство приложений означают для пользователя просто расширение списка доступных ему команд. Очень удобно то, что вся документация по системе и приложениям находится на компакт-диске, с которого происходит их установка, и при желании она может быть размещена также и на винчестере.
Для работы с системой достаточно иметь компьютер PC 486 с оперативной памятью хотя бы 16 Mb и с установленными на нем системами Windows 95 и MATLAB 5.2. В действительности MATLAB может работать и с друогими операционными системами, такими, например, как Macintosh, Unix и OS/2.
За рубежом вышло уже достаточно много учебных пособий по системе, но на русский язык ни одно из них пока не переводилось и даже в центральных библиотеках их теперь нет из-за сокращения финансирования. Изданные у нас пособия (например, /4/ – /12/) в основном следуют руководствам /1/ – /3/, тогда как нам представляется полезным дать менее формальное введение в предмет, опираясь прежде всего на интуицию слушателя.
1. Переменные
Переменные могут быть числовыми, текстовыми и других типов. У нас будут только числовые (это во всех деталях) и текстовые (совсем немного). Название переменной начинается с латинской буквы, далее могут быть буквы и цифры (не более 31 символа). Строчные и прописные буквы здесь различаются.
1. Числовые переменные. Это числа, векторы, матрицы и многомерные массивы. В компьютере все числа представлены примерно с 16 десятичными знаками, под каждое вещественное число отводится 8 байтов, под комплексное – 16.
1.1 Ввод чисел
Целые числа. В системе они не выделяются явно. Наберем и выполним отдельно каждую команду:
a=2 a=2.0 a=2; a=1:6 b=1:20 c=10:-2:5
Командное окно. Командная строка. Редактирование командной строки. Буфер исполненных команд. Как выбирать информацию из командного окна и из буфера исполненных командных строк. Нельзя допускать совпадения имени переменной с именем какой-либо команды.
Вещественные числа. Выполним по отдельности следующие команды:
Выдачи на экран. Команда format с различными опциями.
В обычном формате (forrmat short) выдается 5 знаков, для целых чисел 9 знаков, порядки изменяются от -308 до +308. В полном формате (format long e) 16 знаков.
Опция format short e позволяет получать ровные столбцы.
Они берутся в кавычки (на букве э на латинском регистре), символ занимает 2 байта. Используются для задания заголовков в числовых выдачах и на графиках, для задания формул и т.д. Можно переводить текстовые переменные в числовые и наоборот. Выполним в командной строке
t='Moscow - столица России' (после дефиса нужно перейти на русский шрифт и затем не забыть снова вернуться на латинский).
Другие типы переменных – ячейки и структуры.
Система help.
help выдает список директорий системы;
help выдает список команд директории;
help выдает описание команды.
type выдает текст команды или программы пользователя, если он составлен в терминах MATLAB'а.
Здесь определяется вектор-строка x=0:20, затем вектор-строка k из 8 угловых коэффициентов, далее получается матрица y=k'*x как произведение вектора-столбца k' на вектор-строку x. Строки этой матрицы состоят из точек соответствующих прямолинейных отрезков. Наконец, строятся графики этих отрезков как функций от x – первая нижняя линия (она желтая) соответствует k=.1, последняя, тоже желтая, – для k=.8. Мы видим, что цвета, которых всего 7, чередуются циклически в таком порядке (под русскими английские названия):
желтый фиолетовый голубой красный зеленый синий белый
yellow magenta cyan red green blue white
Вызовем строку 1 и отредактируем в ней команду plot:
т.е. добавим там третий (текстовой, ибо он в апострофах) аргумент. Все кривые на рисунке станут зелеными (green), а линии будут изображаться отдельными точками. Аналогично употребляются и другие цвета из этого списка – по первой букве. В текстовом аргументе может быть до трех символов. Для изображения точек графика помимо . употребляются еще : -- -. * x o + и некоторые другие символы.
Команда cumsum(f) подсчитывает все частичные суммы s(k) от f(1:k) для каждого k от 1 до n, так что на графике можно наблюдать процесс формирования нужной нам величины. В конце строки выдается численный и точный результаты:
ans = 1.6350 1.6449 .
Полагая n=1000, получим
ans = 1.6439 1.6449 ,
т.е. ошибку в 1 единицу 4-й значащей цифры.
Сходимость не всегда столь очевидна, как на этом графике. Чтобы в этом убедиться, усложним наш пример: при заданных m1 и n найдем частичную сумму ряда s(m,n) = sum(1/k^m), k=1:n (при m=1 получается уже расходящийся гармонический ряд). Для проведения вычислений отредактируем строку 1:
и сначала для проверки получим свой старый результат. Но уже при m=1.5 у нас, глядя на график, нет полной уверенности в достижении сходимости. Это тем более так при m=1.2: для n=1000 ans=4.3358, а для n=1e4 ans=4.7991. Факт сходимости ряда при m=1.01 нельзя установить численно из-за низкой скорости его сходимости.
Чтобы лучше запомнить действие команды cumsum, вычислим (x/sin(x))dx, x[0, 3]. Подинтегральная функция f=x/sin(x) не имеет в нуле особенности, и поэтому достаточно выполнить строку
т.е. аппроксимировать f в серединах интервалов (эти точки x называют полуцелыми в отличие от концов счетных интервалов – целых точек). Сравнение ответа ans = 8.4495 и графика наводит на мысль о том, что пока сходимость еще не достигнута, но при n=1e3 ans = 8.4552, так что при n=1e2 со сходимостью в действительности все в порядке, а возрастание функции h*cumsum(f) на правом конце происходит из-за роста там функции f – это можно увидеть, выполнив
4;plot(f)
Для матрицы A команды sum и cumsum работают вдоль столбцов (значит, по первому индексу), а для вектора – вдоль него независимо от того, строка это или столбец. Чтобы провести суммирование для матрицы A вдоль ее строк, нужно выполнить sum(A,2), т.е. указать для выполнения команды второй индекс. Это правило относится ко многим командам MATLAB'a и к многомерным матрицам тоже – по умолчанию имеется в виду первый индекс, а в противном случае нужно всегда указывать, по какому индексу должна работать команда, и это указание не сохраняется для последующих команд.
2. Произведения. Аналогично суммированию с помощью команд prod и cumprod вычисляются и обрабатываются произведения. Например, найдем (1-1/k^2), k=2:100 (при k1/2), выполнив строку
Результат cp(end) = 0.5050 говорит о том, что сходимость здесь не очень быстрая. Это видно и из графика, на котором представлена относительная ошибка результата. Обратите внимание на названия переменных k2=k^2 и cp=cumprod(..): при выборе имен переменных всегда нужно стремиться к тому, чтобы эти имена хоть как-то отражали суть дела (это особенно важно при написании больших программ, где много переменных).
При вычислении произведений можно выйти за числовую шкалу. Найдем, например, для каких k можно найти k!. Ясно, что максимально допустимое km вряд ли больше 200, так что строка
2;n=200; k=1:n; kf=cumprod(k); plot(kf)
должна дать ответ на наш вопрос. Из-за быстрого возрастания kf и ограниченной разрешимости дисплея (это не более 0.5% от максимального значения на графике) мы видим всего одну точку kf(km), перед которой, как нам ошибочно кажется, идут нули и за которой идут числа inf (infinity), вообще никак не представленные на рисунке. Точно так же графика обходится и с переменной NaN (not a number), и это обстоятельство может быть иногда полезным. Переменная NaN возникает в таких ситуациях:
0/0 inf-infinf/inf
Переменные inf и NaN (они получаются со знаком) можно использовать в программах. Для определения km выполним строку
3;sum(isinf(kf))
в которой isinf(kf) выдаст 1 на тех позициях вектора размеров kf, где элементы kf есть inf, и 0 на остальных позициях. Поскольку ans=30, km=n-30=170, что можно было бы получить и сразу, выполнив строку
4;km=sum(isfinite(kf))
где isfinite отмечает те элементы числовой переменной, которые отличны от inf и NaN. При выходе произведения за числовую шкалу для сомножителей можно использовать команды
log (взятие натурального логарифма),
log10 (взятие десятичного логарифма),
abs (взятие модуля),
sign (взятие знака, выдающее 1, 0 и -1).
3. Логические задачи. Обычно при освоении программирования логические действия даются труднее арифметических. Приведем здесь два простых примера задач логического характера.
1. Напишем строку для нахождения общих элементов двух векторов:
x=1:20; y=15:30; [X,Y]=meshgrid(x,y); v=X(X==Y)
2. Второй пример несколько сложнее, и начинающие изучать MATLAB обычно пытаются решить его с помощью циклов for-end, что совершенно неправильно. Взяв на сторонах единичного квадрата по 200 интервалов, определим, сколько точек получившейся таким образом сетки попадает внутрь вписанной в него окружности. Нужная программа имеет вид
и даст ответ s=31397 точек, t1=0.16 сек, тогда как строка для циклов for-end
2;tic, s=0;w=1:201; for I=w,for J=w,if norm([x(I),x(J)]-.5)
дает то же самое s и t2=7.47 сек, так что t2/t1=46. Это лишний раз говорит о том, что нужно разумно подходить к использованию операторов языка программирования.
4. Графический способ решения уравнений
1. Простой пример: найти корни уравнения x*sin(x^2)=0 на отрезке [0,3]. Программа:
На графике зеленая линия (справа она двузначная) представляет искомый результат. Область в первом квадранте между этими кривыми обозначим через G. Эту задачу совсем непросто сделать в других системах программирования прежде всего потому, что вычисление образующих линии уровней точек – в общем случае очень сложная процедура.
Выясним, какой знак имеет f в области G, для чего выполним
3;mesh(x,x,f.*(f0))
Это пример трехмерной, т.е. xyz-графики. В ней цвет используется для изображения амплитуды (значения z),
изменяясь с ростом z от темносинего через голубой, зеленый и желтый до темнокрасного.
Вычислим площадь S этой области:
4;S=h^2*sum(f(:)=0) (S=0.7296).
Для h=0.01 выполним строку 1, затем строку 4 и получим S=0.7204, а для h=0.005 найдем S=0.7152. При интегрировании всегда естественно делать такие проверки.
Выясним, какой объем заключен между поверхностью f(x,y) и областью G, где f(x,y)=0. Для этого снова возьмем в строке 1 h=0.02 и вычислим
5;V=h^2*sum(f(f=0)) (V=0.1268)
Для h=0.01 V=0.1235, а для h=0.005 V=0.1219. Теперь не нужно писать f(:), поскольку f(f=0) есть вектор.
Конечно, эти результаты приближенные (с точностью до 1 - 2%), но отметьте, как быстро и просто они были получены. Такие приемы можно применять для решения достаточно широкого круга задач.
Выполним строку
6;C=contour(x,x,f); clabel(C)
которая зашлет числовую информацию о графике в матрицу C и построит график, выбрав значения уровней автоматически. Из матрицы C можно последовательно выбирать все кривые.
Обобщения. Графическим способом можно решать системы уравнений и уравнения в комплексной плоскости. Команда contour3 строит линии уровней для функций f(x,y,z), при этом сетки по аргументам всегда должны быть прямоугольными.
6. Итерации
Итерации являются с точки зрения программирования одним из самых эффективных способов организации вычислений. Простые итерации в общем случае представляются в виде
xk+1=F(xk), k=0, 1, 2, ... , x0 задано,
где F – заданное преобразование y=F(x), x0 – как-то выбранное начальное приближение, xk – значение переменной x на k-й итерации, а сама переменная x может быть любой – числом, вектором или матрицей. Предел итераций, если он существует, будем обозначать через X, и тогда уравнение
X=F(X) (1)
должно обязательно выполняться для итерационного преобразования F. Это обстоятельство помогает выбирать различные варианты для F. Все решения X этого уравнения называются неподвижными точками преобразования F(x). Все такие x0, для которых последовательность xk сходится, образуют область сходимости итерационного преобразования F. Cкорость сходимости итераций xk характеризуется поведением числовой последовательности
vk=norm(xk+1-xk)/norm(xk-xk-1),
где норма может выбираться по-разному. Для сходимости xk уже не обязательно, чтобы существовал предел V последовательности vk, но очень часто для сходящихся итераций он существует, и если это так, то пусть a=abs(V). Тогда при a=1 сходимость xk будет крайне медленной, при 0V, а при a=0 последовательность xk будет сходиться быстрее любой геометрической прогрессии. Покажем теперь на простейших примерах, как все это выглядит на деле. Чтобы иметь возможность разнообразия вариантов, задачу возьмем нелинейной. Рвссмотрим уравнение
(x-2)(x-3)=0 или f(x)x2-5x+6=0 c корнями x1=2, x2=3, (2)
построим для нахождения его решений x1=2, x2=3 несколько итерационных преобразований или схем F и проанализируем их работу.
1.Пусть для уравнения (2)
x=F(x), где y=F(x)=(x2+6)/5.
Обязательное условие (1) для преобразования F выполнено, однако при этом переходе появилось дополнительное решение x=inf (). Потеря некоторых или приобретение новых решений часто случается при переходе от исходного уравнения к его итерационной форме. Переходя к нужной нам индексной записи, будем иметь
x(k+1)=F(x(k)), k=1:n,
где начальное приближение x(1) и число итераций n должны быть заданы. Будем накапливать значения x(k) в переменной x, а текущее значение x(k) обозначим через xt. Нужные вычисления реализует строка
Здесь записаны текстовая переменная TF и команда eval (она интерпретирует TF как выражение xt^2+6)/5 и выполняет его). После выполнения строки 1 на графике отобразится 101 значение x(k), включая начальное приближение. Итерации сошлись к px=2. Строка
произведет те же вычисления, но обратите внимание на то, как в ней записаны TF и eval.
Хотя внешне сходимость x(k) к x1=2 не вызывает сомнений, это в действительности всегда нужно проверять более тщательно. Так как y'=F'(x)=2x/5, то F'(2)=0.81, но итерации, как известно, могут сойтись только к такой неподвижной точке X преобразования F, для которой |F'(X)|1. Отсюда ясно, почему X=2. Однако далеко не всегда можно найти F'(x) аналитически, и поэтому в общем случае приходится использовать вычислительный подход. При известных уже x(k) его реализует строка
Из графика видно, что v(k) действительно сходятся к a=0.8, как и должно быть согласно теории, которая здесь выглядит очевидной.
Теперь будем варьировать начальное приближение, выполняя строки 1 и 3.
(a) xt=1.5, 1.9, 1.99, 1.9999. При последних двух значениях xt на графике из строки 3 появятся осцилляции справа, так как здесь разности x(k+1)-x(k) и тем самым значения v(k) теряют точность: x(k) уже сошлись со многими знаками.
(a') xt=2 . График из строки 2 вообще пуст, потому что тогда все v(k)=0/0=NaN.
(b) xt=2.01, 2.5, 2.9, 2.99, 2.9999. В последнем случае x(k) вначале довольно долго (до k=20) задерживаются в районе неподвижной точки x2=3 (они все время уходят от нее, но на графике этого не видно), а затем примерно за 60 итераций монотонно движутся к x1=2.
(b') xt=3 . Все x(k)=3, а график из строки 3 пуст. Это произошло потому, что при xt=3 F(xt)=15/5=3 получается без ошибок округления.
(b'') xt=3.01 . Пределами для x(k) и v(k) будет inf, так что x2=3 является неустойчивой неподвижной точкой преобразования F: при малейшем сдвиге x0 с x2 в пределе итераций получится либо устойчивая неподвижная точка x1, либо inf – приобретенная неподвижная точка. Проварьируем этот сдвиг:
(с) xt=3+1e-15, 3+1e-14, 3+1e-8 . В 1-м варианте ухода xt не происходит, во 2-м тенденция ухода уже зародилась и он неизбежно произойдет с увеличением числа итераций, в 3-м уход проявился в полной мере уже на 100 итерациях.
(с') xt=-2.5, -2.9, -2.99, -3, -3.01, -100, 100 . При xt=-3 снова получим x2 за одну итерацию, а при xt= -3.01 и далее получим inf. Таким образом, при вещественном x0 итерации сходятся к устойчивой неподвижной точке x1=2 при -300|3. Просчитаем тот случай, когда |x0|=3. Этот расчет выполняется строкой (редактируем строку 1)
4;n=100; fi=-pi:pi/20:pi; xt=3*exp(i*fi); TF='(xt.^2+6)/5'; for k=1:n,xt=eval(TF);end, plot(xt,'.')
На графике (он комплекснозначный) видны 4 точки: точка z=3, точки z=3s*i с малым s0 и точка z=2. Чтобы разобраться в результате, выполним строку 4 с n=1000 и, сделав окно MATLAB'а полным, выдадим
5;imag(xt')
Образы первой и последней точки начальной окружности слегка отличаются от z=2, а ее 21-я точка (она соответствует fi=0) есть z=3. Это получилось потому, что sin(pi) и sin(-pi) не равны нулю в точности. Снова сделаем окно MATLAB'а небольшим и выполним строку 4 с радиусом 3.01, а затем строки
6;sum(isnan(xt))
7;find(isnan(xt))
и получим, что точки первоначальной xt с номерами 1, 21, 41 обращаются в inf (здесь nan=inf/inf). Для радиуса 5 их будет 21, для радиуса 5.6 их будет 41, т.е. все.
Границу области сходимости обычно трудно исследовать аналитически, даже в таком простом примере, как этот, и сама она не определяется из условия |F'(x)|=1 или |x|=2.5. Условие |F'(X)|X преобразования F(x), условие |F'(X)|1 является достаточным для ее неустойчивости, а в случае |F'(X)|=1 она может быть как устойчивой, так и неустойчивой. Неустойчивые неподвижные точки сравнительно редки в вычислительных задачах, но их полезно иметь в виду при исследовании численных алгоритмов. В нашем случае мы установили только, что множество |x|3 принадлежит области сходимости итераций F, но вовсе не описали границу этой области. Мы установили также, что при |x|5.6 итерации сходятся к inf, и поэтому inf является устойчивой неподвижной точкой F. Чтобы получить представление о границе области сходимости, выполним строки
8;r=3:.1:5.6; z=[];n=100; for kr=r,xt=kr*exp(i*fi); for k=1:n,xt=eval(TF); end,z=[z;xt]; end
и увидим приближенный график границы – это вовсе не окружность. Комагнда axis equal выбирает по осям одинаковый масштаб (это действует только на текущий plot; у команды axis много других опций). Чтобы построить границу аккуратнее, выполним строку 4 с шагом по fi, равным pi/180, затем строку 8 с r=3:.02:5.6 и строку 9. Получим график границы, выполнив строки
11;y=3*exp(i*fi); plot(y,'m'), axis equal, hold off
и увидим отличие области сходимости от круга |z|3.
Найдем те точки, которые перейдут в z=3 на первых 10 итерациях. Для этого придется рассмотреть обратное к F преобразование x=(5y-6)^.5 и сделать с ним 10 итераций, задав начальное значение y=3. Строка
12;n=10; yt=3; for k=1:n,yt=(5*yt-6).^.5; yt=[yt,-yt];end, plot(yt,'.')
показывает, что при этом получится практически та же линия, что и в строке 10. Удивительно, что это верно и для других точек z из области сходимости преобразования F, но с некоторыми вкраплениями внутрь области сходимости. Брать n большим нельзя, так как в конце длина вектора yt равна 2n.
2.Теперь представим (2) в виде
x=F(x), где y=F(x)=5-6/x, так что F'(x)=6/x2 , F'(3)=2/32.45.
Следовательно, устойчивая неподвижная точка – это x0=3. Получим резултат сразу для "всех" вещественных x0=xt:
1;n=100; xt=-5:.5:5; x=xt; TF='5-6./xt'; for k=1:n,xt=eval(TF);end, plot(x,xt,'.')
Все пределы равны 3, выпадает только неустойчивая точка xt=2, для которой итерации опять идут без ошибок округления. Возникает предположение, что вся комплексная плоскость с выколотой точкой x1=2 стягивается итерациями в точку x2=3, хотя не везде |F'(x)|
Начальное приближение (окружность радиуса 4 с центром в нуле) итерируется 4 раза и все результаты выдаются на график. Окружности (на графике их 5) довольно быстро стягиваются в точку x2=3. Применим zoom, чтобы посмотреть малые окружности.
и снова выполним строку 3. Мы увидим, что 1-я итерация меняет направление обхода окружности на противоположное, остальные – нет. Выполним строку 4 с n=20 и затем строку 3. С помощью zoom дойдем до самой малой окружности (она белого цвета) и убедимся, что она лежит правее точки z=3 примерно в полосе от 3.0001 до 3.0004.
Потерь и приобретений других неподвижных точек здесь нет.
3. Решим нашу задачу методом Ньютона. Если x'' удовлетворяет уравнению f(x'')=0, а x' находится вблизи x'' и используется для приближенной аппроксимации f(x''), то
0=f(x'')=f (x')+f'(x')(x''-x') или x''=x'-f(x')/f'(x') при условии, что f'(x'')0 и тем самым f'(x')0.
Это и есть итерации по Ньютону для уравнения f(x)=0. При переходе к индексной форме записи для f(x)=x2-5x+6 и f'(x)=2x-5 из (2) получим
x(k+1)=x(k)-f(x(k))/f'(x(k)) или y=F(x), где F(x)=x-f(x)/(f'(x), F'(x)=2f(x)/(f'(x))2 .
Так как f'(x1,2)0, можно использовать эти итерации по Ньютону (часто их называют методом касательной), а поскольку F'(x1,2)=0, следует ожидать их быстрой сходимости и того, что теперь оба решения x1,2 будут устойчивыми неподвижными точками итерационного преобразования F. Неподвижной точкой будет и inf, но она "не наша", и природа ее, как мы увидим ниже, гораздо сложнее.
Выделим TF в отдельную строку и проведем наши стандартные вычисления
1;TF='xt-(xt.^2-5*xt+6)./(2*xt-5)';
2;xt=0; n=100; x=xt; for k=1:n,xt=eval(TF); x=[x,xt];end, plot(x), grid
Предел итераций при x0=0 равен 2, а сходимость имеет порядок выше первого, поскольку v(k) до потери ими точности успели подоойти к нулю. Чтобы определить порядок сходимости, отредактируем строку 2 на предмет оценки квадратичной сходимости:
Теперь до потери точности v(k) успевают подойти к 1 (у v(7) точность уже потеряна), так что сходимость итераций здесь квадратичная. Напомним, что точность теряется у v(k), но не у x(k). Чтобы увидеть потерю точности у v(k), выполним строку 4, выдавая в plot 7 точек.
При x0=4 предел итераций равен 3, а v(k) успевают подойти к -1 (у v(6) точность уже потеряна). Таким образом, в зависимости от начального приближения x0=xt итерации могут сходиться к обоим решениям задачи.
Так как теперь преобразование y=F(x) уже не является дробно-линейным, рассмотрим трансформацию комплексной прямоугольной области в процессе итераций. Создадим такую область xt из 412=1681 комплексных точек и проитерируем ее (при этом в командном окне будет много сообщений о делении на нуль):
5;x=-10:.5:10; [X,Y]=meshgrid(x); xt=X+i*Y; n=100; for k=1:n,xt=eval(TF);end, plot(xt,'.')
На графике будут оба решения задачи и некоторое множество точек на прямой Re(z)=2.5. Сделаем только 10 итераций и вставим выдачу графика на каждой итерации:
6;x=-10:.5:10; [X,Y]=meshgrid(x); xt=X+i*Y;n=10; for k=1:n,xt=eval(TF); plot(xt,'.'), pause(0), end
Конечный результат тот же, что и при 100 итерациях, но видна динамика его формирования.
Полуплоскость Re(z)1=2, а полуплоскость Re(z)2.5 - в точку x2=3: прямая Re(z)=2.5 переходит сама в себя. Точка x1=2 имеет красный цвет потому, что в нее перешли первые 25 столбцов матрицы xt, а остаток rem(25,7)=4, но 4-й цвет – красный. Далее идут зеленые точки (26-й столбец) и синяя x2=3, поскольку rem(41,7)=6 и 6-й цвет – синий. Но всегда лучше проверить такие выводы численно: найдем
Индексы этих трех точек из 26-го столбца находятся командой
9;find(isnan(z))' =20 21 22 ,
и это есть точки
z1=2.5-0.5i, z2=2.5, z3=2.5+0.5i.
Теперь разберемся, как преобразуется итерациями F прямая Re(z)=2.5. Так как прямая Re(z)=2.5 переходит в себя, ее можно параметризовать с помощью переменной y=Im(z), и пусть yk=Im(Fk(Re(z)=2.5), k=1, 2,... , т.е. после k итераций y переходит в yk(y). Ясно, что на k-й итерации в inf перейдут только те точки из всего множества yk-1, которые равны нулю. Поскольку -inf1=2.5 (для нее y=0). Выдадим на график y1 после 1-й итерации:
и увидим, что функция y1(y) пересекает ось абсцисс только два раза (при этом y1 дважды непрерывно пробегает от -inf до inf), так что на 2-й итерации в inf перейдут только две точки (это уже известные нам z1=2.5-0.5i, и z3=2.5+0.5i). Выполним строку 10 с n=2 и снимем с графика строкой
11;q=ginput;q(:,1)'
четыре точки пересечения кривой y2(y) с осью абсцисс: приближенно это -1.2079 -0.2056 0.2055 1.2079,
тогда как для y1(y) это были значения -0.5 и 0.5. Каждая переходящая в inf на k-й итерации точка порождает слева и справа от себя две такие точки, которые перейдут в inf на (k+1)-й итерации. Поэтому с ростом k точки yk(y)=0, с одной стороны, уходят в обе стороны от нуля, а с другой - все чаще появляются в тех местах, где они однажды уже появились. Всего на k-й итерации в inf перейдет 2k-1 точек. В действительности с ростом k они всюду плотно заполняют прямую Re(z)=2.5, а между ними yk(y) непрерывно пробегает все значения от -inf до inf. Чтобы быть в этом уверенными, выполним последнюю программу
12;hy=1.0033e-4; xt=2.5+(-1:hy:1)'*i; w=2:length(xt); n=100; fork=1:n,xt=eval(TF); end
13;pzn=sum(sign(xt(w-1)).*sign(xt(w))
которая зафиксирует 674 перемены знака (pzn) у функции y100(y) для -1y1 с hy=1.0033e-4 (из-за недостаточной малости hy далеко не все они учтены). Для -10y-8 с hy=1.0033e-4 pzn=675. Для симметричного относительно точки y=0 отрезка 8y10 с тем же hy получим pzn=702. Ошибки при последовательном вычислении Fk(z) на прямой Re(z)=2.5 будут ничтожными, так что значения yk(y) вычисляются с высокой точностью, но от шага hy число найденных перемен знака в yk(y), конечно, зависит: при k=100 число всех нулей функции yk(y) равно 2100-1=6.3383e29.
Сделаем краткое резюме относительно неподвижной точки inf преобразования F. Ее следует рассматривать как неустойчивую, поскольку любая ее окрестность с разрезом Re(z)=2.5 в комплексной плоскости с ростом k "уходит" от нее, а из этого разреза все больше точек попадает в нее, и эти ее дискретные прообразы все плотнее (в пределе всюду плотно) заполняют этот разрез, но все их множество, поскольку оно счетно, имеет меру нуль. Отсюда следует, что на прямой Re(z)=2.5 почти всюду не существует теоретического предела итераций. Из-за ошибок округления, хотя они и малы, прообразы inf почти никогда не попадают в inf при вычислениях и потому ведут себя так же (т.е. хаотически), как и не прообразы.
Заметим теперь, что порядок действий в F можно переставить:
F(x)=x/2+1.25+0.25/(2x-5) и F(x)=(x2-6)/(2x-5)– это две другие математически эквивалентные записи F. Выполним строку
14;TF='xt/2+1.25+.25./(2*xt-5)';
а затем строки 5 и 7 и получим тот же результат, что и выше. Но строка
15;TF='(xt.^2-6)./(2*xt-5)';
и строки 5, 8 дадут только устойчивые неподвижные точки преобразования F и, как и раньше, три точки NaN, так что с такой TF мы не увидели бы рассмотренной выше картины. Выполним строку 6 с n=100 и увидим, как все происходит до конца.
Пример 3 показывает, что, пользуясь довольно простыми командами MATLAB'а и руководствуясь здравым смыслом, можно проанализировать достаточно тонкие математические детали задачи.
Заключение
MATLAB – высокоуровневая система программирования, позволяющая резко сократить затраты труда при проверке алгоритмов и проведении прикидочных расчетов. Возможность проведения больших расчетов на MATLAB'е определяется в основном теми затратами времени, на которые может пойти пользователь: здесь приходится выбирать между легкостью и наглядностью программирования и представления результатов, с одной стороны, и затратами времени на счет – с другой. Система очень удобна для освоения и апробации численных методов, что мы и хотим показать здесь прежде всего. Именно поэтому она рекомендуется как одна из основных для физиков и многих других естественно-научных специальностей в ведущих американских университетах. Детальное освоение любой большой программной системы – это достаточно длительный процесс, основу которого составляют индивидуальная работа, и наши занятия призваны дать лишь первоначальный импульс этому процессу в отношении MATLAB'а. Темы 2 – 4 представляют сравнительно элементарное введение, а в остальных рассматриваются более сложные примеры, показывающие, как можно использовать программные и графические возможности системы для исследования численных алгоритмов.
Список использованных источников:
1. Using MATLAB. Version 5.2. The Mathworks, Inc., 1997. 531 p. MATLAB 5.2 Product Family New Features. Version 5.2. The Mathworks, Inc., 1998. 202 p.
2. Using MATLAB Graphics. Version 5.2. The Mathworks, Inc., 1997. 372 p.
3. MATLAB Functions Reference (Volumes 1 and 2). Version 5. The Mathworks, Inc., 1998. 819 p., 586 p.
4. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы PC MatLab. М., Физматлит, 1993 112 с.
5. Потемкин В.Г. Система MATLAB. Справочное пособие. М., "Диалог-МИФИ", 1997. 350 с.
6. Гультяев А. MATLAB 5.2. Имитационное моделирование в среде Windows. СПб, "Коронс-принт", 1999, 288 с.
7. Дьяконов В.П., Абраменкова К.В. MATLAB 5. Система символьной математики. М., Нолидж, 1999, 633 с.
8. Лазарев Ю.Ф. MATLAB 5.х. Киев, Изд. группа BHV, 2000, 384 с. ("Б-ка студента").
9. Медведев В.С., Потёмкин В.Г. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов. М., "Диалог-МИФИ", 1997, 287 с.
10. Потёмкин, В.Г. Введение в MATLAB. М., "Диалог-МИФИ", 2000, 350 с.
11. Потёмкин, В.Г. Система инженерных расчетов MATLAB 5.х. В 2-х томах. М., "Диалог-МИФИ", 1999, 366 с., 304 с.
12. Рудаков П.И., Сафонов В.И. Обработка сигналов и изображений. MATLAB 5x. М., Диалог-МИФИ", 2000, 413 с. ("Пакеты прикладных программ").
