Chegaralanmagan soxada birinchi tartibli elliptik tipli sistema uchun Koshi masalasini regulyarizatsiyasi

Mavzu: Chegaralanmagan soxada birinchi tartibli elliptik tipli sistema uchun Koshi masalasini regulyarizatsiyasi

Nizomov Farrux Furqat o’g’li

Mutaxassislik: Differensial tenglamalar va matematik fizika

Annotatsiya: Ushbu maqolada birinchi tartibli elliptik tipli tenglamalar sistemasi uchun qo’yilgan Koshi masalasining regulyarizatsiyasi tuzilgan. Chegaralanmagan sohada integral formuladan foydalanib Karleman matritsasi tuzilgan. Bu matritsa orqali yechim oshkor ko’rinishda ifodalangan.

Kirish qism:

Koshi masalasining qo‘yilishi

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

dioganal matritsa,

Faraz qilaylik soha fazodan olingan chegaralangan, chegarasi va tekisliklardan iborat bo’lsin. deb shunday matritsalar oilasini belgilaymizki bu matritsaning har bir elementi chiziqli funksiyadan iborat bo‘lib koeffitsiyentlari haqiqiy yoki kompleks sonlardan tashkil topgan bo‘lsin. Bu matritsalar quyidagi shartni qanoatlantirsin:

Bu yerda  matritsa matritsaga ermitli qo‘shma bo‘lgan matritsadan iborat. Ularning elementlari quydagicha aniqlandi:

Faraz qilaylik, yuqori yarim fazoda joylashgan yo’lakdan iborat bo’lsin ya’ni

tekislik bo’lsin.

Bu sohada quyidagi tenglamalar sistemasini qaraymiz:

 (1)

Bu yerda xarakteristik matritsa dan iborat bo‘lgan matritsa bo’lsin (1) sistema koeffitsiyentlari o‘zgarmas bo‘lgan Gel’mgol’s tenglamasi bilan faktorizatsiyalanuvchi elliptik tipli sistema deyiladi.

Asosiy qism:

Masalaning qo‘yilishi: Faraz qilaylik (1) ning yechimi bo‘lib, vektor funksiyani sohaning chegarasi ning bir qismida vektor funksiyaning qiymati berilgan bo‘lsin, ya’ni

 (2)

(bu yerda  uzluksiz berilgan vektor funksiyadan iborat).

vektor funksiyaning sohada qiymatini (2) dan foydalanib topish masalasiga birinchi tartibli elliptik tipli tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasi deyiladi.

Agar  vektor funksiya  sinfdan olingan vektor funksiya bo‘lib (1) sistemani qanoatlantirsin u holda quyidagi integral formula o‘rinli bo‘ladi:

 (3)

Bunda

 sohadan chegarasida o‘tkazilgan tashqi birlik normaldan iboratdir.

Ya’ni

(3) ga birinchi tartibli elliptik tipli tenglamalar sistemasi uchun integral formula deb aytiladi.

Agar sinfdan olingan vektor funksiya bo‘lib, (1) sistemani qanoatlantirsa, u holda quyidagi integral formula o‘rinli bo‘ladi [1]:

(4)

Bunda

bu yerda Gel’mgol’s tenglamasining Karleman funksiyasi.

Quyidagi belgilashlar kiritamiz,

1-teorema. Faraz qilaylik vektor funksiya (1) sistemani va

(5)

chegaraviy shartni qanoatlantirsa, u holda

(6)

tengsizlik o‘rinlidir.

2-teorema. Faraz qilaylik (1) sistemaning yechimi bo’lib (5), (6) va shartlarni qanoatlantirsin.

bo’lsa, u holda

(7)

Isbot. (8)

(5), (6) larni hisobga olsak shunday tanlab olsak u holda (7) ning isboti kelib chiqadi.■

Natija: Quyidagi limit

₍₉₎

sohaning har bir kompakt qismida tekis bajariladi.

Adabiyotlar

1. Тарханов Н.Н. “Об интегральном представлений решений cиcтем линейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных и некоторых его приложениях”. Красноярск-1980, стр 147-160.

2. М.М. Лаврентьев. “О некоторых некорректных задачах математической физики”. Изд. СО АН СССР Новосибирск, 1962 г.

3. Ш. Ярмухамедов. Интегральных представления гармонических функций многих переменных. ДАН СССР, Т.204, № 4, 1972, стр. 799-802.

4. Ш. Ярмухамедов, А. Абдукаримов, З. Маликов. “О Задачи Коши для системе эллиптического типа первого порядка”. Докл. Росс. -Акад. Наук. Том 323 (1992) №1.