Система уроков по алгебре в 7 классе по теме «степень с натуральным показателем»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ШКОЛА № 111 ГОРОДА ДОНЕЦКА»

СИСТЕМА УРОКОВ ПО АЛГЕБРЕ В 7 КЛАССЕ

ПО ТЕМЕ «СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ»

КУЛИШ ЛЮДМИЛА НИКОЛАЕВНА

УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ

Г.дОНЕЦК

Урок 1
Определение степени с натуральным показателем

Цели: ввести понятие степени числа а с натуральным показателем п; определить значение степени с натуральным показателем положительного и отрицательного числа в зависимости от четности / нечетности показателя степени; формировать умение вычислять значение степени и представлять число в виде степени с натуральным показателем.

Ход урока

I. Организационный момент

Устная работа.

Вычислите.

а) 3 · 45; б) · 120; в) ;

г) ; д) · 49; е) –3 · (–16);

ж) –(–3) · 12; з) –(2 · (–9)); и) ;

к) 18 · + 11; л) · (11 – 6); м) .

II. Объяснение нового материала.

1. Объяснение проводить согласно пункту учебника. Напоминаем, что вместо длинной записи произведения 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 можно записать выражение 5⁷, где 5 – основание степени (повторяющийся множитель), а 7 – показатель степени (число повторяющихся множителей).

Понятие степени определяем для любого числа а в качестве основания и любого натурального показателя (аналитическая запись).

На доску выносится запись:

Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1, называется выражение ап, равное произведению п множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.

Проговариваем с учащимися правило чтения степени, приводим примеры.

2. Мини-лабораторная работа.

Найдите значение степени.

3³; 3⁴; 3⁵; 3⁶; 0¹;

; 0²;

(0,1)²; (0,1)³; (0,1)⁴; (0,1)⁵; 0³;

(–2)²; (–2)³; (–2)⁴; (–2)⁵; 0⁴;

; 0⁵;

(–0,1)²; (–0,1)³; (–0,1)⁴; (–0,1)⁵; 0⁶.

Задания разбиваем либо по группам, либо раздаем индивидуально. Затем «по цепочке» ученики выходят к доске и записывают результаты.

После анализа полученных результатов на доску выносятся следующие правила:

При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении в степень нуля получается нуль.

Степень отрицательного числа с четным показателем – положительное число.

Степень отрицательного числа с нечетным показателем – отрицательное число.

Обособленно выносим правило для квадратов чисел (пропедевтика изучения решения квадратных уравнений):

Квадрат любого числа есть положительное число либо нуль (а2 ≥ 0 при любом а).

3. Рассматриваем примеры учебника.

III. Формирование умений и навыков.

Упражнения, решаемые на этом уроке, можно условно разбить на группы:

1-я группа. Задания на усвоение понятия степени.

2-я группа. Задания на вычисление значения степени числа с натуральным показателем.

3-я группа. Задания на вычисление значения числового выражения, содержащего степень.

1-я группа

№ 374, № 375 (устно), № 376, № 378, № 380.

При выполнении этих заданий учащиеся должны четко называть степень, можно просить назвать их основание и показатель степени.

2-я группа

1. № 382, № 381 (а, б).

2. Не выполняя вычислений, сравните значение данного выражения с нулем:

а) (–4,1) · (–5,6)⁶; б) (–3,3)³ : (–5,7);

в) –(4,8)² · (–1,2)⁴; г) –(–2,7)⁴ · (–6,4)⁵.

3. Сравните значения выражений:

а) (–6,5)⁴ и (–2,4)³;

б) (–0,2)⁶ и (–0,2)¹⁰;

в) (–1,5)⁷ и (–1,5)⁹.

3-я группа

№ 384, 385 (а, в, г), 386 (а, в, д, ж), 387 (а, б, в).

IV. Итоги урока.

– Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем. Приведите примеры и назовите в каждом из них основание и показатель степени.

– Чему равна первая степень любого числа?

– Какой знак имеет результат возведения положительного числа в натуральную степень?

– Какой знак имеет значение степени отрицательного числа с четным показателем? С нечетным показателем?

– Каков порядок действий при нахождении значения выражения, содержащего степени с натуральным показателем?

Домашнее задание: № 377; 379; 381 (в, г); 383; 385 (б, г, е); 386 (б, г, е, з).

УРОК 2

Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Цели: вывести правила умножения и деления степеней с одинаковым основанием; дать определение нулевой степени числа, не равного нулю; формировать умение выполнять указанные действия со степенями.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Вычислите.

а) 3²; б) ; в) (0,1)³; г) ; д) ; е) (–0,1)⁴; ж) ; з) –(–7)²;

и) –(–2)³; к) 0¹⁶; л) (–1)¹⁸; м) –(–1)²³.

2. Сравните значение двух выражений:

а) (–8,64)²⁰ и 0³⁰; б) (–1)⁷⁶ и (–1)⁷⁰; в) и (–3,82)¹³; г) и .

II. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Найдите значение выражения. а) – (0,5)²; б) 3000 · (0,2)³ – (–2)⁶; в) – (–3)³.

2. Вычислите значение выражения х³ – х² при: а) х = 0,3; б) х = –6.

Вариант 2

1. Найдите значение выражения.а) + (0,6)²; б) 2000 · (0,3)⁴ – (–2)⁴; в) – (–4)³.

2. Вычислите значение выражения х² + х³ при:а) х = –0,4; б) х = 10.

III. Объяснение нового материала.

На этом уроке изучаем два важных свойства степени: сложение и умножение степеней с одинаковыми основаниями.

Свойство 1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

по сочетательному свойству умножения
по определению степени с натуральным показателем
= 25 Итак, 22 · 23 = 22 + 3	= am + n

Свойство 2. При делении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

5 3 35 : 33 =	m n, a  0 am : an =
запишем частное в виде дроби

сократим дробь
по определению степени с натуральным показателем
= 32 Итак, 35 : 33 = 35 – 3	= am – n

Замечаем, что a^m : a^m = a^{m – m} = a⁰ = 1.

Определение. Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 403.

Решение:

а) x⁵x⁸ = x^{5 + 8} = x¹³; е) yy¹² = y^{1 + 12} = y¹³;

ж) 2⁶2⁴ = 2^{6 + 4} + 2¹⁰; з) 7⁵7 = 7^{5 + 1} = 7⁶.

2. № 405.

Решение:

а) a¹⁵ = a^{6 + 9} = a⁶ ∙ a⁹; б) a¹⁵ = a^{9 + 6} = a⁹ ∙ a⁶;

в) a¹⁵ = a^{2 + 13} = a² ∙ a¹³; г) a¹⁵ = a^{14 + 1} = a¹⁴ ∙ a = a ∙ a¹⁴.

3. № 407.

Решение:

Представим число 6 в виде суммы двух натуральных чисел всеми возможными способами:

6 = 1 + 5; 6 = 2 + 4; 6 = 3 + 3.

Значит, a⁶ = a ∙ a⁵; a⁶ = a² ∙ a⁴; a⁶ = a³ ∙ a³.

4. № 409.

Решение:

а) m³m²m⁸ = m^{3 + 2 + 8} = m¹³; в) xx⁴x⁴x = x^{1 + 4 + 4 + 1} = x¹⁰;

д) 7⁸ ∙ 7 ∙ 7⁴ = 7^{8 + 1 + 4} = 7¹³; е) 5 ∙ 5² ∙ 5³ ∙ 5⁵ = 5^{1 + 2 + 3 + 4} = 5¹¹.

5. № 410.

Решение:

а) 5⁸ ∙ 25 = 5⁸ ∙ 5² = 5^{8 + 2} = 5¹⁰;

в) 6¹⁵ ∙ 36 = 6¹⁵ ∙ 6² = 6^{15 + 2} = 6¹⁷;

д) 0,4⁵ ∙ 0,16 = 0,4⁵ ∙ 0,4² = 0,4^{5 + 2} = 0,4⁷;

е) 0,001 ∙ 0,1⁴ = 0,1³ ∙ 0,1⁴ = 0,1^{3 + 4} = 0,1⁷.

6. № 411.

Решение:

а) 2⁴ ∙ 2 = 2^{4 + 1} = 2⁵ = 32;

б) 2⁶ ∙ 4 = 2⁶ ∙ 2² = 2^{6 + 2} = 2⁸ = 256;

в) 8 ∙ 2⁷ = 2³ ∙ 2⁷ = 2^{3 + 7} = 2¹⁰ = 1024;

г) 16 ∙ 32 = 2⁴ ∙ 2⁵ = 2^{4 + 5} = 2⁹ = 512.

7. № 413.

Решение:

а) (c⁴)² = c⁴ ∙ c⁴ = c^{4 + 4} = c⁸;

б) (c²)⁴ = c² ∙ c² ∙ c² ∙ c² = c^{2 + 2 + 2 + 2} = c⁸.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: № 404; № 406; № 408; 412; № 533.

УРОК 3

Возведение в степень произведения и степени

Цели: вывести правило возведения в степень произведения двух и более сомножителей; формировать умение вычислять степень произведения, а также рационально преобразовывать выражения, содержащие степень произведения либо предполагающие использование данного свойства.

Ход урока

I. Организационный момент

Устная работа.

Вычислите.

а) 2³ · 5³; в) 12²; д) 5³ · ; ж) (bx)⁵;

б) 10³; г) 3² · 4²; е) (2а)³; з) (ab)ⁿ.

II. Объяснение нового материала.

(ab)n = anbn.

Для любых а и b и произвольного натурального п верно равенство (ab)n = anbn.

Доказательство:

(ab)ⁿ = (ab) · (ab) · ... · (ab) по определению степени п раз;

(ab) · (ab) · ... · (ab) = (aa...a)(bb...b) по свойствам умножения п раз п раз; (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.

Вывод:

1) каждый множитель возводить в эту степень;

2) результаты перемножить.

Пример:

(abсd)⁴ = ...

Решение:

(abcd)⁴ = a⁴b⁴c⁴d⁴.

Рассмотреть пример 1 со с. 97 учебника.

III. Формирование умений и навыков.

1. № 428.

2. Выполните возведение в степень, представив предварительно основание степени в виде произведения множителей –1 и х:

а) (–х)²; б) (–х)⁸; в) (–х)¹⁰⁰; г) (–х)^2п;

д) (–х)³; е) (–х)⁹; ж) (–х)⁷¹; з) (–х)^{2п + 1}.

Решение:

а) (–х)² = ((–1) · х)² = (–1)² · х² = 1 · х² = х²;

е) (–х)⁹ = ((–1) · х)⁹ = (–1)⁹ · х⁹ = –1 · х⁹ = –х⁹;

г) (–х)^2п = ((–1) · х)^2п = (–1)^2п · х^2п = 1 · х^2п = х^2п;

з) (–х)^{2п + 1} = ((–1) · х)^{2п + 1} = (–1)^{2п + 1} · х^{2п + 1} = –1 · х^{2п + 1} = –х^{2п + 1}.

3. № 431.

Решение:

а и –а – противоположные числа.

а²;

(–а)² = ((–1) · а)² = (–1)² · а² = 1 · а² = а²,

значит, а² = (–а²).

4. № 432.

Решение:

Пусть а – сторона квадрата, тогда площадь квадрата равна а2. Если сторона квадрата увеличится в 2 раза, то станет равна 2а, а его площадь будет равна (2а) · (2а) = = (2а)2 = 22 · а2 = 4а2, то есть увеличится в 4 раза.

Аналогично рассуждаем для остальных случаев.

5. № 433.

Решение:

Пусть а – ребро куба, тогда его объем равен а3. Если ребро увеличить в 3 раза, то объем куба будет вычисляться по формуле (3а) · (3а) · (3а) = (3а)3 = = 33 · а3 = 27а3, значит, объем увеличится в 27 раз.

6. № 434.

Для решения используем данные задачи № 432.

Решение:

Поверхность куба состоит из 6 квадратов площадью а², то есть равна 6а².

Если ребро куба увеличить в 3 раза, то площадь боковой грани составит 9а², а общая площадь поверхности равна 6 · 9а² или 54а².

Новая площадь больше в 9 раз, значит, и краски потребуется в 9 раз больше, то есть 40 · 9 = 360 г. Следовательно, 350 г краски на хватит.

Ответ: не хватит.

7. Представьте произведение в виде степени.

а) x⁵y⁵; б) 36a²b²; в) 0,001x³c³;

г) –х³; д) –8х³; е) –32a⁵b⁵;

ж) x⁵y⁵z⁵; з) 0,027a³b³c³; и) x³a³z³.

8. Вычислите значение выражения, используя свойство степени произведения.

а) 5³ · 2³; в) (0,5)³ · 60³;

б) · 20⁴; г) (1,2)⁴ · .

IV. Итоги урока.

– Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.

– Сформулируйте правило возведения в степень произведения.

– Сколько сомножителей может стоять в формуле степени произведения?

– Чему равно значение выражения (3 · 5 · 78)⁰?

Домашнее задание: № 429; № 430; № 435; № 436; № 437.

УРОК 4

Одночлены и его стандартный вид

Цели: ввести понятие одночлена и его стандартного вида; формировать умение приводить одночлен к стандартному виду путем его упрощения; формировать умение определять коэффициент и степень одночлена.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Упростите выражение.

а) х³ · (–х⁴); б) х³ · (–х)⁴; в) (–х)³ · х⁴;

г) (–х³) · (–х)⁴; д) (а²)⁵ · а⁵; е) (а² · а⁵)².

2. Выполняя задания на преобразование выражений, содержащих степени, ученик допустил следующие ошибки:

а) 5 · 5 · 5 · 5 = 4⁵; б) (–3)² = –3 · 3 = –9; в) 7¹ = 1;

г) 0⁰ = 1; д) 2³ · 2⁷ = 2²¹; е) 2³ · 2⁸ = 4¹⁰;

ж) 2³ + 2⁷ = 2¹⁰; з) 2³⁰ : 2¹⁰ = 2³; и) (2х)³ = 2х³;

к) (а³)² = а⁹; л) (а²)³ · (а⁴)² = (а⁶)⁵ = а³⁰.

Какие определения, свойства, правила не знает ученик?

II. Объяснение нового материала.

1. При решении различных задач часто встречаются алгебраические выражения вида a · b; · a · b · c; 3 · a² · b. Для сокращения записи этих выражений знак умножения «точка» обычно опускается, то есть пишут просто ab; abc; 3a²b. Каждое из этих произведений называют одночленом.

На доску выносится запись:

Произведение нескольких чисел, обозначенных цифрами или буквами, называют одночленом.

Например, одночленами являются выражения:

abc; (–4)a3ab; a(–0,3)bab; 172; –.

Так как произведение равных множителей можно записать в виде степени с натуральным показателем, то степень числа и произведение степеней чисел также называют одночленами.

Например: ; (–7)³; c⁵; 4a²; a²b.

Множители одночлена, записанные с помощью цифр, называют числовыми множителями одночлена, а множители, обозначенные буквами, называют буквенными множителями.

2. Одночлены можно упрощать, пользуясь переместительным и сочетательным законами умножения.

Стандартным видом одночлена называется его запись, когда на первом месте стоит числовой коэффициент, а затем степени различных переменных.

Обращаем внимание учащихся, что коэффициент одночлена может быть равен единице, в этом случае мы его не пишем перед буквенной частью. Переменные принято записывать в алфавитном порядке, то есть не 3x²a⁴c, а 3a⁴cx².

3. Вводим понятие степени одночлена.

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен не содержит переменных и является числом, отличным от нуля, то степень этого одночлена считают равной нулю. Число 0 является одночленом, степень которого не определена.

III. Формирование умений и навыков.

На этом занятии необходимо отработать следующие умения:

1) выявлять одночлен, используя определения;

2) выделять элементы одночлена: числовой коэффициент и буквенную часть;

3) определять, записан ли одночлен в стандартном виде;

4) приводить одночлен к стандартному виду;

5) вычислять значение одночлена в стандартном виде;

6) определять степень одночлена стандартного вида.

1. (Устно). Назовите числовые и буквенные множители одночлена.

а) 6a(0,3)b2c; в) 3p(–0,1)q7r; б) 0,5ab3c; г) 2,5mn4k.

2. № 455 (устно).

3. Вместо словесной формулировки запишите алгебраическое выражение:

а) удвоенное произведение чисел a и b;

б) утроенное произведение чисел b и с;

в) произведение квадратов чисел х и у;

г) произведение числа а и квадрата числа b;

д) произведение куба числа т и числа р;

е) утроенное произведение квадрата числа а и числа b.

4. № 456 (устно).

При выполнении этого упражнения ученики должны мотивировать свой ответ.

5. Среди одночленов 10,2a²b²c; –7,3ab²c; 17a²bca; –2,6ab²c; –m; 3ab; –28a²b²c²; 3aabc; –2ab; –m⁴m; m ∙ 2; 17a²b²c²:

а) назвать одночлены стандартного вида;

б) указать одночлены, отличающиеся только коэффициентами.

6. № 457.

Решение:

а) 8x²x = 8x^{2 + 1} = 8x³; б) 1,2abc ∙ 5a = (1,2 ∙ 5) ∙ (a ∙ a) ∙ bc = 6a²bc;

в) 3xy(–1,7)y = 3 ∙ (–1,7) ∙ x ∙ y ∙ y = –5,1xy²; г) 6c²(–0,8)c = 6(–0,8)c²c = –4,8c³;

д) m²n ∙ 4,5n³ = ∙ m² ∙ n ∙ n³ = 3m²n⁴; е) a²a³xx² = –a⁵x³.

7. № 459.

Решение:

а) если у = –2, то –0,125у⁴ = –0,125 · (–2)⁴ = –0,125 · 16 = –2;

б) если х = –0,3, у = , то 12x²y = 12 · (–0,3)² · = 2 · 0,09 = 0,18.

Ответ: а) –2; б) 0,18.

8. № 461.

Решение:

S = 5m · m = 5m² (см²).

Ответ: 5m² (см²).

9. Запишите одночлен в стандартном виде и определите его степень.

а) ac12c; г) · 4; б) a8b²ba³; д) –m³np;

в) –0,5xy²x³; е) a³d0x.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: № 458; № 460; № 462; № 463; № 554; № 555.

УРОК 5

Умножение одночленов

Цель: формировать умение умножать одночлен на одночлен, используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Назовите коэффициент одночлена.

а) 15a²b²c; б) 18a³b²c; в) –24ab²c³; г) –35ab³c²;д) nm²; е) n³m; ж) –pqr²; з) –pq²r.

2. Определите степень одночлена.

а) 37a²bx³; б) xyz; в) x²y; г) –862.

III. Объяснение нового материала.

1. Решим следующую задачу.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле
V = abc, где а – длина, b – ширина и с – высота этого параллелепипеда.

Каким будет объем нового параллелепипеда, если длину данного увеличить в 5 раз, ширину – в 2п раз, высоту в 3п раз?

Решение:

Найдем измерения нового параллелепипеда:

длина – 5а;

ширина – 2пb;

высота – 3пс.

Тогда его объем равен (5а) · (2пb) · (3пс). Данное выражение является произведением трех одночленов. По правилам умножения можно записать равенство:

(5а) · (2пb) · (3пс) = 5а · 2пb · 3пс = (5 · 2 · 3) · (аппbс) = 30ап²bс =
= 30аbсп².

2. В результате умножения одночленов снова получается одночлен, который можно упростить, записав в стандартном виде:

(3a²b³c) · (4ab²) = (3 · 4) · (a²a) · (b³b²) · c = 12a³b⁵c.

3. Аналогично находим произведение трех и более одночленов.

4. Актуализация знаний.

Выполните устно умножение одночленов.

а) a³ ∙ a⁴;б) a ∙ a²; в) –a ∙ a² ∙ a⁴;г) a ∙ (–x); д) (–x) ∙ (–y); е) (–x) ∙ ;

ж) (–2a) ∙ a²; з) b² ∙ (–3b³); и) ∙ 6y;к) (0,2a) ∙ (–5b);л) ∙ (–4ab); м) (–8m³) ∙ (–0,5n).

5. Теперь рассмотрим произведение двух или нескольких одинаковых одночленов, то есть степень одночлена. Например, (5a³b²c)². Так как этот одночлен является произведением чисел 5, a³, b², c, то по свойству возведения в степень произведения имеем:

(5a³b²c)² = 5²(a³)²(b²)²c² = 25a⁶b⁴c².

IV. Формирование умений и навыков.

На уроке отрабатываются умения перемножать одночлены и раскладывать одночлен в виде произведения двух и более одночленов.

1. Выполните умножение.

1) а) 12у · 0,5у; б) 8x · ; в) –b³ · 3b²;

2) а) xy² · 16y; б) 1,6a²c · (–2ac²); в) –x³y⁴ · 1,4x⁶y⁵.

Решение:

1) а) 12у · 0,5у = (12 · 0,5) (у · у) = 6у²; б) 8x² · (x²y) = –6x²y; в) –b³ · 3b² = (–1 · 3)(b³b²) = –3b⁵;

2) а) xy² · 16y = (xy²y) = 12xy³; б) 1,6a²c · (–2ac²) = (1,6 (–2))(a²cac²) = –3,2a³c³;

в) –x³y⁴ · 1,4x⁶y⁵ = (–1 · 1,4)(x³y⁴x⁶y⁵) = –1,4x⁹y⁹.

2. Перемножьте одночлены.

а) (–0,4x⁵y⁶z²) · (–1,2xyz³); б) (–2,5n⁴m⁵k²) · (3nm²k⁵); в) ;г) .

Решение:

а) (–0,4x⁵y⁶z²) · (–1,2xyz³) = (–0,4 · (–1,2)) · (x⁵x) · (y⁶y) · (z²z³) =
= 0,48x⁶y⁷z⁵;

б) (–2,5n⁴m⁵k²) · (3nm²k⁵) = (–2,5 · 3) · (n⁴n) · (m⁵m²) · (k²k⁵) = 7,5n⁵m⁷k⁷;

в) · (x²x) · (y³y²) · (zz³) =
= 2x³y⁵z⁴;

г) · (a²a³) · (b⁵b²) · (c³c⁴) =
= –7,5a⁵b⁷c⁷.

3. Перемножьте одночлены.

1) –20х⁴, 0,5ху² и –0,3х²у³; 2) 12x²y²z, xy²z² и –0,1x²yz².

Решение:

1) (–20x⁴) · (0,5xy²) · (–0,3x²y³) = (–20 · 0,5 · (–0,3)) · (x⁴xx²) · (y²y³) =
= 3x⁷y⁵;

2) (12x²y²z) · · (–0,1x²yz²) = · (x²xx²) ×
× (y²y²y) · (zz²z²) = 0,9x⁵y⁵z⁵.

4. Выполните умножение.

а) (–a) · (3b) · (4a²b) · (5ab²); б) (5a) · (a²b²) · (–2b) · (–3a); в) (–1,5ab) · · (–2ac) · (24ab).

Решение:

а) (–a) · (3b) · (4a²b) · (5ab²) = (–1 · 3 · 4 · 5) · (aa²a) · (bbb²) = –60a⁴b⁴;

б) (5a) · (a²b²) · (–2b) · (–3a) = (5 · 1 · (–2) · (–3)) · (aa²a) · (b²b) = 30a⁴b³;

в) (–1,5ab) · · (–2ac) · (24ab) = ×
× (aaa) · (bbb) · (cc) = 18a³b³c².

1. № 472.

Решение:

а) ;б) ;в) ;

г) ;д) ;

е) .

2. Выполните возведение одночлена в степень.

1) а) (6y)²; б) ; в) (0,1c⁵)⁴;

2) а) (5ax)³; б) (4ac⁴)³; в) (5x⁵y³)³;

3) а) ; б) (–10x²y⁶)³; в) (–a²b³c⁴)⁷;

4) а) –(3a²b)³; б) –(–2ab⁴)³; в) –(–a³b²c)⁴.

Решение:

1) а) ; б) ; в) .

2) а) ; б) ;

в) .

3) а) ; б) ;

в) .

4) а) ;

б) ;

в) .

3. № 475, № 477.

№ 475.

Решение:

а) ;б);

в) ;г) .

№ 477.

Решение:

а) ; ;

б) ; .

4. № 479.

Решение:

а) ; .

б) ; .

5. Упростите выражение.

1) а) 35a ∙ (2a)²; б) –4x³ ∙ (5x²)³; в) (–4y²)³ ∙ y⁵;

2) а) ; б) .

Решение:

1) а) ;

б) ;

в) .

2) а) ;

б) .

IV. Проверочная работа.

Вариант 1

Выполните действия.

1) ∙ (–24n) ∙ (4mn); 2) ; 3) (0,1a³b³)³.

Вариант 2

Выполните действия.

1) (–18n) ∙ ∙ (–5mn); 2) ; 3) (0,4a³b²)².

V. Итоги урока.

Дайте определение одночлена.

– В каком случае мы говорим, что одночлен задан в стандартном виде?

– Сформулируйте определение степени одночлена. Приведите пример.

– Каким образом можно умножить одночлен на одночлен? Что получится в результате?

– Как возвести одночлен в степень? На какое правило мы при этом опираемся?

Домашнее задание: № 473; № 474; № 476; № 478; № 480.

УРОК 6

Функции y = x² и у = х³ и их графики

Цели: изучить функциональные зависимости y = x² и у = х³; формировать умение строить графики данных функций и работать с ними.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Назовите область определения функции.

а) y = 3x; г) y = 2x²;ж) y = ;б) y = ; д) y = х³; з) y = ;

в) y = –3x² + 11; е) y = ; и) y = (3 – x)(x + 6).

2. Найдите значение функции y = x² – 11, если:

а) х = 3; в) х = ;

б) х = 0; г) х = 0.

II. Объяснение нового материала.

Организуем самостоятельную работу по учебнику в парах.

С помощью учебника (пункт 23, с. 105–108) ответить на вопросы, описанные в таблице (см. далее), и сравнить две функции: в чем схожи и в чем их отличие.

Вопросы	y = x2	y = x3
Заполните таблицу	x –2 –1 0 1 2 y	x –2 –1 0 1 2 y
По данным таблицы построить график
Свойства функции	1. 2. 3.	1. 2. 3.
Функция возрастает
Функция убывает
Название графика

III. Формирование умений и навыков.

1. № 484, № 485.

2. № 487. Решение:

а) А (6; 36) 36 = 6²;

36 = 36 – верно, значит, принадлежит;

б) В (–1,5; 2,25) 2, 25 = (–1,5)²;

2,25 = 2,25 – верно, значит, принадлежит;

в) С (4; –2) –2 = 4²;

–2 = 16 – неверно, значит, не принадлежит;

г) D (1,2; 1,44) 1,44 = (1,2)²;

1,44 = 1,44 – верно, значит, принадлежит.

Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) да.

3. № 489.

4. № 490. Решение:

а) А (–0,2; –0,008) –0,008 = (–0,2)³;

–0,008 = –0,008 – верно, значит, принадлежит;

б) B ;

;

– верно, значит, принадлежит;

в) C ;

– неверно, значит, не принадлежит.

Ответ: а) да; б) да; в) нет.

5. № 491.

6. № 492. Решение:

а) Р (а; 64) 64 = а²;

8² = а² – возможно в случае а = 8 или а = –8.

б) Р (а; 64) 64 = а³;

4³ = а³ возможно в случае а = 4.

Ответ: а) 8; –8; б) 4.

IV. Итоги урока.

– Сформулируйте свойства функции y = x². Как отражаются эти свойства на графике функции?

– Как называется график функции y = x²?

– Сформулируйте свойства графика функции y = x³. Как отражаются эти свойства на графике функции?

– Как называется график функции y = x³?

Домашнее задание: 1. Решите графически уравнение.

а) х = 3х; б) 2x = x + 2; в) 3x = 3x + 4.

2. Решите графически уравнение.

а) x² = 9; б) x² = ; в) x² = –3; г) x³ = 8.

3. Решите уравнение графически.

а) x² = 6 – x; б) x² + 4x = –3; в) x² – 4x = 0; г) x³ + 2 = 3x.

УРОК 7

Контрольная работа № 4 «Степень с натуральным показателем»

Вариант 1

1. Найдите значение выражения 1 – 5х² при х = –4.

2. Выполните действия.

а) y⁷ ∙ y¹²; б) y²⁰ : y⁵; в) (y²)⁸; г) (2y)⁴.

3. Упростите выражение.

а) –2ab³ ∙ 3a² ∙ b⁴; б) (–2a⁵b²)³.

4. Постройте график функции y = x². С помощью графика определите значение у при х = 1,5; х = –1,5.

5. Вычислите: .

6. Упростите выражение.

а) ; б) x^{n – 2} ∙ x^{3 – n} ∙ x.

Вариант 2

1. Найдите значение выражения –9р³ при p = .

2. Выполните действия.

а) c³ ∙ c²²; б) c¹⁸ : c⁶; в) (c⁴)⁶; г) (3c)⁵.

3. Упростите выражение.

а) –4x⁵y² ∙ 3xy⁴; б) (3x²y³)².

4. Постройте график функции y = x². С помощью графика определите, при каких значения х значение у равно 4.

5. Вычислите: .

6. Упростите выражение.

а) ; б) (a^{n + 1})² : a²ⁿ.

УРОК 8

Обобщающий урок по теме:
«Степень с натуральным показателем»

Цели: обобщить и систематизировать знания по теме «Степень с натуральным показателем»; оценить степень сформированности умений и навыков, провести коррекционную работу.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний, проводимый в игровой форме

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, парная.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, проблемный.

Цели урока

• Общеобразовательные: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию знаний по теме; создать условия контроля (взаимоконтроля) усвоения знаний и умений;

- развивающие: способствовать формированию умений применять приемы обобщения, сравнения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развития математического кругозора, мышления, речи, внимания и памяти.

- воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, активности, организованности, умения взаимо- и самоконтроля своей деятельности, формировать положительный мотив учения, развитие умений учебно-познавательной деятельности

Этапы урока

1.Организационный момент. Постановка целей и задач урока.

2.Актуализация, систематизация опорных знаний.

1. Всесторонняя проверка знаний.

2. Самостоятельная работа, взаимопроверка, самопроверка

3.Итоги урока, вывод.

4.Домашнее задание.

5.Рефлексия.

1. Мотивационная беседа с учащимися.
   Добрый день всем;  садитесь. Ребята, настроимся на работу. Закройте глаза. Погладьте себя по голове, пожелайте себе мыслить ясно, вспоминать быстро и быть внимательными.

Открыли тетради и записали дату и тему урока «Обобщающий урок по теме «Степень с натуральным показателем»

Проверка теоретической части

1. Если показатель четное число, то значение степени всегда_______________

Если показатель нечетное число, то значение степени совпадает со знаком ____ .

1. Произведение степеней aⁿ·a^k=a^n+k
   При умножении степеней с _____________________надо основание _____________,
   а показатели степеней ___________________________.

2. Частное степеней aⁿ : a^k=a^{n - k}
   При делении степеней с ________надо основание _____, а из показателя делимого _______.

3. Возведение степени в степень (aⁿ)^к = a^nk
   При возведении степени в степень надо основание _______, а показатели степеней______.

Игра «Молчанка»

1. Сравните значения выражения с нулём

(-5)⁷, (-6)¹⁸, (-4)¹¹∙(-4)², (-5)¹⁸∙(-5)⁶, -(-4)⁸

1. Вычислите:

-1∙3², (-1∙3)², 1∙(-3)², -(2∙3)², 1²∙(-3)²

3. Найдите значение переменной, при котором верно равенство:

(3⁴)^х =3⁸ 4⁵∙4³=4^5+а (15³)^х =15⁹

10^а =1000 5³∙5² =5^1+а

У доски:

Решить уравнение

2. Представьте выражение в виде степени с основанием 7:

1. Магический квадрат

2. Выполните действия:

3. Выполняя задания, ученик допустил ошибки. Какие свойства, правила не знает ученик?

3⁵ ∙ 3⁸ = 3⁴⁰; 8¹ = 1; 2⁴ + 2² = 2⁶;

(2a)⁵ = 2a⁵; (x²)³ = x⁸.

1. Всесторонняя проверка знаний

Игра «Пара чисел»

ЗАДАНИЕ. Для каждого нестандартного одночлена из первого столбца подберите соответствующий ему стандартный одночлен из второго столбца и составьте соответствующие пары чисел.

Для тех, кто выполнил задание, обратитесь к дополнительной части.

Когда закончили работу, поменялись тетрадями, проверили пары чисел, записанные на доске:

ОТВЕТЫ: (1,4), (2,7), (3,6), (4,3), (5,2 )

Поставьте своим товарищам оценку в оценочный лист.

Игра «Пара чисел.»
1) 2ху∙ 3x2у5	1) - 5х4 у5
2) Зху3∙ х3у6	2) – х 5 у10 z3
3) -0,6ас3 ∙ (-8)а2с4	3) 6a3 с5
4) -5а2с ∙ 2ас ∙ (-0,6с3)	4) 6х3у6
5) ху3z3 х ∙ (-3)х3у7	5) -9х4у6 z2
	6) 4,8а3с7
	7) 2х4 у9

А сейчас вычислительная пауза. Запишите ответ в виде степени с основанием С и вы узнаете фамилию и имя великого французского математика, который первым ввел понятие степени числа.

1.	С5∙С3	6.	С7 : С5
2.	С8: С6	7.	(С4)3 ∙С
3,	(С4)3	8.	С4∙ С5∙ С0
4.	С5 ∙С3 : С6	9.	С16 : С8
5.	С14∙ с	10.	(С3)5

Р

Ш

М

Ю

К

Н

А

Т

Е

Д

С8

С5

С1

С40

С13

С12

С9

С15

С2

С22

Ответ : РЕНЕ ДЕКАРТ

В этих заданиях мы показали свое умение выполнять умножение одночленов, а сейчас проверим, как вы можете применять свойства степени при возведении одночлена в степень.

Работу выполним на карточке с копиркой по вариантам.

Фамилия								Вариант 1
1) 25х13у6 = 5х7у ∙
2) (2а2в)2 ∙								= - 8а 9 в10
3) -	х9У5 =							∙ х8у2
4)				∙ (2х9у)2=				х2у
5) (2в3)2 ∙ (							)2	= 100 в8

Фамилия										Вариант 2
1) 64х4у6= 8ху5							∙
2) (-Зав3 )2		∙								= 18а в11
3) -	х15 У9 =									∙ х6у4
4)						∙ (4х3у)2 =				32 х 12у7
5) (Зв3)2 (									)3 =	72 в18

Резерв урока.

Выполняя задание вычеркните буквы, соответствующие ответам. Упростите выражение:

АОВСТЛКРИЧГНМО

1.	С4∙С3	5.	(С2)3 ∙ С5
2.	(С5)3	6.	С6∙ С5: С10
3.	С11: С6	7.	(С4)3 ∙С2
4.	С5 ∙С5 : С

Шифр: А- С⁷ В- С ¹⁵ Г - С И - С ³⁰ К - С⁹ М – С¹⁴ Н - С¹³ О- С ¹² Р- С¹¹ С- С⁵ Т- С⁸ Ч- С³

ОТВЕТ: ОТЛИЧНО!

. Рефлексия
Вам для этого помогут слова:
-Я узнал…
-Я почувствовал…
-Я увидел…
-Я понял,что…
-Я заметил, что …
-Я сейчас слушаю и думаю…

1. Домашнее задание.

2. - Провести поисковую работу: найти в различных источниках (Интернете, справочной литературе и т.д.) или составить интересные задачи на применение знаний по теме «Степень. Свойства степеней с натуральным показателем»

Найти значение выражения: 1) 0,25 ⁶ ∙ 4⁶; 2) ; 3) .

. Ответьте на вопросы теста:

1) Выполните умножение: 0,5х²у · (–ху) =

а) –0,5х³у²; б) 0,5у²х³; в) –0,5х²у³.

2) Упростите: –0,4x⁴y³ · 2,5x²y⁷ =

а) x⁸y⁶; б) –10x⁶y⁷; в) –x⁶y⁷.

3) Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:

20а³ · (–5а)² =

а) 100а⁵; б) –500а⁶; в) 500а⁵.

4) Вычислите: (2⁵ · (2³)⁴) : 2¹³ =

а) 2³; б) 16; в) 32.