Сабақтың тақырыбы: "Индукцияны қолданып есептер шығару Практикалық жұмыс №1"

Пәні:жоғары математика.

Күні: ________________________________________________

Топ: __________________________________________________

Сабақтың тақырыбы: Индукцияны қолданып есептер шығару

Практикалық жұмыс №1

Сабақтың мақсаты:

а) білімділік: Студенттерге жалпы математикалық индукция түсініг н беру жіне анықтауды меңгерту;

ә) дамытушылық: есеп шығару дағдысын қалыптастыру, ойлау қабілеттерін дамыту;

б) тәрбиелік: Студенттерді өзін –өзі әділ бағалауға, топпен біріге жұмыс істеуге, мұқияттылыққа

тәрбиелеу.

Сабақтың түрі: Лекция сабақ

Көрнекі құрал-жабдықтар:

Әдіс тәсілдер: баяндау, есептер шығару

Сабақтың барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі

ІІ. Үй тапсырмасын тексеру

ІІІ. Есеп шығару кезеңі

Математикалық индукция әдісі, ұсынылған пікірдің не тұжырымның ақиқаттығын дәлелдеуге көмектесетін әдіс. Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу екі кезеңнен тұрады. 
1) Натурал сан n=1 болғанда (немесе бұл тұжырымның мағынасы болатын n-нің басқа мәндерінде) дұрыс болса 
2) n=k (к 1) қандай бір натурал мәні үшін ақиқат деп ұйғарып, келесі n=k+1 үшін де ақиқат болса, онда тұжырым n- нің барлық натурал мәндері үшін ақиқат болады. 
Математикалық индукция әдісі натурал n- ге тәуелді тұжырымдарды дәлелдеуге қолданылады.
1- есеп. Тақ натурал сандар үшін 1+3+5+...+ (2n-1) = n² болатындығын дәлелдеу керек

1. 
   n = 1 болса S(1) = 1²

2. 
   n = k үшін формула S(n) = n² орынды деп ұйғарып, n = k+1 үшін орынды болатындығын S(k+1) = (k+1)² дәлелдейік.

S(k+1) = 1+3+5+...+ (2k-1) + (2k+1) = S(k) + (2k+1) = k²+2k+1 = (k+1)² яғни S(k+1) = (k+1)² орынды екендігі дәлелденді. Сондықтан барлық натурал n сандар үшін орынды.

2- есеп. Натурал сандардың алғашқы n мүшелерінің квадраттарының қосындысы үшін 1²+2²+3²+4² +...+ n² = теңдігінің орындалатындығын дәлелдеу керек.

1. S(1)= 1=1²=1 n=1 үшін орынды.

2. n=k үшін орынды деп ұйғарамызда,
   n=k+1 үшін дәлелдейік.

S(k+1) = 1² +2² +3² + 4² +...+k² +(k+1)² = S(k) + (k+1)² = +(k+1)² = ==  = мұнан біз n=k+1 үшін формула орынды екендігін дәлелдедік, ендеше кез – келген 

натурал n үшін формула орынды.

3-есеп. Кез- келген натурал n үшін мына теңдіктің орынды екендігін дәлелдейік 

1+3+6+10+...+  = 

1. n=1 онда, 1=  орынды.

2. n=k үшін орынды деп ұйғарамызда,

n=k+1 үшін дәлелдейік.

1+3+6+...+ +=S(k)+  = 

= +  =  = =

=  формула n=k+1 үшін орынды. Онда теңдік кез- келген натурал сан үшінде орынды.

4-есеп. Tеңдіктің тура екендігін дәлелдеу керек.

+++...+= 

1) n=1 үшін = орынды.

2) n=k үшін орынды деп ұйғарып,

n=k+1 үшін дәлелдейік

+++...+ + =+=

= = = =  n =k+1 үшін дәлелденді, олай болса теңдік кез – келген натурал n үшін орынды.

5-есеп. Кез – келген натурал n 3 үшін  + +  +…+  теңсіздігінің

орынды екендігін дәлелдеу керек.

1) n=4 1+ +  +  = 1+  =  ;

2) n=k үшін орынды деп алып, 

n=k+1 үшін дәлелдейміз

++ +...+ + + = 2-  + = -+-

-+= + (- )  ; себебі -
n=k+1 үшін теңсіздік орынды. Сондықтан кез-келген натурал n3 орынды болады.

6-есеп. 4ⁿ+15n-1 өрнегі натурал n1 болғанда 9- ға бөлінетіндігін дәлелдейік.

1. n=1 болғанда, 4¹+151-1=18 9-ға бөлінеді.

2. n=k болғанда 4^k+15k-1 өрнегі 9-ға бөлінеді деп ұйғарып,

n=k+1 үшін 9-ға бөлінетіндігін дәлелдейік.

4^k+1+15(k+1)-1=4^k4+15k+15-1+45k-45k-3+3=(4^k4+60k-4)-45k+18=

=4(4^k+15k-1)-9(5k-2) мұндағы 4(4^k+15k-1) де, 9(5k-2) де 9- ға бөлінеді, онда n1 кез- келген натурал сан болғанда берілген өрнек 9- ға еселік болады. 

IV. Түсігенін есеп шығару арқылы тексеру кезеңі

V. Бекіту кезеңі

VІ.. Бағалау. Студенттерге тиісті бағаларын қоямын

VІІ.Үй тапсырмасы