kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Многочлены от одной переменной

Нажмите, чтобы узнать подробности

Многочлены от одной пременной. разложение на множители, деление многочленов

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Многочлены от одной переменной»

Многочлены

Многочлены

Многочлены от одной переменной р(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +…+ a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a o - стандартный вид многочлена р(х) a n x n  – старший член многочлена р(х) a n – коэффициент при старшем члене n – степень многочлена a о – свободный член многочлена р(х) Если a n = 1 , то многочлен р(х) называется приведенным Если a n ≠ 1 , то многочлен р(х) называется неприведенным

Многочлены от одной переменной

р(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +…+ a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a o

- стандартный вид многочлена р(х)

a n x n – старший член многочлена р(х)

a n – коэффициент при старшем члене

n – степень многочлена

a о – свободный член многочлена р(х)

Если a n = 1 , то многочлен р(х) называется приведенным

Если a n ≠ 1 , то многочлен р(х) называется неприведенным

Деление многочленов Говорят, что многочлен р(х)  делится на многочлен s(x) , если существует такой многочлен q(x) , что выполняется тождество р(x) = s(x)  q(x) p(x) – делимое (или кратное) s(x) – делитель q(x) – частное

Деление многочленов

Говорят, что многочлен р(х) делится на многочлен s(x) , если существует такой многочлен q(x) , что выполняется тождество

р(x) = s(x) q(x)

p(x) – делимое (или кратное)

s(x) – делитель

q(x) – частное

Деление многочленов Пример 1 т. к. х 3 − 3х 2 + 5х − 15 = (х 2 + 5)(х − 3) , то многочлен х 3 − 3х 2 + 5х − 15 делится на многочлены х 2 + 5 и х − 3 . делимое делитель х 2 + 5 х 3 − 3х 2 + 5х − 15 − х 3 + 5х х − 3 − 3х 2 − 15 − частное − 3х 2 − 15 0

Деление многочленов

Пример 1

т. к. х 3 − 3х 2 + 5х − 15 = 2 + 5)(х − 3) , то многочлен х 3 − 3х 2 + 5х − 15 делится на многочлены х 2 + 5 и х − 3 .

делимое

делитель

х 2 + 5

х 3 − 3х 2 + 5х − 15

х 3 + 5х

х

3

2 − 15

частное

2 − 15

0

Деление многочленов с остатком Для любых двух многочленов ненулевой степени р(х)  и s(x) существует пара многочленов q(x)  и r(x) такая, что степень многочлена r(x) меньше  степени многочлена s(x)  и  выполняется тождество р(x) = s(x) q(x) + r(х) p(x) – делимое (или кратное) s(x) – делитель q(x) – неполное частное r(x) – остаток

Деление многочленов с остатком

Для любых двух многочленов ненулевой степени р(х) и s(x) существует пара многочленов q(x) и r(x) такая, что степень многочлена r(x) меньше степени многочлена s(x) и выполняется тождество

р(x) = s(x) q(x) + r(х)

p(x) – делимое (или кратное)

s(x) – делитель

q(x) – неполное частное

r(x) – остаток

Деление многочленов  с остатком Пример 2 т. к. 2х 2 − х − 3 = 2х 2 − 4х + 3х − 6 + 3 =  = 2х(х − 2) + 3(х − 2)  + 3 = (х − 2)(2х + 3) + 3 , то  2х 2 − х − 3 = (х − 2)(2х + 3) + 3  делитель делимое х − 2 2х 2 − х − 3 − 2х 2 − 4х 2х + 3 3х −  3 − частное 3х − 6 остаток 3

Деление многочленов с остатком

Пример 2

т. к. 2 − х − 3 = 2 − 4х + 3х − 6 + 3 =

= 2х(х − 2) + 3(х − 2) + 3 = (х − 2)(2х + 3) + 3 ,

то 2 − х − 3 = (х − 2)(2х + 3) + 3

делитель

делимое

х − 2

2 − х − 3

2 − 4х

+ 3

3х − 3

частное

3х − 6

остаток

3

Теорема Безу Остаток от деления многочлена р(х)  ненулевой степени на двучлен x − а равен р(а)  (т.е. значению многочлена р(x) при х = а ) р(x) = (x − а) q(x) + r p(x) – делимое (или кратное) x − а  – делитель q(x) – частное r  – остаток (число)

Теорема Безу

Остаток от деления многочлена р(х) ненулевой степени на двучлен x − а равен р(а)

(т.е. значению многочлена р(x) при х = а )

р(x) = (x − а) q(x) + r

p(x) – делимое (или кратное)

x − а – делитель

q(x) – частное

r – остаток (число)

Деление многочленов  с остатком Пример 2 Найдем остаток от деления многочлена р(х) = 2х 2 − х − 3  на двучлен х − 2 .  По  теореме Безу: р(2) = 2  2 2 − 2 − 3 = 3  х − 2 2х 2 − х − 3 − 2х 2 − 4х 2х + 3 3х −  3 − 3х − 6 3 остаток

Деление многочленов с остатком

Пример 2

Найдем остаток от деления многочлена

р(х) = 2 − х − 3 на двучлен х − 2 .

По теореме Безу: р(2) = 2 2 2 − 2 − 3 = 3

х − 2

2 − х − 3

2 − 4х

+ 3

3х − 3

3х − 6

3

остаток

Следствие теоремы Безу Определение Если при х = а многочлен р(х) обращается в нуль, т.е. выполняется равенство р(а) = 0 , то число а называют корнем многочлена . Следствие Если число а  является корнем многочлена р(х) ,  то  р(х)  делится на двучлен x − а .

Следствие теоремы Безу

Определение

Если при х = а многочлен р(х) обращается в нуль, т.е. выполняется равенство р(а) = 0 , то число а называют корнем многочлена .

Следствие

Если число а является корнем многочлена р(х) , то р(х) делится на двучлен x − а .

Схема Горнера Пусть р(x) = bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f . Разделим р(х) на x − а  получим р(x) = (х − а )q(x) + r , где q(x)  некоторый многочлен третьей степени  q(x) = kx 3 + mx 2 + nx + s , коэффициенты которого вычисляются с помощью схемы Горнера :  k = b  m = ka + c  n = ma + d  s = na + e  r = sa + f a b k = b c d m =  ka + c n = ma + d e s = na + e f r = sa + f

Схема Горнера

Пусть р(x) = bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f . Разделим р(х) на x − а получим р(x) = (х − а )q(x) + r , где q(x) некоторый многочлен третьей степени q(x) = kx 3 + mx 2 + nx + s , коэффициенты которого вычисляются с помощью схемы Горнера :

k = b

m = ka + c

n = ma + d

s = na + e

r = sa + f

a

b

k = b

c

d

m = ka + c

n = ma + d

e

s = na + e

f

r = sa + f

Пример 3 Разделим р(x) = 2x 5 + x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 5  на x + 2 .  Здесь  a = − 2 ; Коэффициенты равны соответственно 2 , 1 , −3 , 2 , 0 , 5 . Строим таблицу для применения схемы Горнера: 2 1 − 3 2 0 5 − 3  ( − 2)+( − 3) 3  ( − 2)+2 8  ( − 2)+5 − 4  ( − 2)+0 2  ( − 2)+1 2 − 2 − 3 − 4 3 − 11 2 8 Коэффициенты частного: 2 , − 3 , 3 , − 4 , 8 , а остаток r = − 11 .  Значит,  2x 5 + x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 5 = = (х + 2)(2x 4 − 3x 3 + 3x 2 − 4x + 8) − 11 остаток

Пример 3

Разделим р(x) = 2x 5 + x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 5 на x + 2 .

Здесь a = − 2 ; Коэффициенты равны соответственно

2 , 1 , −3 , 2 , 0 , 5 .

Строим таблицу для применения схемы Горнера:

2

1

3

2

0

5

3 ( 2)+( 3)

3 ( 2)+2

8 ( 2)+5

4 ( 2)+0

2 ( 2)+1

2

2

3

4

3

11

2

8

Коэффициенты частного: 2 , − 3 , 3 , − 4 , 8 ,

а остаток r = − 11 .

Значит, 2x 5 + x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 5 =

= (х + 2)(2x 4 − 3x 3 + 3x 2 − 4x + 8) − 11

остаток

Разложение многочлена на множители   1 Вынесение общего множителя за скобки    2 Способ группировки  3 Использование формул сокращенного умножения 4 Разложение квадратного трехчлена на множители 12

Разложение многочлена на множители

1

Вынесение общего множителя за скобки

2

Способ группировки

3

Использование формул сокращенного умножения

4

Разложение квадратного трехчлена на множители

12

Вынесение  общего множителя за скобки Применяя распределительный закон умножения относительно сложения: (a + b)c = ac + bc  В обратном порядке:  ac + bc = c(a + b) Пример 4 8х 4 + 6х 3 − 4х 2 + 2х = 2х (4х 3 + 3х 2 − 2х + 1) 3x 3 (1 + 2х 3 − 9x) 3х 3 + 6х 6 − 27х 4 =

Вынесение общего множителя за скобки

Применяя распределительный закон умножения относительно сложения:

(a + b)c = ac + bc

В обратном порядке:

ac + bc = c(a + b)

Пример 4

4 + 6х 3 − 4х 2 + 2х =

2х (4х 3 + 3х 2 − 2х + 1)

3x 3 (1 + 2х 3 − 9x)

3 + 6х 6 − 27х 4 =

Способ группировки Применяя переместительный или сочетательный законы сложения, можно группировать члены многочлена любым способом: a + b = b + a  (a + b) + c = a + (b + c) = а + b + c Пример 5 3(х 3 + 2х 2 − 9х − 18) = 3х 3 + 6х 2 − 27х  − 54 = = 3(х 2 (х + 2) − 9(х + 2)) = 3(х + 2)(х 2 − 9) = = 3(х + 2)(х − 3)(х + 3)

Способ группировки

Применяя переместительный или сочетательный законы сложения, можно группировать члены многочлена любым способом:

a + b = b + a

(a + b) + c = a + (b + c) = а + b + c

Пример 5

3(х 3 + 2х 2 − 9х − 18) =

3 + 6х 2 − 27х − 54 =

= 3(х 2 (х + 2) − 9(х + 2)) =

3(х + 2)(х 2 − 9) =

= 3(х + 2)(х − 3)(х + 3)

Использование формул сокращенного умножения (a + b)(а − b) = a 2 − b 2  – разность квадратов (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2  – квадрат суммы (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2  – квадрат разности (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = а 3 + b 3  – сумма кубов (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = а 3 − b 3  – разность кубов (a − b) 3 = a 3 − 3ab 2 + 3a 2 b − b 3  – куб разности (a + b) 3 = a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3  – куб суммы Пример 6 (х 3 ) 2 − 1 2 = (х 3 + 1)(х 3 − 1) = х 6 − 1 = = (х + 1)(х 2 − х + 1)(х − 1)(х 2 + х + 1)

Использование формул

сокращенного умножения

(a + b)(а − b) = a 2 − b 2 – разность квадратов

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 – квадрат суммы

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 – квадрат разности

(a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = а 3 + b 3 – сумма кубов

(a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = а 3 − b 3 – разность кубов

(a − b) 3 = a 3 − 3ab 2 + 3a 2 b − b 3 – куб разности

(a + b) 3 = a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3 – куб суммы

Пример 6

3 ) 2 − 1 2 = (х 3 + 1)(х 3 − 1) =

х 6 − 1 =

= (х + 1)(х 2 − х + 1)(х − 1)(х 2 + х + 1)

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители Если х 1 и х 2 – корни квадратного трехчлена aх 2 + bх + с , то aх 2 + bх + с = а  (х − х 1 )(х − х 2 ) Пример 7 2х 2 − 3х − 5 = 2 (х + 1)(х − 2,5) =  (х + 1)(2х − 5)

Разложение квадратного трехчлена

на линейные множители

Если х 1 и х 2 – корни квадратного трехчлена

2 + bх + с , то

2 + bх + с = а (х − х 1 )(х − х 2 )

Пример 7

2 − 3х − 5 =

2 (х + 1)(х − 2,5) =

(х + 1)(2х − 5)

Теорема Пусть все коэффициенты многочлена р(х) – целые числа. Если целое число а является корнем многочлена р(х) , то а – делитель свободного члена многочлена р(х) .  Д о к а з а т е л ь с т в о проведем для случая, когда р(х) – многочлен третьей степени: р(х) = bх 3 + сх 2 + dx + т , где все коэффициенты b , с , d , т – целые числа. По условию, целое число а является корнем многочлена р(х) . Это значит, что р(а) = 0 , т. е. bа з + ca 2 + da + m = 0 . Преобразуем полученное равенство к виду т = а(– bа 2 – са – d) и обозначим целое число (– bа 2 – са – d) буквой k . Тогда последнее равенство можно переписать в виде т = ak , а это и означает, что число а – делитель числа т , т. е. делитель свободного члена многочлена р(х) . Аналогично проводится доказательство теоремы для случая, когда р(х) – многочлен четвертой, пятой и вообще n -й степени. 12

Теорема

Пусть все коэффициенты многочлена р(х) – целые числа. Если целое число а является корнем многочлена р(х) , то а – делитель свободного члена многочлена р(х) .

Д о к а з а т е л ь с т в о проведем для случая, когда р(х) – многочлен третьей степени: р(х) = bх 3 + сх 2 + dx + т , где все коэффициенты b , с , d , т – целые числа. По условию, целое число а является корнем многочлена р(х) .

Это значит, что р(а) = 0 , т. е. з + ca 2 + da + m = 0 .

Преобразуем полученное равенство к виду т = а(– bа 2 – са – d) и обозначим целое число (– bа 2 – са – d) буквой k .

Тогда последнее равенство можно переписать в виде т = ak , а это и означает, что число а – делитель числа т , т. е. делитель свободного члена многочлена р(х) .

Аналогично проводится доказательство теоремы для случая, когда р(х) – многочлен четвертой, пятой и вообще n -й степени.

12

Пример 8 Разложить многочлен: х 3 − 3х 2 − 10х +  24 Будем искать корни среди делителей свободного коэффициента 24 : ±  1; ±  2; ±  3; ±  4; ±  6; ±  8; ±  12; ±  24 . р(1) = 12 ≠ 0 , р(−1) = 30 ≠ 0 , р(2) = 0 . Значит х = 2 – корень многочлена р(х) . С помощью схемы Горнера найдем частное q(x) :  1 − 3 − 10 24 2 2  (−12)+24 2  1+(−3) 2  (−1)−10 1 − 1 − 12 1 0 х 3 − 3х 2 − 10х +  24 = (х – 2)(х 2 − х − 12) = = (х – 2)(х − 4)(х + 3)

Пример 8

Разложить многочлен: х 3 − 3х 2 − 10х + 24

Будем искать корни среди делителей свободного коэффициента 24 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24 .

р(1) = 12 ≠ 0 , р(−1) = 30 ≠ 0 , р(2) = 0 .

Значит х = 2 – корень многочлена р(х) . С помощью схемы Горнера найдем частное q(x) :

1

3

10

24

2

2 (−12)+24

2 1+(−3)

2 (−1)−10

1

1

12

1

0

х 3 − 3х 2 − 10х + 24 =

(х – 2)(х 2 − х − 12) =

= (х – 2)(х − 4)(х + 3)

Многочлены от нескольких переменных х 2 – у 2 = (х – у)(х + у) х 3 – у 3 = (х – у)(х 2 + ху + у 2 ) x 4 – у 4 = (x – y)(x 3 + x 2 у + xy 2 + у З ) x 5 – у 5 = (x – y)(х 4 + х з y + х 2 y 2 + хy 3 + y 4 ) … x n – у n = (x – y)(х n−1 + х n−2 y + х n−3 y 2 + … + + х 2 y n−3 + xy n−2 + y n−1 )

Многочлены от нескольких переменных

х 2 – у 2 = (х – у)(х + у)

х 3 – у 3 = (х – у)(х 2 + ху + у 2 )

x 4 – у 4 = (x – y)(x 3 + x 2 у + xy 2 + у З )

x 5 – у 5 = (x – y)(х 4 + х з y + х 2 y 2 + хy 3 + y 4 )

x n – у n = (x – y)(х n−1 + х n−2 y + х n−3 y 2 + … +

+ х 2 y n−3 + xy n−2 + y n−1 )

Многочлены от нескольких переменных х 3 + у 3 = (х + у)(х 2 – ху + у 2 ) x 5 + у 5 = (x + y)(х 4 – х 3 y + х 2 y 2 – хy 3 + y 4 ) … x 2n+1 + у 2n+1 = (x + y)(х 2n – х 2n−1 y + х 2n−2 y 2 – – х 2n−3 y 3 + … + x 2 y 2n−2 – xy 2n−1 + y 2n ) Многочлен Р(х; у) называют однородным многочленом п -ой степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна п . Если Р(х; у) однородный многочлен, то уравнение Р(х; у) = 0 называют однородным уравнением.

Многочлены от нескольких переменных

х 3 + у 3 = (х + у)(х 2 – ху + у 2 )

x 5 + у 5 = (x + y)(х 4 – х 3 y + х 2 y 2 – хy 3 + y 4 )

x 2n+1 + у 2n+1 = (x + y)(х 2n – х 2n−1 y + х 2n−2 y 2

х 2n−3 y 3 + … + x 2 y 2n−2 – xy 2n−1 + y 2n )

Многочлен Р(х; у) называют однородным многочленом п -ой степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна п .

Если Р(х; у) однородный многочлен, то уравнение Р(х; у) = 0 называют однородным уравнением.

Уравнения высших степеней Теорема.  Если приведенное уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то этот корень обязательно является целым числом.  Пример 9 х 3 + 2х 2 – 7х – 12 = 0 Делители числа 12 : ±  1; ±  2; ±  3; ±  4; ±  6; ±  8; ±  12 . Пусть Р(х) = х 3 + 2х 2 – 7х – 12 , тогда Р(1) = −16 , Р(−1) = −4 , Р(2) = −10 , Р(−2) = 2 , Р(3) = 12 , Р(−3) = 0 . Значит х = −3 – корень многочлена Р(х) .

Уравнения высших степеней

Теорема. Если приведенное уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то этот корень обязательно является целым числом.

Пример 9

х 3 + 2х 2 – 7х – 12 = 0

Делители числа 12 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12 . Пусть Р(х) = х 3 + 2х 2 – 7х – 12 , тогда

Р(1) = −16 , Р(−1) = −4 , Р(2) = −10 , Р(−2) = 2 , Р(3) = 12 , Р(−3) = 0 .

Значит х = −3 – корень многочлена Р(х) .


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Алгебра

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 11 класс

Скачать
Многочлены от одной переменной

Автор: Бережная Светлана Викторовна

Дата: 18.09.2023

Номер свидетельства: 636748

Похожие файлы

object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(58) "Многочлены от одной переменной "
    ["seo_title"] => string(36) "mnoghochlieny-ot-odnoi-pieriemiennoi"
    ["file_id"] => string(6) "225941"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1439986076"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(162) "Разработка урока по алгебре в 10 классе: "Многочлены от одного переменного. Схема Горнера""
    ["seo_title"] => string(80) "razrabotka_uroka_po_algebre_v_10_klasse_mnogochleny_ot_odnogo_peremennogo_skhema"
    ["file_id"] => string(6) "603881"
    ["category_seo"] => string(7) "algebra"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1648721877"
  }
}
object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(108) "Деление многочлена на многочлен с остатком. Схема Горнера. "
    ["seo_title"] => string(68) "dielieniie-mnoghochliena-na-mnoghochlien-s-ostatkom-skhiema-gorniera"
    ["file_id"] => string(6) "226208"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1440139951"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(198) "Рабочая программа по алгебре и началам анализа для 11 класса к учебнику Мордковича А.Г. (углубленный уровень) "
    ["seo_title"] => string(119) "rabochaia-proghramma-po-alghiebrie-i-nachalam-analiza-dlia-11-klassa-k-uchiebniku-mordkovicha-a-g-ughlubliennyi-urovien"
    ["file_id"] => string(6) "112844"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1408961751"
  }
}
object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(66) "Рабочая программа по алгебре 7 класс"
    ["seo_title"] => string(42) "rabochaia_proghramma_po_alghiebrie_7_klass"
    ["file_id"] => string(6) "447349"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1514571782"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства